Најважније из лекције
Бројеви и операције: Позиционо сабирање и одузимање бројева до \(1\,000\), поштовање предности заграда и провера одузимања (\(\text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник}\)). Римски бројеви: \(I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1\,000\).
Дељивост: Са \(2\) (парни), са \(5\) (цифре \(0, 5\)), са \(10\) (цифра \(0\)).
Геометрија: Углови (оштар, прави, туп), односи правих (нормалне \(\perp\), паралелне \(\parallel\)), обим једнакостраничног троугла (\(O = 3 \cdot a\)), осна симетрија.
Мере: \(1\text{ km} = 1\,000\text{ m}\), \(1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}\); \(1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}\), \(1\text{ kg} = 1\,000\text{ g}\); \(1\text{ hl} = 100\text{ l}\), \(1\text{ l} = 10\text{ dl} = 1\,000\text{ ml}\); \(1\text{ h} = 60\text{ min}\), \(1\text{ min} = 60\text{ s}\).
Дељивост: Са \(2\) (парни), са \(5\) (цифре \(0, 5\)), са \(10\) (цифра \(0\)).
Геометрија: Углови (оштар, прави, туп), односи правих (нормалне \(\perp\), паралелне \(\parallel\)), обим једнакостраничног троугла (\(O = 3 \cdot a\)), осна симетрија.
Мере: \(1\text{ km} = 1\,000\text{ m}\), \(1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}\); \(1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}\), \(1\text{ kg} = 1\,000\text{ g}\); \(1\text{ hl} = 100\text{ l}\), \(1\text{ l} = 10\text{ dl} = 1\,000\text{ ml}\); \(1\text{ h} = 60\text{ min}\), \(1\text{ min} = 60\text{ s}\).
Класификација бројева: Бројеви могу бити једноцифрени, двоцифрени, троцифрени итд., у зависности од броја цифара. Најмањи четвороцифрени број је \(1\,000\).
Претходник и следбеник:
- Претходник броја \(n\) је број \(n - 1\).
- Следбеник броја \(n\) је број \(n + 1\).
Римске цифре:
\[ I = 1, \quad V = 5, \quad X = 10, \quad L = 50, \quad C = 100, \quad D = 500, \quad M = 1\,000 \]
Правила дељивости:
- Број је дељив са \(2\) (паран број) ако му је последња цифра \(0, 2, 4, 6\) или \(8\).
- Број је дељив са \(5\) ако му је последња цифра \(0\) или \(5\).
- Број је дељив са \(10\) ако му је последња цифра \(0\).
Разломци: Означавају део целине. На пример, разломак \(\frac{1}{4}\) представља једну четвртину одређене целине.
Одредити најмањи и највећи троцифрени број који се може формирати од цифара \(0, 1\) и \(3\) без понављања цифара.
Најмањи троцифрени број је \(103\) (број не може почети нулом).
Највећи троцифрени број је \(310\).
Највећи троцифрени број је \(310\).
При писменом сабирању и одузимању, бројеви се потписују по позиционим вредностима: јединице испод јединица, десетице испод десетица, стотине испод стотина.
\[ \text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник} \]
Одузимање се проверава сабирањем разлике и умањиоца.
Редослед операција: У изразима са заградама, предност увек има операција која се налази унутар заграде.
Израчунавање израза са заградом:
\[ (563 - 78) - 9 = 485 - 9 = 476 \]
При куповини и рачунању кусура користи се релација:
\[ \text{Вредност новчанице} = \text{За уплату (цена)} + \text{Кусур (повраћај новца)} \]
Израчунај вредност израза: \( 1\,000 - (387 + 244) \).
Прво израчунавамо операцију у загради:
\[ 387 + 244 = 631 \]
Затим вршимо одузимање:
\[ 1\,000 - 631 = 369 \]
Једначина је математички израз са непознатом (најчешће \(x\)) чија се вредност одређује тако да једнакост буде тачна.
Основне једначине:
- Сабирање: \(x + a = b \implies x = b - a\)
- Одузимање: \(x - a = b \implies x = b + a\) или \(a - x = b \implies x = a - b\)
- Множење: \(x \cdot a = b \implies x = b : a\)
- Дељење: \(x : a = b \implies x = b \cdot a\)
Неједначине су изрази са знацима неједнакости (\(<\) или \(>\)). Скуп свих бројева који задовољавају услов чини решење неједначине.
Реши једначину: \( 432 - x = 238 \).
Непознати умањилац се израчунава одузимањем разлике од умањеника:
\[ x = 432 - 238 \]
\[ x = 194 \]
Врсте углова према величини:
- Оштар угао: угао мањи од правог угла.
- Прави угао: угао чији краци граде нормалне праве.
- Тупи угао: угао већи од правог, а мањи од опруженог угла.
Међусобни односи правих у равни:
- Нормалне праве: секу се и образују прав угао.
