Најважније из лекције
Квадар: Запремина је производ све три димензије: \(V = a \cdot b \cdot c\). На пример, за димензије \(2\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\) и \(4\text{ cm}\), \(V = 24\text{ cm}^3\).
Коцка: Запремина коцке једнака је производу три њене ивице: \(V = a \cdot a \cdot a\). На пример, за ивицу \(a = 3\text{ cm}\), \(V = 27\text{ cm}^3\).
Основа и висина: Запремина се може рачунати и као \(V = B \cdot H\), где је \(B\) површина основе, а \(H\) висина.
Јединице: Пре рачунања све димензије морају бити у истим јединицама, а важи и веза \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\).
Коцка: Запремина коцке једнака је производу три њене ивице: \(V = a \cdot a \cdot a\). На пример, за ивицу \(a = 3\text{ cm}\), \(V = 27\text{ cm}^3\).
Основа и висина: Запремина се може рачунати и као \(V = B \cdot H\), где је \(B\) површина основе, а \(H\) висина.
Јединице: Пре рачунања све димензије морају бити у истим јединицама, а важи и веза \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\).
Квадар је геометријско тело чије су стране правоугаоници. Његове димензије су дужина (\(a\)), ширина (\(b\)) и висина (\(c\)).
\[ V = a \cdot b \cdot c \]
\(V\) – запремина, \(a\) – дужина, \(b\) – ширина, \(c\) – висина
Све димензије морају бити у истим мерним јединицама пре множења.
Израчунај запремину квадра чије су ивице \(a = 4\text{ cm}\), \(b = 3\text{ cm}\) и \(c = 7\text{ cm}\):
\[ V = 4\text{ cm} \cdot 3\text{ cm} \cdot 7\text{ cm} = 84\text{ cm}^3 \]
Колика је запремина квадра чије су димензије \(a = 5\text{ dm}\), \(b = 2\text{ dm}\) и \(c = 8\text{ dm}\)?
\(V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 2 \cdot 8 = 80\text{ dm}^3\).
Коцка је правилан квадар коме су све ивице једнаких дужина (\(a\)).
\[ V = a \cdot a \cdot a \]
\(V\) – запремина, \(a\) – дужина ивице коцке
За коцку ивице \(a = 4\text{ cm}\), запремина је:
\[ V = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\text{ cm}^3 \]
Када је позната запремина коцке, дужина њене ивице одређује се тражењем броја који помножен самим собом три пута даје дату запремину:
Ако је \(V = 27\text{ cm}^3\), онда је \(a = 3\text{ cm}\), јер је \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\).
Ако је \(V = 125\text{ mm}^3\), онда је \(a = 5\text{ mm}\), јер је \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).
Ако је \(V = 27\text{ cm}^3\), онда је \(a = 3\text{ cm}\), јер је \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\).
Ако је \(V = 125\text{ mm}^3\), онда је \(a = 5\text{ mm}\), јер је \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).
Одреди ивицу коцке чија је запремина \(V = 8\text{ dm}^3\).
Тражимо број \(a\) тако да је \(a \cdot a \cdot a = 8\). Пошто је \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), дужина ивице је \(a = 2\text{ dm}\).
Запремина квадра и коцке може се израчунати помоћу површине основе (\(B\)) и висине (\(H\)).
\[ V = B \cdot H \]
\(B\) – површина основе (\(B = a \cdot b\)), \(H\) – висина (\(H = c\))
Овај образац повезује основне геометријске величине:
| Површина основе (\(B\)) | Висина (\(H\)) | Запремина (\(V = B \cdot H\)) |
|---|---|---|
| \(350\text{ dm}^2\) | \(14\text{ dm}\) | \(350 \cdot 14 = 4900\text{ dm}^3\) |
| \(500\text{ cm}^2\) | \(40\text{ cm}\) | \(500 \cdot 40 = 20\,000\text{ cm}^3\) |
| \(28\text{ dm}^2\) | \(9\text{ dm}\) | \(28 \cdot 9 = 252\text{ dm}^3\) |
Површина дна правоугаоног базена је \(B = 60\text{ m}^2\), а дубина (висина) је \(H = 2\text{ m}\). Израчунај запремину базена.
\(V = B \cdot H = 60\text{ m}^2 \cdot 2\text{ m} = 120\text{ m}^3\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај запремину коцке чија је ивица \(a = 6\text{ dm}\).
Примењујемо формулу за запремину коцке:
\[ V = a \cdot a \cdot a = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\text{ dm}^3 \]
Одговор: Запремина коцке је \(216\text{ dm}^3\).
Задатак 2 (средњи): Колико се највише литара воде може сипати у акваријум облика квадра чије су димензије \(a = 5\text{ m}\), \(b = 7\text{ m}\) и \(c = 35\text{ dm}\)? (Напомена: \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\))
Прво претварамо све димензије у дециметре (\(\text{dm}\)) јер је \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\):
\(a = 5\text{ m} = 50\text{ dm}\)
\(b = 7\text{ m} = 70\text{ dm}\)
\(c = 35\text{ dm}\)
Рачунамо запремину: \[ V = a \cdot b \cdot c = 50 \cdot 70 \cdot 35 = 3500 \cdot 35 = 122\,500\text{ dm}^3 \] Пошто је \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\), стаје \(122\,500\text{ l}\).
Одговор: Може се сипати највише \(122\,500\) литара воде.
\(a = 5\text{ m} = 50\text{ dm}\)
\(b = 7\text{ m} = 70\text{ dm}\)
\(c = 35\text{ dm}\)
Рачунамо запремину: \[ V = a \cdot b \cdot c = 50 \cdot 70 \cdot 35 = 3500 \cdot 35 = 122\,500\text{ dm}^3 \] Пошто је \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\), стаје \(122\,500\text{ l}\).
Одговор: Може се сипати највише \(122\,500\) литара воде.
Задатак 3 (средњи): Спаваоница у кампу има димензије \(12\text{ m}\), \(7\text{ m}\) и \(3\text{ m}\). У њој спава \(12\) ученика. Колико кубних метара ваздуха долази на сваког ученика?
Укупна запремина спаваонице:
\[ V = 12 \cdot 7 \cdot 3 = 84 \cdot 3 = 252\text{ m}^3 \]
Запремина ваздуха по једном ученику:
\[ 252\text{ m}^3 : 12 = 21\text{ m}^3 \]
Одговор: На сваког ученика долази \(21\text{ m}^3\) ваздуха.
Задатак 4 (тежак): Ако се дужина, ширина и висина квадра повећају \(2\) пута, колико пута ће се повећати запремина тог квадра?
Нека су почетне ивице \(a\), \(b\) и \(c\). Тада је почетна запремина:
\[ V_1 = a \cdot b \cdot c \]
Нове ивице су \(2 \cdot a\), \(2 \cdot b\) и \(2 \cdot c\). Нова запремина је:
\[ V_2 = (2 \cdot a) \cdot (2 \cdot b) \cdot (2 \cdot c) = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 8 \cdot V_1 \]
Одговор: Запремина квадра се повећа \(8\) пута.
