Најважније из лекције
Писмено рачунање: Цифре се потписују једна испод друге према месним вредностима. Код сабирања примењује се пренос преко десетице, а код одузимања позајмљивање из више месне вредности.
Својства: \( a + b = b + a \) (комутативност), \( (a + b) + c = a + (b + c) \) (асоцијативност), \( a + 0 = a \).
Сталност: Збир остаје исти ако се један сабирак повећа, а други умањи за исти број: \( (a+c)+(b-c)=a+b \). Разлика остаје иста ако се оба члана истовремено увећају или умање за исти број: \( (a+c)-(b+c)=a-b \).
Једначине: \( x + a = b \implies x = b - a \); \( x - a = b \implies x = b + a \); \( a - x = b \implies x = a - b \).
Својства: \( a + b = b + a \) (комутативност), \( (a + b) + c = a + (b + c) \) (асоцијативност), \( a + 0 = a \).
Сталност: Збир остаје исти ако се један сабирак повећа, а други умањи за исти број: \( (a+c)+(b-c)=a+b \). Разлика остаје иста ако се оба члана истовремено увећају или умање за исти број: \( (a+c)-(b+c)=a-b \).
Једначине: \( x + a = b \implies x = b - a \); \( x - a = b \implies x = b + a \); \( a - x = b \implies x = a - b \).
Вишецифрени бројеви (шестоцифрени и већи од милион) потписују се тако што се цифре истих месних вредности пишу тачно једна испод друге: јединице испод јединица, десетице испод десетица, стотине испод стотина итд.
Сабирање: Сабира се слева надесно почињући од најмање месне вредности (јединица). Када збир у некој колони пређе 9, десетице тог збира се преносе и додају у наредну, већу месну вредност (сабирање са прелазом).
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{+} \overset{1}{1}50\,835 \\
+ & \underline{\phantom{0}118\,423} \\
& \phantom{+} 269\,258
\end{array}
\]
Одузимање: Одузима се почевши од јединица. Ако је цифра умањеника мања од цифре умањиоца, позајмљује се једна јединица вишег реда из суседне колоне с леве стране (\(1 \text{ Д} = 10 \text{ Ј}\), \(1 \text{ Х} = 10 \text{ С}\) итд.).
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{-} \overset{4}{5}\overset{9}{0}\overset{12}{2}95\,520 \\
- & \underline{\phantom{0}41\,394\,320} \\
& \phantom{-0}8\,901\,200
\end{array}
\]
Израчунај вредност разлике: \( 380\,432 - 100\,000 \).
Одузимањем одговарајућих месних вредности:
\[ 380\,432 - 100\,000 = 280\,432 \]
Комутативност (замена места сабирака): Збир два броја не зависи од редоследа сабирака.
\[ a + b = b + a \quad (a, b \in \mathbb{N}_0) \]
Асоцијативност (здруживање сабирака): Збир три броја се не мења без обзира на то како се сабирци здруже.
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \quad (a, b, c \in \mathbb{N}_0) \]
Својство нуле: Нула је неутрални елемент при сабирању. Одузимањем нуле број остаје непромењен.
\[ n + 0 = 0 + n = n \qquad n - 0 = n \quad (n \in \mathbb{N}_0) \]
Лакше рачунање коришћењем комутативности и асоцијативности:
\[ 1\,250 + 4\,890 + 750 = (1\,250 + 750) + 4\,890 = 2\,000 + 4\,890 = 6\,890 \]
Сталност збира: Збир остаје исти ако се један сабирак повећа, а други сабирак смањи за исти број.
\[ (a + c) + (b - c) = a + b \quad (\text{за } b > c) \]
Сталност разлике: Разлика два броја се не мења ако се и умањеник и умањилац повећају или умање за исти број.
\[ (a + c) - (b + c) = a - b \quad (a > b) \]
\[ (a - c) - (b - c) = a - b \quad (a > b, \, b > c) \]
Својство сталности разлике омогућава брже рачунање допуњавањем умањиоца до најближе десетице, стотине или хиљаде.
Допуна умањиоца за \( 11 \):
\[ 15\,100 - 10\,989 = (15\,100 + 11) - (10\,989 + 11) = 15\,111 - 11\,000 = 4\,111 \]
Израчунај користећи сталност разлике: \( 15\,841 - 304 \).
