Најважније из лекције
Најмањи природан број је \( 1 \), а највећи не постоји, па је скуп природних бројева \( N \) бесконачан.
Сваки број има следбеника \( (n+1) \), а сваки осим \( 1 \) и претходника \( (n-1) \).
Бројеве приказујемо на бројевној полуправи (мањи број је лево, ближе нули), а пошто се сваки пар бројева може упоредити, \( N \) је уређен скуп.
Бројеви између којих нема другог природног броја (нпр. \( 7 \) и \( 8 \)) зову се узастопни (суседни).
Сваки број има следбеника \( (n+1) \), а сваки осим \( 1 \) и претходника \( (n-1) \).
Бројеве приказујемо на бројевној полуправи (мањи број је лево, ближе нули), а пошто се сваки пар бројева може упоредити, \( N \) је уређен скуп.
Бројеви између којих нема другог природног броја (нпр. \( 7 \) и \( 8 \)) зову се узастопни (суседни).
Најмањи природан број је број \( 1 \). Највећи природан број не постоји. Зато кажемо да је скуп природних бројева бесконачан скуп — природних бројева има бесконачно много.
Скуп природних бројева означавамо словом \( N \) и записујемо: \[ N = \{\, 1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ n-1,\ n,\ n+1,\ \ldots \,\} \]
Број \( 2 \) добијамо тако што броју \( 1 \) додамо \( 1 \), број \( 3 \) тако што броју \( 2 \) додамо \( 1 \). Сваки наредни природан број добијамо додавањем броја \( 1 \) претходном броју.
За сваки природан број \( n \) постоји број \( n+1 \) — број који је за \( 1 \) већи. То је његов следбеник.
За сваки природан број \( n \), осим броја \( 1 \), постоји број \( n-1 \) — број који је за \( 1 \) мањи. То је његов претходник.
За сваки природан број \( n \), осим броја \( 1 \), постоји број \( n-1 \) — број који је за \( 1 \) мањи. То је његов претходник.
Само број \( 1 \) нема претходника у скупу \( N \), јер је он најмањи природан број.
За број \( 7 \): претходник је \( 6 \), а следбеник је \( 8 \).
Можемо тачно одредити на ком се месту у низу неки број налази. Броимо колико бројева долази пре њега (закључно са њим).
Једноцифрених бројева има \( 9 \) (од \( 1 \) до \( 9 \)), двоцифрених има \( 90 \) (од \( 10 \) до \( 99 \)).
Одредимо на ком је месту број \( 115 \) у низу свих троцифрених бројева.
Троцифрени бројеви почињу од \( 100 \). Пре \( 115 \) су бројеви \( 100, 101, \ldots, 114 \).
Пошто је једноцифрених и двоцифрених заједно \( 9 + 90 = 99 \), рачунамо: \[ 115 - 99 = 16 \] Број \( 115 \) је на \( 16.\) месту у низу троцифрених бројева.
Троцифрени бројеви почињу од \( 100 \). Пре \( 115 \) су бројеви \( 100, 101, \ldots, 114 \).
Пошто је једноцифрених и двоцифрених заједно \( 9 + 90 = 99 \), рачунамо: \[ 115 - 99 = 16 \] Број \( 115 \) је на \( 16.\) месту у низу троцифрених бројева.
Природне бројеве и \( 0 \) можемо приказати на бројевној полуправи. На полуправој означимо почетну тачку \( O \) и тачку \( E \): тачки \( O \) придружујемо \( 0 \), а тачки \( E \) број \( 1 \).
Дуж \( OE \) је јединична дуж. Њена дужина је \( 1\ \text{cm} \). Преношењем јединичне дужи од тачке \( E \) одређујемо тачке за бројеве \( 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \ldots \)
Сваком природном броју одговара тачно једна тачка полуправе. Мањи број ближи је нули, односно налази се лево.
Било која два различита природна броја можемо упоредити — одредити који је од њих већи, а који мањи. Због тога кажемо да је скуп природних бројева уређен скуп.
На бројевној полуправи тачки \( A \) придружен је број \( 1\,385\,430 \), а тачки \( T \) број \( 1\,385\,340 \).
Пошто је \( 1\,385\,430 > 1\,385\,340 \), тачка \( A \) је десно од тачке \( T \).
Пошто је \( 1\,385\,430 > 1\,385\,340 \), тачка \( A \) је десно од тачке \( T \).
Између неких природних бројева нема ниједног природног броја — нпр. између \( 7 \) и \( 8 \), између \( 99 \) и \( 100 \), између \( 5\,001 \) и \( 5\,002 \). Такви бројеви се зову узастопни (суседни) природни бројеви.
Између неких других бројева ипак постоје природни бројеви и можемо тачно рећи колико их је.
Бројеви \( 123\,456 \), \( 123\,457 \) и \( 123\,458 \) су три узастопна природна броја — сваки следећи је за \( 1 \) већи од претходног.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Напиши претходника и следбеника броја \( 400 \).
Претходник је број који је за \( 1 \) мањи: \( 400 - 1 = 399 \).
Следбеник је број који је за \( 1 \) већи: \( 400 + 1 = 401 \).
Одговор: претходник \( 399 \), следбеник \( 401 \).
Следбеник је број који је за \( 1 \) већи: \( 400 + 1 = 401 \).
Одговор: претходник \( 399 \), следбеник \( 401 \).
Средњи задатак: Одреди на ком се месту у низу свих двоцифрених природних бројева налази број \( 98 \).
Двоцифрени бројеви почињу од \( 10 \). Пре двоцифрених има \( 9 \) једноцифрених бројева.
Од укупног места броја \( 98 \) одузимамо тих \( 9 \) једноцифрених: \[ 98 - 9 = 89 \] Одговор: број \( 98 \) је на \( 89.\) месту у низу двоцифрених бројева.
Од укупног места броја \( 98 \) одузимамо тих \( 9 \) једноцифрених: \[ 98 - 9 = 89 \] Одговор: број \( 98 \) је на \( 89.\) месту у низу двоцифрених бројева.
Тежак задатак: Напиши три узастопна четвороцифрена броја од којих је први најмањи четвороцифрени број написан цифрама \( 7,\ 3,\ 1,\ 9 \), а све цифре су различите.
Најмањи четвороцифрени број од цифара \( 7,\ 3,\ 1,\ 9 \) добијамо ако цифре поређамо од најмање ка највећој (најмања цифра је прва, а не сме бити \( 0 \)): \( 1,\ 3,\ 7,\ 9 \) \( \Rightarrow \) \( 1\,379 \).
Узастопни бројеви су за \( 1 \) већи један од другог: \[ 1\,379,\quad 1\,380,\quad 1\,381 \] Одговор: \( 1\,379,\ 1\,380,\ 1\,381 \).
Узастопни бројеви су за \( 1 \) већи један од другог: \[ 1\,379,\quad 1\,380,\quad 1\,381 \] Одговор: \( 1\,379,\ 1\,380,\ 1\,381 \).
