Најважније из лекције
Једнаки имениоци: Сабирамо/одузимамо бројиоце, а именилац преписујемо (\( \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c} \)).
Различити имениоци: Проширујемо разломке на заједнички именилац (\( \text{НЗС} \)), па рачунамо.
Мешовити бројеви: Рачунамо одвојено целе делове и разломке, водећи рачуна о преносу целине код сабирања и позајмљивању (\( 3\frac{1}{5} = 2\frac{6}{5} \)) код одузимања.
Децимални запис: Потписује се обавезно запета испод запете, по потреби се здесна дописују нуле.
Једначине: \( x + a = b \implies x = b - a \); \( x - a = b \implies x = b + a \); \( a - x = b \implies x = a - b \).
Неједначине: Пазити на услове ненегативности (\( x \ge 0 \)) и услов постојања разлике. Код непознатог умањиоца (\( a - x < b \) или \( a - x > b \)) знак неједнакости се окреће!
Различити имениоци: Проширујемо разломке на заједнички именилац (\( \text{НЗС} \)), па рачунамо.
Мешовити бројеви: Рачунамо одвојено целе делове и разломке, водећи рачуна о преносу целине код сабирања и позајмљивању (\( 3\frac{1}{5} = 2\frac{6}{5} \)) код одузимања.
Децимални запис: Потписује се обавезно запета испод запете, по потреби се здесна дописују нуле.
Једначине: \( x + a = b \implies x = b - a \); \( x - a = b \implies x = b + a \); \( a - x = b \implies x = a - b \).
Неједначине: Пазити на услове ненегативности (\( x \ge 0 \)) и услов постојања разлике. Код непознатог умањиоца (\( a - x < b \) или \( a - x > b \)) знак неједнакости се окреће!
Разломке једнаких именилаца сабирамо (односно одузимамо) тако што заједнички именилац препишемо, а бројиоце саберемо (односно одузмемо).
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \]
\[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \quad (a \ge b) \]
- \( \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7} \)
- \( \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)
- \( \frac{6}{7} - \frac{4}{7} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7} \)
- \( \frac{11}{9} - \frac{7}{9} = \frac{4}{9} \)
Израчунај: \( \frac{7}{12} - \frac{5}{12} + \frac{4}{12} \).
\( \frac{7 - 5 + 4}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).
Разломке различитих именилаца не можемо сабирати нити одузимати директно. Прво их проширивањем сводимо на једнаке имениоце, а затим применимо правило за разломке једнаких именилаца.
Да бисмо рачунали са што мањим бројевима, за заједнички именилац се увек бира најмањи заједнички садржалац (НЗС) именилаца.
\[ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d} \]
Одредити \( \text{НЗС} \) за дате имениоце.
Проширити сваки разломак одговарајућим бројем тако да сви добију одређени заједнички именилац.
Сабрати или одузети бројиоце, а заједнички именилац преписати. Ако је могуће, скратити добијени разломак или га претворити у мешовити број.
- \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \quad (\text{НЗС}(4, 6) = 12) \)
- \( \frac{11}{8} - \frac{3}{10} = \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{55}{40} - \frac{12}{40} = \frac{43}{40} = 1\frac{3}{40} \quad (\text{НЗС}(8, 10) = 40) \)
Израчунај разлику: \( \frac{5}{6} - \frac{3}{8} \).
\( \text{НЗС}(6, 8) = 24 \).
Проширујемо: \( \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24} \).
Проширујемо: \( \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24} \).
Мешовите бројеве можемо сабирати и одузимати на два начина:
- Први начин: Претварањем мешовитих бројева у неправилне разломке, њиховим рачунањем, па претварањем резултата назад у мешовити број.
- Други начин: Посебним рачунањем целих делова и посебним рачунањем правих разломака (уз довођење на исти именилац).
