Најважније из лекције
Писмено рачунање: Код сабирања и одузимања вишецифрених бројева цифре се потписују тачно према месним вредностима (\( \text{ј} \), \( \text{д} \), \( \text{с} \), \( \text{јх} \), \( \text{дх} \), \( \text{сх} \)), а рачуна се с десна на лево уз пренос/позајмљивање.
Провера: Тачност одузимања проверава се сабирањем: \( \text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник} \).
Својства сабирања: Комутативност (\( a + b = b + a \)) и асоцијативност (\( (a + b) + c = a + (b + c) \)) омогућавају груписање бројева ради лакшег рачунања.
Сталност:
• Сталност збира: \( (a + c) + (b - c) = a + b \) (један сабирак повећамо, други смањимо за исти број).
• Сталност разлике: \( (a + c) - (b + c) = a - b \) (и умањеник и умањилац повећамо/смањимо за исти број).
Провера: Тачност одузимања проверава се сабирањем: \( \text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник} \).
Својства сабирања: Комутативност (\( a + b = b + a \)) и асоцијативност (\( (a + b) + c = a + (b + c) \)) омогућавају груписање бројева ради лакшег рачунања.
Сталност:
• Сталност збира: \( (a + c) + (b - c) = a + b \) (један сабирак повећамо, други смањимо за исти број).
• Сталност разлике: \( (a + c) - (b + c) = a - b \) (и умањеник и умањилац повећамо/смањимо за исти број).
Писмено сабирање вишецифрених бројева врши се потписивањем сабирака један испод другог тако да се поравнају цифре истих месних вредности: јединице испод јединица (\( \text{ј} \)), десетице испод десетица (\( \text{д} \)), стотине испод стотина (\( \text{с} \)), јединице хиљада испод јединица хиљада (\( \text{јх} \)), десетице хиљада испод десетица хиљада (\( \text{дх} \)) и стотине хиљада испод стотина хиљада (\( \text{сх} \)).
Сабирање почиње од јединица најмање месне вредности (здесна налево). Када збир у некој колони пређе 9, цифра јединица тог збира се записује, а десетица се преноси (памти) и додаје следећој колони веће месне вредности.
Сабирање бројева \( 124\,768 \) и \( 5\,346 \):
\[
\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
& \text{сх} & \text{дх} & \text{јх} & \text{с} & \text{д} & \text{ј} \\
& 1 & 2 & 4 & 7 & 6 & 8 \\
+ & & & 5 & 3 & 4 & 6 \\
\hline
& 1 & 3 & 0 & 1 & 1 & 4
\end{array}
\]
Израчунај писмено збир бројева \( 50\,863 + 37\,409 \).
\[
\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
& 5 & 0 & 8 & 6 & 3 \\
+ & 3 & 7 & 4 & 0 & 9 \\
\hline
& 8 & 8 & 2 & 7 & 2
\end{array}
\]
Збир је \( 88\,272 \).
Код одузимања разликујемо умањеник (број од ког се одузима), умањилац (број који се одузима) и разлику (резултат). Умањилац се потписује испод умањеника према месним вредностима цифара.
Ако је цифра умањеника мања од цифре умањиоца у истој колони, позајмљује се једна јединица из прве следеће колоне са леве стране (која вреди 10 јединица тренутне колоне). Ако се на следећој позицији налази нула, позајмљивање се врши из прве наредне позиције која није нула.
\[ \text{Разлика} + \text{Умањилац} = \text{Умањеник} \]
Тачност одузимања се проверава писменим сабирањем разлике и умањиоца.
Одузимање са нулама: \( 40\,000 - 1\,484 = 38\,516 \)
\[
\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
& 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
- & & 1 & 4 & 8 & 4 \\
\hline
& 3 & 8 & 5 & 1 & 6
\end{array}
\]
Провера: \( 38\,516 + 1\,484 = 40\,000 \).
Израчунај разлику \( 80\,755 - 47\,809 \) и изврши проверу сабирањем.
\[
\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
& 8 & 0 & 7 & 5 & 5 \\
- & 4 & 7 & 8 & 0 & 9 \\
\hline
& 3 & 2 & 9 & 4 & 6
\end{array}
\]
Провера: \( 32\,946 + 47\,809 = 80\,755 \).
Замена места сабирака (комутативност): Збир се не мења ако сабирци замене места.
\[ a + b = b + a \qquad (a, b \in \mathbb{N}_0) \]
Здруживање сабирака (асоцијативност): Збир три или више бројева не зависи од начина на који су сабирци груписани.
