Најважније из лекције
Скуп природних бројева: \(\mathbb{N}=\{1, 2, 3\dots\}\), \(\mathbb{N}_0=\{0, 1, 2, 3\dots\}\). Сваки број \(n\) има следбеника \(n+1\), а осим \(1\) и претходника \(n-1\).
Структура броја: Бројеви се организују у класе (јединице, хиљаде, милиони, милијарде), при чему свака класа садржи стотине (\(\text{с}\)), десетице (\(\text{д}\)) и јединице (\(\text{ј}\)).
Развијени запис: \(4\,325 = 4 \cdot 1\,000 + 3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1\).
Писмени рачун: Потписивање по месним вредностима са преносом (сабирање) и позајмљивањем (одузимање). Провера: \(\text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник}\).
Олакшице у рачунању: Комутативност (\(a+b=b+a\)), асоцијативност (\((a+b)+c=a+(b+c)\)), сталност збира (\((a+c)+(b-c)=a+b\)) и сталност разлике (\((a+c)-(b+c)=a-b\)).
Структура броја: Бројеви се организују у класе (јединице, хиљаде, милиони, милијарде), при чему свака класа садржи стотине (\(\text{с}\)), десетице (\(\text{д}\)) и јединице (\(\text{ј}\)).
Развијени запис: \(4\,325 = 4 \cdot 1\,000 + 3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1\).
Писмени рачун: Потписивање по месним вредностима са преносом (сабирање) и позајмљивањем (одузимање). Провера: \(\text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник}\).
Олакшице у рачунању: Комутативност (\(a+b=b+a\)), асоцијативност (\((a+b)+c=a+(b+c)\)), сталност збира (\((a+c)+(b-c)=a+b\)) и сталност разлике (\((a+c)-(b+c)=a-b\)).
Скуп свих природних бројева означава се са \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, n, n+1, \dots\}\).
Број \(0\) не припада скупу \(\mathbb{N}\). Скуп који чине природни бројеви и нула означава се са \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\).
Основна својства скупа природних бројева:
- Најмањи природан број је \(1\). Највећи природан број не постоји (скуп \(\mathbb{N}\) је бесконачан).
- Сваки природан број \(n\) има непосредног следбеника (\(n + 1\)).
- Сваки природан број \(n\) осим броја \(1\) има непосредног претходника (\(n - 1\)).
- Бројеви између којих нема других природних бројева су узастопни (суседни) бројеви (нпр. \(5\,001\) и \(5\,002\)). Њихова разлика је увек \(1\).
- Број природних бројева између два дата броја \(m\) и \(n\) (\(n > m\)) израчунава се формулом: \((n - m) - 1\).
Бројевна полуправа: Полуправа са почетном тачком \(O(0)\) и јединичном дужи \(OE\) (где тачки \(E\) одговара број \(1\)). Сваком природном броју одговара тачно једна тачка на бројевној полуправој. Вредности расту с лева на десно.
Колико природних бројева има између бројева \(4\,998\) и \(5\,005\)?
Применом формуле \((n - m) - 1\):
\[ (5\,005 - 4\,998) - 1 = 7 - 1 = 6 \]
То су бројеви: \(4\,999, 5\,000, 5\,001, 5\,002, 5\,003, 5\,004\).
Декадне јединице су бројеви записани помоћу цифре 1 и одређеног броја нула:
- \(1\) – један
- \(10\) – десет
- \(100\) – сто
- \(1\,000\) – хиљада (најмањи четвороцифрени број)
- \(10\,000\) – десет хиљада (најмањи петоцифрени број)
- \(100\,000\) – сто хиљада (најмањи шестоцифрени број)
- \(1\,000\,000\) – милион (најмањи седмоцифрени број, 6 нула)
- \(1\,000\,000\,000\) – милијарда (најмањи десетоцифрени број, 9 нула)
- \(1\,000\,000\,000\,000\) – билион (најмањи тринаестоцифрени број, 12 нула)
Вишеструке декадне јединице су производи једноцифреног броја и декадне јединице (нпр. \(500\,000 = 5 \cdot 100\,000\)).