Код одузимања, ако је разломљени део умањеника мањи од разломљеног дела умањиоца, морамо „позајмити” једно цело од целог дела умањеника и додати га његовом разломку:
\[ 3\frac{1}{5} = 2 + 1 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 2\frac{6}{5} \]
- Сабирање са преносом:
\( 11\frac{3}{10} + 6\frac{9}{10} = 17\frac{12}{10} = 17 + 1\frac{2}{10} = 18\frac{2}{10} = 18\frac{1}{5} \) - Одузимање са позајмљивањем:
\( 5\frac{5}{8} - 2\frac{7}{8} = 4\frac{13}{8} - 2\frac{7}{8} = 2\frac{6}{8} = 2\frac{3}{4} \) - Различити имениоци:
\( 6\frac{7}{8} - 4\frac{1}{12} = 6\frac{21}{24} - 4\frac{2}{24} = 2\frac{19}{24} \quad (\text{НЗС}(8, 12) = 24) \)
Израчунај: \( 4\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3} \).
Сводимо на исти именилац: \( 4\frac{1}{6} - 1\frac{4}{6} \).
Пошто је \( \frac{1}{6} < \frac{4}{6} \), позајмљујемо једно цело:
\( 4\frac{1}{6} = 3\frac{7}{6} \).
Сада одузимамо: \( 3\frac{7}{6} - 1\frac{4}{6} = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2} \).
Пошто је \( \frac{1}{6} < \frac{4}{6} \), позајмљујемо једно цело:
\( 4\frac{1}{6} = 3\frac{7}{6} \).
Сада одузимамо: \( 3\frac{7}{6} - 1\frac{4}{6} = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2} \).
Децималне бројеве сабирамо и одузимамо потписивањем једног испод другог, тако да децимална запета увек буде тачно испод децималне запете. Цифре са истим месним вредностима потписују се једна испод друге, а затим се сабира или одузима као код природних бројева. Децимална запета резултата се спушта на исто место.
Ако бројеви немају исти број децимала, са десне стране броја можемо дописати потребан број нула ради лакшег рачунања:
\[ 3,8 = 3,80 \quad \text{или} \quad 158 = 158,00 \]
- Сабирање са дописивањем нуле: \[ 4,26 + 3,7 = 4,26 + 3,70 = 7,96 \]
- Одузимање са позајмљивањем и дописивањем нула: \[ 158 - 37,99 = 158,00 - 37,99 = 120,01 \]
Израчунај разлику: \( 12,9 - 2,54 \).
Дописујемо нулу умањенику:
\[ 12,90 - 2,54 = 10,36 \]
Решење једначине је вредност непознате која, замењена у полазну једначину, даје тачну бројевну једнакост (\( \text{Л} = \text{Д} \)).
Правила за одређивање непознате:
- Непознати сабирак се рачуна одузимањем познатог сабирка од збира: \[ x + a = b \implies x = b - a \]
- Непознати умањеник се рачуна сабирањем разлике и умањиоца: \[ x - a = b \implies x = b + a \]
- Непознати умањилац се рачуна одузимањем разлике од познатог умањеника: \[ a - x = b \implies x = a - b \]
Ако су у једначини помешани разломци и децимални бројеви, преводимо их у исти запис. Ако се појаве разломци са бесконачним периодичним децималним записом (попут \( \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{2}{3} \)), обавезно све преводимо у обичне разломке.
Решити једначину \( 2\frac{1}{3} - x = 0,5 \):
\[ 2\frac{1}{3} - x = \frac{1}{2} \]
\[ x = 2\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{7}{3} - \frac{1}{2} = \frac{14}{6} - \frac{3}{6} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \]
Реши једначину: \( x + 0,45 = 1\frac{1}{4} \).
Преводимо у децимални запис: \( 1\frac{1}{4} = 1,25 \).
\( x = 1,25 - 0,45 = 0,80 = 0,8 \) (или као разломак: \( \frac{4}{5} \)).
\( x = 1,25 - 0,45 = 0,80 = 0,8 \) (или као разломак: \( \frac{4}{5} \)).
Скуп решења неједначине чине сви бројеви који је чине тачном. Решења приказујемо на бројевној полуправој.
У скупу ненегативних разломака (\( x \ge 0 \)) увек мора бити испуњен услов постојања операције одузимања (умањеник мора бити већи или једнак умањиоцу):
- Код непознатог умањиоца \( a - x < b \), смер знака неједнакости се окреће, уз услов \( x \le a \).