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \qquad (a, b, c \in \mathbb{N}_0) \]
Својство броја нула:
\[ n + 0 = 0 + n = n \qquad \text{и} \qquad n - 0 = n \qquad (n \in \mathbb{N}_0) \]
Примена здруживања и замене места за лакше рачунање (прављење "округлих" бројева):
\[ 1\,023 + 1\,026 + 1\,027 = (1\,023 + 1\,027) + 1\,026 = 2\,050 + 1\,026 = 3\,076 \]
Израчунај на најлакши начин применом својстава сабирања: \( 409\,994 + 1\,700 + 6 \).
Здруживањем првог и трећег сабирка:
\[ (409\,994 + 6) + 1\,700 = 410\,000 + 1\,700 = 411\,700 \]
Сталност збира: Збир се неће променити ако се један сабирак повећа за неки број, а други сабирак смањи за исти тај број.
\[ (a + c) + (b - c) = a + b \qquad (b \ge c) \]
\[ (a - c) + (b + c) = a + b \qquad (a \ge c) \]
Сталност разлике: Разлика се неће променити ако се и умањеник и умањилац повећају за исти број или ако се оба смање за исти број.
\[ (a + c) - (b + c) = a - b \]
\[ (a - c) - (b - c) = a - b \qquad (a > b, \, a \ge c, \, b \ge c) \]
Лакше рачунање коришћењем сталности разлике:
\[ 15\,100 - 10\,989 = (15\,100 + 11) - (10\,989 + 11) = 15\,111 - 11\,000 = 4\,111 \]
Лакше рачунање коришћењем сталности збира:
\[ 185\,992 + 3\,980 = (185\,992 + 8) + (3\,980 - 8) = 186\,000 + 3\,972 = 189\,972 \]
Израчунај користећи својство сталности разлике: \( 290\,008 - 1\,992 \).
Додавањем броја 8 и умањенику и умањиоцу:
\[ (290\,008 + 8) - (1\,992 + 8) = 290\,016 - 2\,000 = 288\,016 \]
Претходник и следбеник: Претходник броја \( n \) је \( n - 1 \), а следбеник је \( n + 1 \).
Месне вредности: Запис \( 9\text{дх } 4\text{јх } 8\text{с } 9\text{д } 5\text{ј} \) одговара броју:
\[ 9 \cdot 10\,000 + 4 \cdot 1\,000 + 8 \cdot 100 + 9 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 94\,895 \]
Редослед операција: У бројевним изразима са заградама увек прво израчунавамо операције унутар заграда.
Пре тачног рачунања сабирке или чланове одузимања често заокружујемо на најближу стотину или хиљаду како бисмо брзо проценили оквирну вредност резултата.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Одреди претходник и следбеник броја \( 100\,000 \), а затим израчунај њихов збир.
Претходник броја \( 100\,000 \) је \( 100\,000 - 1 = 99\,999 \).
Следбеник броја \( 100\,000 \) је \( 100\,000 + 1 = 100\,001 \).
Збир: \( 99\,999 + 100\,001 = 200\,000 \).
Следбеник броја \( 100\,000 \) је \( 100\,000 + 1 = 100\,001 \).
Збир: \( 99\,999 + 100\,001 = 200\,000 \).
Задатак 2 (Средњи): Израчунај вредност израза \( 562\,362 - (136\,047 + 110\,005) \).
Прво рачунамо збир у загради:
\[ 136\,047 + 110\,005 = 246\,052 \]
Затим одузимамо:
\[ 562\,362 - 246\,052 = 316\,310 \]
Задатак 3 (Средњи): Користећи својство сталности разлике, израчунај на најједноставнији начин: \( 45\,623 - 9\,997 \).
Умањиоцу и умањенику додајемо број 3:
\[ (45\,623 + 3) - (9\,997 + 3) = 45\,626 - 10\,000 = 35\,626 \]
Задатак 4 (Тежак): Збир три броја је \( 82\,295 \). Први сабирак је најмањи шестоцифрени број умањен за \( 45\,000 \), а други сабирак је \( 15\,400 \). Одреди трећи сабирак.
1. Најмањи шестоцифрени број је \( 100\,000 \).
2. Први сабирак: \( 100\,000 - 45\,000 = 55\,000 \).
3. Збир прва два сабирка: \( 55\,000 + 15\,400 = 70\,400 \).
4. Трећи сабирак добијамо одузимањем збира прва два сабирка од укупног збира: \[ 82\,295 - 70\,400 = 11\,895 \] Одговор: Трећи сабирак је \( 11\,895 \).
2. Први сабирак: \( 100\,000 - 45\,000 = 55\,000 \).
3. Збир прва два сабирка: \( 55\,000 + 15\,400 = 70\,400 \).
4. Трећи сабирак добијамо одузимањем збира прва два сабирка од укупног збира: \[ 82\,295 - 70\,400 = 11\,895 \] Одговор: Трећи сабирак је \( 11\,895 \).