Класе и месне вредности: Вишецифрени бројеви се ради лакшег читања деле здесна налево у класе од по три цифре. Свака класа садржи стотине, десетице и јединице.
| Класа милијарди | Класа милиона | Класа хиљада | Класа јединица | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| смд | дмд | јмд | см | дм | јм | сх | дх | јх | с | д | ј |
| 1 | 3 | 9 | 2 | 6 | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
Одређивање укупног броја јединица одређеног реда у броју:
Да бисмо одредили колико у броју \(35\,125\) има укупно:
- хиљада (\(1\,000\)): изоставимо последње 3 цифре \(\rightarrow 35\) хиљада
- стотина (\(100\)): изоставимо последње 2 цифре \(\rightarrow 351\) стотина
- десетица (\(10\)): изоставимо последњу 1 цифру \(\rightarrow 3\,512\) десетица
- јединица (\(1\)): не изостављамо ниједну цифру \(\rightarrow 35\,125\) јединица
Палиндроми су бројеви који се читају исто слева надесно и здесна налево (нпр. \(525\,525\) или \(14\,041\)).
Сваки природан број може се приказати као збир производа једноцифрених бројева (својих цифара) и одговарајућих декадних јединица.
\[ 53\,846 = 5 \cdot 10\,000 + 3 \cdot 1\,000 + 8 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 6 \cdot 1 \]
\[ 53\,846 = 50\,000 + 3\,000 + 800 + 40 + 6 \]
Ако је цифра на некој месној позицији \(0\), тај производ се изоставља из развијеног збира:
\[ 705\,004 = 7 \cdot 100\,000 + 5 \cdot 1\,000 + 4 \cdot 1 \]
Уколико у опису броја недостаје нека месна вредност, на њено место у запису броја пише се \(0\).
Запишите број који садржи \(4\text{ сх } 8\text{ дх } 5\text{ с } 2\text{ ј}\).
Позиције јединица хиљада (\(\text{јх}\)) и десетица (\(\text{д}\)) нису наведене, па на њихова места пишемо \(0\):
\[ 4 \cdot 100\,000 + 8 \cdot 10\,000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 1 = 480\,502 \]
Правила за упоређивање вишецифрених бројева:
- Број цифара: Већи је онај број који има већи број цифара (нпр. \(12\,300 > 9\,990\)).
- Исти број цифара: Пореде се цифре истих месних вредности с лева на десно. Већи је број чија је прва различита цифра већа (нпр. у бројевима \(4\,853\) и \(4\,912\), цифре хиљада су исте, али пошто је \(8 < 9\) на месту стотина, важи \(4\,853 < 4\,912\)).
Формирање бројева од датих цифара: Од цифара \(7, 0, 4, 9, 2\) без понављања:
- Највећи број: цифре ређамо од највеће ка најмањој \(\rightarrow 97\,420\)
- Најмањи број: цифре ређамо од најмање ка највећој, водећи рачуна да \(0\) не може бити на првом месту \(\rightarrow 20\,479\)
Бројеве потписујемо један испод другог тако да се цифре истих месних вредности нађу у истој колони (јединице испод јединица, десетице испод десетица, итд.). Рачунамо здесна налево. Ако је збир цифара у колони 10 или већи, јединице записујемо, а десетице преносимо у следећу колону слева.
Умањилац потписујемо испод умањеника. Рачунамо здесна налево. Ако је цифра умањеника мања од цифре умањиоца, вршимо позајмљивање једне јединице вишег реда (која вреди 10 јединица тренутног реда). Код одузимања од бројева са више нула (нпр. \(40\,000\)), позајмљивање се ланчано преноси са прве позиције слева која није нула.
