Најважније из лекције
Кључна правила:
- Непознати сабирак: \( x + a = b \implies x = b - a \)
- Непознати умањеник: \( x - a = b \implies x = b + a \)
- Непознати умањилац: \( a - x = b \implies x = a - b \)
- Неједначине у \( \mathbb{N}_0 \): Код \( x + a \le b \), решења су од \( 0 \) до \( b - a \). Код непознатог умањиоца \( a - x \ge b \), знак неједнакости се окреће: \( x \le a - b \).
- Текстуални задаци: Одредити непознату \( x \), формулисати једначину/неједначину, израчунати решење и написати завршни одговор.
Једначина је математички израз у коме се налази непознати број (променљива, нпр. \( x, a, b \)) повезан знаком једнакости (\( = \)).
Одређивање непознатог сабирка: Непознати сабирак се израчунава тако што се од збира одузме познати сабирак.
\[ x + a = b \implies x = b - a \]
Одређивање непознатог умањеника: Непознати умањеник се израчунава тако што се саберу разлика и умањилац.
\[ x - a = b \implies x = b + a \]
Одређивање непознатог умањиоца: Непознати умањилац се израчунава тако што се од умањеника одузме разлика.
\[ a - x = b \implies x = a - b \]
Решити једначину \( 14\,000 - b = 2\,898 \):
Пошто је \( b \) непознати умањилац: \[ b = 14\,000 - 2\,898 \] \[ b = 11\,102 \]
Пошто је \( b \) непознати умањилац: \[ b = 14\,000 - 2\,898 \] \[ b = 11\,102 \]
Одреди непознати број \( a \) из једначине: \( a - 18\,392 = 9\,006 \).
Непознати број је умањеник:
\[ a = 9\,006 + 18\,392 \]
\[ a = 27\,398 \]
Неједначина је математички израз у коме се налази променљива и знак неједнакости (\( <, >, \le, \ge \)). Решење неједначине у скупу \( \mathbb{N}_0 \) је скуп свих бројева (нули и природних бројева) који ту неједнакост чине тачном.
Непознати сабирак у неједначини:
\[ x + a \le b \implies x \le b - a \]
Скуп решења у \( \mathbb{N}_0 \) чине сви цели бројеви од \( 0 \) до \( b - a \).
Непознати умањилац у неједначини:
Приликом одређивања непознатог умањиоца мења се смер знака неједнакости.
\[ a - x \ge b \implies x \le a - b \]
У скупу \( \mathbb{N}_0 \) решења не могу бити мања од 0, па увек мора важити \( x \ge 0 \).
Реши неједначину \( x + 999 \le 1\,672 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ x \le 1\,672 - 999 \]
\[ x \le 673 \]
Скуп решења: \( x \in \{0, 1, 2, \dots, 673\} \).
Одреди скуп свих решења неједначине \( 8\,720 - a \ge 5\,400 \) у скупу \( \mathbb{N}_0 \).
Непознати умањилац мења смер знака:
\[ a \le 8\,720 - 5\,400 \]
\[ a \le 3\,320 \]
Скуп решења у \( \mathbb{N}_0 \) је: \( a \in \{0, 1, 2, \dots, 3\,320\} \).
Идентификација непознате: Пажљиво прочитати текст и означити тражену величину словом (најчешће \( x \)).
Постављање модела: Превести текстуалне односе (нпр. „за толико мање“, „укупно“, „остало је више од“) у једначину или неједначину.
Решавање: Израчунати вредност непознате користећи правила за сабирање и одузимање.
Провера и одговор: Проверити да ли решење одговара условима задатка и записати одговор пуном реченицом.
До почетка представе у позориште је ушао 961 гледалац. Током представе ушло је још гледалаца, тако да их је у сали било мање од 1 190. Колико је гледалаца највише могло ући у салу?
Постављање неједначине: Нека је \( x \) број гледалаца који су ушли током представе. \[ 961 + x < 1\,190 \] \[ x < 1\,190 - 961 \] \[ x < 229 \] Највећи број који је строго мањи од 229 је 228.
Одговор: У салу је највише могло ући 228 гледалаца.
Постављање неједначине: Нека је \( x \) број гледалаца који су ушли током представе. \[ 961 + x < 1\,190 \] \[ x < 1\,190 - 961 \] \[ x < 229 \] Највећи број који је строго мањи од 229 је 228.
Одговор: У салу је највише могло ући 228 гледалаца.
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Реши једначину са непознатим сабирком:
\[ x + 92\,807 = 730\,094 \]
Непознати сабирак добијамо одузимањем познатог сабирка од збира:
\[ x = 730\,094 - 92\,807 \]
\[ x = 637\,287 \]
Одговор: \( x = 637\,287 \).
Средњи ниво: Одреди скуп решења неједначине у скупу \( \mathbb{N}_0 \):
\[ 24\,700 + b \le 50\,000 \]
Одређујемо вредност за \( b \):
\[ b \le 50\,000 - 24\,700 \]
\[ b \le 25\,300 \]
Како је услов да решење припада скупу \( \mathbb{N}_0 \), вредности се крећу од \( 0 \) до максималног износа:
Одговор: \( b \in \{0, 1, 2, \dots, 25\,300\} \).
Одговор: \( b \in \{0, 1, 2, \dots, 25\,300\} \).
Тежи ниво: На југ је полетело \( 3\,567 \) птица селица. Током пута један број птица је заостао, тако да је на југ стигло \( 2\,369 \) птица. Постави једначину и одреди колико птица није стигло на југ.
Нека је \( x \) број птица које нису стигле на југ.
Једначина: \[ 3\,567 - x = 2\,369 \] Непознати број је умањилац: \[ x = 3\,567 - 2\,369 \] \[ x = 1\,198 \] Одговор: На југ није стигло \( 1\,198 \) птица селица.
Једначина: \[ 3\,567 - x = 2\,369 \] Непознати број је умањилац: \[ x = 3\,567 - 2\,369 \] \[ x = 1\,198 \] Одговор: На југ није стигло \( 1\,198 \) птица селица.
Тежи ниво: Павле је од своје уштеђевине купио књигу за \( 1\,200 \) динара, патике за \( 14\,697 \) динара и улазницу за биоскоп за \( 600 \) динара. Након куповине му је остало више од \( 5\,000 \) динара. Постави неједначину и одреди колико је новца Павле могао да понесе у куповину.
Нека је \( y \) износ новца који је Павле понео.
Укупни трошкови: \[ 1\,200 + 14\,697 + 600 = 16\,497 \text{ динара} \] Неједначина: \[ y - 16\,497 > 5\,000 \] Како је \( y \) умањеник: \[ y > 5\,000 + 16\,497 \] \[ y > 21\,497 \] Одговор: Павле је могао да понесе више од \( 21\,497 \) динара (најмање \( 21\,498 \) динара).
Укупни трошкови: \[ 1\,200 + 14\,697 + 600 = 16\,497 \text{ динара} \] Неједначина: \[ y - 16\,497 > 5\,000 \] Како је \( y \) умањеник: \[ y > 5\,000 + 16\,497 \] \[ y > 21\,497 \] Одговор: Павле је могао да понесе више од \( 21\,497 \) динара (најмање \( 21\,498 \) динара).