- Паралелне праве: налазе се у истој равни и немају заједничких тачака (не секу се).
Обим једнакостраничног троугла:
\[ O = 3 \cdot a \]
где је \(a\) дужина странице троугла.
Остали геометријски појмови:
- Правоугаоник: четвороугао са четири права угла и једнаким наспрамним страницама (\(a\) и \(b\)).
- Круг: одређен центром (\(O\)) и полупречником (\(r\)).
- Осна симетрија: пресликавање у односу на праву (осу симетрије) где свака тачка има своју одговарајућу тачку на истој удаљености са супротне стране осе.
Израчунај обим једнакостраничног троугла чија је страница дужине \(a = 14\text{ cm}\).
\[ O = 3 \cdot a = 3 \cdot 14\text{ cm} = 42\text{ cm} \]
| Мере за дужину | Мере за масу | Мере за запремину | Мере за време |
|---|---|---|---|
| \(1\text{ km} = 1\,000\text{ m}\) | \(1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}\) | \(1\text{ hl} = 100\text{ l} = 1\,000\text{ dl}\) | век \(= 100\text{ год.}\) |
| \(1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}\) | \(1\text{ kg} = 1\,000\text{ g}\) | \(1\text{ l} = 10\text{ dl} = 100\text{ cl} = 1\,000\text{ ml}\) | деценија \(= 10\text{ год.}\) |
| \(1\text{ dm} = 10\text{ cm} = 100\text{ mm}\) | \(1\text{ dl} = 10\text{ cl} = 100\text{ ml}\) | година \(= 365 / 366\text{ дана}\) | |
| \(1\text{ cm} = 10\text{ mm}\) | \(1\text{ cl} = 10\text{ ml}\) | седмица \(= 7\text{ дана}\), дан \(= 24\text{ h}\) | |
| \(1\text{ h} = 60\text{ min}\), \(1\text{ min} = 60\text{ s}\) |
Претвори: \(3\text{ m } 4\text{ dm } 5\text{ cm}\) у центиметре (\(\text{cm}\)).
\(3\text{ m} = 300\text{ cm}\)
\(4\text{ dm} = 40\text{ cm}\)
\(300\text{ cm} + 40\text{ cm} + 5\text{ cm} = 345\text{ cm}\).
\(4\text{ dm} = 40\text{ cm}\)
\(300\text{ cm} + 40\text{ cm} + 5\text{ cm} = 345\text{ cm}\).
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Који од наведених бројева су дељиви са \(5\): \(124, 350, 475, 608, 990\)? Напиши број \(78\) римским цифрама.
- Бројеви дељиви са \(5\) завршавају се са \(0\) или \(5\), па су то: \(350, 475, 990\).
- Број \(78\) римским цифрама: \(70 + 8 = LXX + VIII =\) \(LXXVIII\).
Средњи задатак: Израчунај вредност израза \( (876 - 639) + (358 + 176) \) и провери добијену разлику сабирањем.
1. Разлика: \(876 - 639 = 237\)
2. Провера разлике: \(237 + 639 = 876\) (тачно)
3. Збир: \(358 + 176 = 534\)
4. Коначан збир: \(237 + 534 = 771\).
2. Провера разлике: \(237 + 639 = 876\) (тачно)
3. Збир: \(358 + 176 = 534\)
4. Коначан збир: \(237 + 534 = 771\).
Средњи задатак: Колико износи страница \(a\) једнакостраничног троугла ако је његов обим \(O = 72\text{ cm}\)?
Обим једнакостраничног троугла је \(O = 3 \cdot a\).
\[ a = O : 3 = 72\text{ cm} : 3 = 24\text{ cm} \]
\[ a = O : 3 = 72\text{ cm} : 3 = 24\text{ cm} \]
Тешки задатак: Купац је купио књигу по цени од \(674\) динара и платио новчаницом од \(1\,000\) динара. Продавац му је вратио кусур. Колики је кусур добио купац? Ако за преостали новац жели да купи свеске које коштају по \(65\) динара, колико највише таквих свезака може да купи?
1. Рачунање кусура:
\[ \text{Кусур} = 1\,000 - 674 = 326\text{ динара} \]
2. Број свезака од по \(65\) динара:
\[ 326 : 65 = 5 \text{ (ост. } 1 \text{)} \] јер је \(5 \cdot 65 = 325\) динара.
Одговор: Кусур износи \(326\) динара, а купац може купити највише \(5\) свезака (остаће му \(1\) динар).
\[ \text{Кусур} = 1\,000 - 674 = 326\text{ динара} \]
2. Број свезака од по \(65\) динара:
\[ 326 : 65 = 5 \text{ (ост. } 1 \text{)} \] јер је \(5 \cdot 65 = 325\) динара.
Одговор: Кусур износи \(326\) динара, а купац може купити највише \(5\) свезака (остаће му \(1\) динар).