- Код непознатог умањеника \( x - a < b \), мора важити \( x \ge a \).
| Облик неједначине | Скуп решења | Основни услов |
|---|---|---|
| \( x + a < b \) | \( 0 \le x < b - a \) | \( a < b \) |
| \( x + a > b \) | \( x > b - a \) | \( a < b \) |
| \( x - a > b \) | \( x > b + a \) | - |
| \( x - a < b \) | \( a \le x < b + a \) | - |
| \( a - x < b \) | \( a - b < x \le a \) | \( a \ge b \) |
| \( a - x > b \) | \( 0 \le x < a - b \) | \( a > b \) |
Реши неједначину \( 3,9 - x < 2,05 \):
Непознат је умањилац, па се знак \( < \) мења у \( > \), уз ограничење да је \( x \le 3,9 \): \[ x > 3,9 - 2,05 \implies x > 1,85 \] Коначно решење: \( 1,85 < x \le 3,9 \).
Непознат је умањилац, па се знак \( < \) мења у \( > \), уз ограничење да је \( x \le 3,9 \): \[ x > 3,9 - 2,05 \implies x > 1,85 \] Коначно решење: \( 1,85 < x \le 3,9 \).
Реши неједначину: \( x - 2,7 < 3 \).
Да би одузимање било могуће, мора бити \( x \ge 2,7 \).
\( x < 3 + 2,7 \implies x < 5,7 \).
Решење: \( 2,7 \le x < 5,7 \).
\( x < 3 + 2,7 \implies x < 5,7 \).
Решење: \( 2,7 \le x < 5,7 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза:
\[ 3\frac{2}{5} + 1\frac{4}{5} - \frac{1}{5} \]
Пошто сви сабирци имају исти именилац (5):
\( 3\frac{2}{5} + 1\frac{4}{5} = (3 + 1) + \frac{2 + 4}{5} = 4\frac{6}{5} = 5\frac{1}{5} \).
Затим одузимамо:
\( 5\frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 5 \).
\( 3\frac{2}{5} + 1\frac{4}{5} = (3 + 1) + \frac{2 + 4}{5} = 4\frac{6}{5} = 5\frac{1}{5} \).
Затим одузимамо:
\( 5\frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 5 \).
Задатак 2 (средњи): Израчунај вредност израза са мешовитим записима:
\[ 4,65 + 2\frac{3}{4} - 1,8 \]
Преведемо све у децимални запис (\( 2\frac{3}{4} = 2,75 \)):
1) \( 4,65 + 2,75 = 7,40 = 7,4 \)
2) \( 7,4 - 1,8 = 5,6 \)
Одговор: \( 5,6 \) (или у облику разломка \( 5\frac{3}{5} = \frac{28}{5} \)).
1) \( 4,65 + 2,75 = 7,40 = 7,4 \)
2) \( 7,4 - 1,8 = 5,6 \)
Одговор: \( 5,6 \) (или у облику разломка \( 5\frac{3}{5} = \frac{28}{5} \)).
Задатак 3 (средњи): Реши једначину:
\[ 4\frac{5}{6} - x = 1\frac{3}{4} \]
Непознат је умањилац:
\[ x = 4\frac{5}{6} - 1\frac{3}{4} \]
Заједнички именилац за 6 и 4 је \( \text{НЗС}(6, 4) = 12 \):
\[ x = 4\frac{10}{12} - 1\frac{9}{12} \]
\[ x = (4 - 1) + \left(\frac{10}{12} - \frac{9}{12}\right) = 3\frac{1}{12} \quad \left(\text{или } \frac{37}{12}\right) \]
Задатак 4 (тежак): Одреди сва решења неједначине:
\[ \frac{1}{2} - x > \frac{1}{3} \]
Запиши скуп решења користећи двоструку неједнакост.
Како је непознат умањилац, знак \( > \) прелази у знак \( < \):
\[ x < \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \]
Свођењем на заједнички именилац 6:
\[ x < \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \implies x < \frac{1}{6} \]
Како радимо у скупу ненегативних разломака, вредност мора бити већа или једнака са 0:
\[ 0 \le x < \frac{1}{6} \]
