Најважније из лекције
У скупу \( N_0 \) сабирање има два важна својства: замену места сабирака \( a + b = b + a \) и здруживање сабирака \( (a + b) + c = a + (b + c) \) — помажу нам да збир израчунамо лакше.
Сталност збира: ако један сабирак увећамо, а други умањимо за исти број, збир се не мења. Сталност разлике: ако умањеник и умањилац променимо за исти број, разлика се не мења.
Број 0 је неутрал: \( n + 0 = 0 + n = n \) и \( n - 0 = n \).
Сталност збира: ако један сабирак увећамо, а други умањимо за исти број, збир се не мења. Сталност разлике: ако умањеник и умањилац променимо за исти број, разлика се не мења.
Број 0 је неутрал: \( n + 0 = 0 + n = n \) и \( n - 0 = n \).
Када сабирамо, сабирке можемо заменити местима, а збир се не мења. Ово својство зовемо замена места сабирака (комутативност сабирања).
За свака два броја \( a \) и \( b \) из скупа \( N_0 \) важи: \[ a + b = b + a \]
\[ 40 + 25 = 25 + 40 = 65 \]
Збир је исти без обзира на редослед сабирака.
Када сабирамо три броја, можемо их здружити (груписати) на било који начин, а збир остаје исти. Ово својство зовемо здруживање сабирака (асоцијативност сабирања).
За свака три броја \( a \), \( b \) и \( c \) из скупа \( N_0 \) важи: \[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
Ово својство нам помаже да сабирање убрзамо тако што прво саберемо бројеве који заједно дају округао број (нпр. пуне хиљаде или стотине).
\[ (750 + 250) + 380 = 1\,000 + 380 = 1\,380 \]
Прво смо здружили \( 750 \) и \( 250 \) јер заједно дају \( 1\,000 \).
Ако један сабирак увећамо за неки број, а други сабирак умањимо за исти тај број, збир се не мења. То је својство сталности збира.
\[ (a + c) + (b - c) = a + b \qquad \text{(за } b > c \text{)} \]
Ово својство користимо да збир упростимо — један сабирак допунимо до округлог броја, а исто толико одузмемо од другог.
\[ 998 + 457 = (998 + 2) + (457 - 2) = 1\,000 + 455 = 1\,455 \]
Збир је остао исти, али је рачун постао лакши.
Ако умањеник и умањилац увећамо (или умањимо) за исти број, разлика се не мења. То је својство сталности разлике.
\[ (a - c) - (b - c) = a - b \qquad \text{(за } a > b,\; a > c,\; b > c \text{)} \]
И овде оба броја мењамо за исту вредност да бисмо одузимање учинили лакшим.
\[ 1\,000 - 640 = (1\,000 - 1) - (640 - 1) = 999 - 639 = 360 \]
Разлика је остала иста, а одузимање без позајмљивања.
Број 0 је неутрал за сабирање: када неком броју додамо 0 или 0 додамо броју, тај број се не мења.
За сваки број \( n \) из скупа \( N_0 \) важи: \[ n + 0 = 0 + n = n \]
Такође, када од броја одузмемо 0, тај број остаје исти.
За сваки број \( n \) из скупа \( N_0 \) важи: \[ n - 0 = n \]
\[ 3\,500 + 0 = 3\,500 \qquad 0 + 46 = 46 \qquad 812 - 0 = 812 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Примени замену места сабирака и попуни празно поље: \( 27 + 63 = 63 + \underline{\hphantom{00}} \).
По својству замене места сабирака збир се не мења када сабирке заменимо местима, па на празном пољу мора бити исти број — \( 27 \).
\[ 27 + 63 = 63 + 27 = 90 \]
Одговор: \( 27 \).
Средњи задатак: Израчунај збир применом замене места и здруживања сабирака: \[ 6\,750 + 38\,592 + 2\,250 = ? \]
Прво заменимо места сабирака тако да један до другог дођу бројеви који заједно дају округао збир — \( 6\,750 \) и \( 2\,250 \):
\[ 6\,750 + 38\,592 + 2\,250 = (6\,750 + 2\,250) + 38\,592 \]
Здружимо прва два сабирка:
\[ = 9\,000 + 38\,592 = 47\,592 \]
Одговор: \( 47\,592 \).
Тежак задатак: Растави први сабирак на збир чији ће један од сабирака бити најмањи број друге хиљаде. Затим израчунај збир применом својства здруживања сабирака: \[ 5\,000 + 8\,999 = ? \]
Најмањи број друге хиљаде је \( 1\,000 \), па први сабирак растављамо као \( 5\,000 = 1\,000 + 4\,000 \):
\[ 5\,000 + 8\,999 = (1\,000 + 4\,000) + 8\,999 \]
Здружимо \( 1\,000 \) са \( 8\,999 \) да добијемо округао број:
\[ = 4\,000 + (1\,000 + 8\,999) = 4\,000 + 9\,999 = 13\,999 \]
Одговор: \( 13\,999 \).