Провера одузимања:
\[ \text{разлика} + \text{умањилац} = \text{умањеник} \]
\[
\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
& 5 & 0 & 3 & 4 & 2 & 9 \\
- & & 3 & 5 & 2 & 1 & 7 \\
\hline
& 4 & 6 & 8 & 2 & 1 & 2
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
& 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
- & & 1 & 4 & 8 & 4 \\
\hline
& 3 & 8 & 5 & 1 & 6
\end{array}
\]
Основна својства операција:
- Замена места сабирака (комутативност): \( a + b = b + a \)
- Здруживање сабирака (асоцијативност): \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Својство нуле: \( a + 0 = 0 + a = a \quad \text{и} \quad a - 0 = a \)
Сталност збира: Збир се неће променити ако се један сабирак повећа за неки број, а други сабирак умањи за исти тај број.
\[ a + b = (a + c) + (b - c) \quad (b > c) \]
Пример: \( 185\,992 + 3\,980 = (185\,992 + 8) + (3\,980 - 8) = 186\,000 + 3\,972 = 189\,972 \)
Сталност разлике: Разлика се неће променити ако се и умањеник и умањилац повећају за исти број, или ако се оба умање за исти број.
\[ a - b = (a + c) - (b + c) \]
\[ a - b = (a - c) - (b - c) \quad (a > b, a > c, b > c) \]
Пример: \( 15\,100 - 10\,989 = (15\,100 + 11) - (10\,989 + 11) = 15\,111 - 11\,000 = 4\,111 \)
Прости изрази садрже једну рачунску операцију, а сложени изрази садрже две или више операција.
Редослед извршавања операција:
- Ако израз садржи заграде, прво се израчунавају вредности унутар заграда.
- У изразима без заграда који садрже само сабирање и одузимање, операције се извршавају редом с лева на десно.
Изрази са променљивом: Вредност израза \( (a + 10\,000) - 3\,500 \) за \( a = 2\,500 \):
\[ (2\,500 + 10\,000) - 3\,500 = 12\,500 - 3\,500 = 9\,000 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Напишите број који одговара развијеном запису:
\[ 6 \cdot 100\,000 + 3 \cdot 1\,000 + 8 \cdot 100 + 4 \cdot 1 \]
Уочавамо месне вредности: стотине хиљада (\(6\)), десетице хиљада нема (\(0\)), јединице хиљада (\(3\)), стотине (\(8\)), десетице нема (\(0\)), јединице (\(4\)).
Решење: \( 603\,804 \)
Решење: \( 603\,804 \)
Задатак 2 (Средњи ниво): Применом својства сталности разлике израчунајте напамет:
\[ 245\,000 - 99\,994 \]
Додамо број \(6\) и умањенику и умањиоцу како бисмо добили округли умањилац:
\[ (245\,000 + 6) - (99\,994 + 6) = 245\,006 - 100\,000 = 145\,006 \]
Решење: \( 145\,006 \)
Решење: \( 145\,006 \)
Задатак 3 (Средњи ниво): Од датих цифара \(8, 1, 0, 5, 3\) саставите највећи могући и најмањи могући петоцифрени број (без понављања цифара), а затим израчунајте њихову разлику.
1. Највећи петоцифрени број (цифре од највеће ка најмањој): \( 85\,310 \)
2. Најмањи петоцифрени број (нула не може бити прва): \( 10\,358 \)
3. Разлика: \[ 85\,310 - 10\,358 = 74\,952 \]
Решење: Највећи је \(85\,310\), најмањи је \(10\,358\), а њихова разлика је \(74\,952\).
2. Најмањи петоцифрени број (нула не може бити прва): \( 10\,358 \)
3. Разлика: \[ 85\,310 - 10\,358 = 74\,952 \]
Решење: Највећи је \(85\,310\), најмањи је \(10\,358\), а њихова разлика је \(74\,952\).
Задатак 4 (Напредни ниво): Ако је познато да је збир два броја \( x + y = 45\,000 \), израчунајте вредност сложеног израза:
\[ (x + 3\,250) + (y - 1\,250) \]
Користећи комутативност и асоцијативност, прегрупишемо чланове:
\[ (x + 3\,250) + (y - 1\,250) = (x + y) + 3\,250 - 1\,250 \]
Заменимо \( x + y = 45\,000 \):
\[ 45\,000 + (3\,250 - 1\,250) = 45\,000 + 2\,000 = 47\,000 \]
Решење: \( 47\,000 \)
Решење: \( 47\,000 \)