Умањујемо оба члана за 4 како би умањилац био округли број (300):
\[ 15\,841 - 304 = (15\,841 - 4) - (304 - 4) = 15\,837 - 300 = 15\,537 \]
Израчунава се тако што се од збира одузме познати сабирак.
\[ x + a = b \implies x = b - a \]
Израчунава се сабирањем разлике и умањиоца.
\[ x - a = b \implies x = b + a \]
Израчунава се када се од умањеника одузме разлика.
\[ a - x = b \implies x = a - b \]
Реши једначину: \( 6\,874 - x = 5\,294 \).
Непознати умањилац се добија одузимањем разлике од умањеника:
\[ x = 6\,874 - 5\,294 \]
\[ x = 1\,580 \]
При решавању неједначина у скупу \( \mathbb{N}_0 \), одређује се скуп свих целих бројева \( \ge 0 \) који чине неједнакост тачном:
- \( x + a \le b \implies x \le b - a \)
- \( a - x \ge b \implies x \le a - b \)
Прочитај текст пажљиво и одреди шта је познато, а шта непознато (уведи слово, нпр. \( x \)).
Преведи текстуални опис у једначину, неједначину или сложени бројни израз.
Пре рачунања све мере морају бити у истим јединицама (нпр. \( 1 \text{ kg} = 1\,000 \text{ g} \)).
Провери смисао добијеног броја и запиши јасан текстуални одговор.
Ако плаћамо рачун новчаницом од \( 5\,000 \) динара за артикле од \( 1\,258 \), \( 845 \) и \( 99 \) динара, кусур израчунавамо изразом:
\[ 5\,000 - (1\,258 + 845 + 99) = 5\,000 - 2\,202 = 2\,798 \text{ динара} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза:
а) \( 268\,154 + 200\,000 \)
б) \( x + 3\,210 = 5\,900 \)
а) \( 268\,154 + 200\,000 \)
б) \( x + 3\,210 = 5\,900 \)
а) Потписивањем и сабирањем вредности на месту стотина хиљада:
\[ 268\,154 + 200\,000 = 468\,154 \]
б) Одређивање непознатог сабирка:
\[ x = 5\,900 - 3\,210 = 2\,690 \]
Задатак 2 (средњи): Једна фирма је у јануару исплатила \( 408\,150 \) динара за плате, а у фебруару \( 399\,655 \) динара. За колико динара је у јануару исплаћено више новца него у фебруару?
Постављамо израз одузимања:
\[ 408\,150 - 399\,655 \]
Одузимањем са позајмљивањем:
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{-} 408\,150 \\
- & \underline{\phantom{0}399\,655} \\
& \phantom{-00}8\,495
\end{array}
\]
Одговор: У јануару је исплаћено \( 8\,495 \) динара више.
Задатак 3 (средњи): Дозвољена маса авионског пртљага је \( 23 \text{ kg} \). Путник је спаковао кофер масе \( 3\,300 \text{ g} \), гардеробу од \( 15 \text{ kg} \) и прибор од \( 1\,800 \text{ g} \). Колико грама пртљага још може да спакује?
Преводимо све податке у граме (\( 1 \text{ kg} = 1\,000 \text{ g} \)):
- Дозвољена маса: \( 23 \text{ kg} = 23\,000 \text{ g} \)
- Гардероба: \( 15 \text{ kg} = 15\,000 \text{ g} \)
- Тренутна маса ствари: \( 3\,300 \text{ g} + 15\,000 \text{ g} + 1\,800 \text{ g} = 20\,100 \text{ g} \)
Задатак 4 (тежак): Реши једначину \( x - 24\,382 = 18\,300 \), а затим одреди скуп свих природних бројева који задовољавају неједнакост \( y + 42\,680 \le 42\,683 \).
1. Једначина: непознати умањеник добијамо сабирањем:
\[ x = 18\,300 + 24\,382 = 42\,682 \]
2. Неједначина:
\[ y \le 42\,683 - 42\,680 \implies y \le 3 \]
У скупу целих ненегативних бројева (\( \mathbb{N}_0 \)):
\[ y \in \{0, 1, 2, 3\} \]
Ако се траже само природни бројеви (\( \mathbb{N} \)):
\[ y \in \{1, 2, 3\} \]
