Најважније из лекције
Збир углова: Унутрашњи углови троугла увек дају \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \), а спољашњи \( \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ \). Сваки спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња (\( \alpha_1 = \beta + \gamma \)).
Однос углова и страница: Наспрам већег угла лежи дужа страница (\( \alpha > \beta \iff a > b \)), а наспрам једнаких углова леже једнаке странице (једнакокраки: \( \alpha = \beta \); једнакостранични: сви \( 60^\circ \)). Код правоуглог троугла хипотенуза је најдужа.
Неједнакост троугла: За сваке три странице мора важити \( a + b > c \), \( a + c > b \) и \( b + c > a \).
Висина: Дуж спуштена из темена нормално на праву наспрамне странице (\( h_a \bot a \)).
Однос углова и страница: Наспрам већег угла лежи дужа страница (\( \alpha > \beta \iff a > b \)), а наспрам једнаких углова леже једнаке странице (једнакокраки: \( \alpha = \beta \); једнакостранични: сви \( 60^\circ \)). Код правоуглог троугла хипотенуза је најдужа.
Неједнакост троугла: За сваке три странице мора важити \( a + b > c \), \( a + c > b \) и \( b + c > a \).
Висина: Дуж спуштена из темена нормално на праву наспрамне странице (\( h_a \bot a \)).
Сваки троугао има три унутрашња угла (\( \alpha, \beta, \gamma \)) и три спољашња угла (\( \alpha_1, \beta_1, \gamma_1 \)). Спољашњи угао троугла добија се продужавањем једне странице преко темена и упоредан је са одговарајућим унутрашњим углом.
Збир унутрашњих углова у сваком троуглу једнак је опруженом углу (\( 180^\circ \)):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Унутрашњи и њему одговарајући спољашњи угао су суседни (упоредни) и њихов збир износи \( 180^\circ \):
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ, \quad \beta + \beta_1 = 180^\circ, \quad \gamma + \gamma_1 = 180^\circ \]
Сваки спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла:
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma, \quad \beta_1 = \alpha + \gamma, \quad \gamma_1 = \alpha + \beta \]
Збир свих спољашњих углова троугла износи \( 360^\circ \):
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ \]
Ако су унутрашњи углови \( \alpha = 48^\circ \) и \( \beta = 72^\circ \):
\[ \gamma = 180^\circ - (48^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Спољашњи угао уз теме \( A \) износи:
\[ \alpha_1 = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ \quad \text{или} \quad \alpha_1 = \beta + \gamma = 72^\circ + 60^\circ = 132^\circ \]
Према мерама својих унутрашњих углова, троуглови се деле на три врсте:
Оштроугли троугао: сва три унутрашња угла су оштра (сваки угао је мањи од \( 90^\circ \)).
Правоугли троугао: има тачно један прав угао (\( 90^\circ \)). Страница наспрам правог угла зове се хипотенуза, а странице које заклапају прав угао зову се катете.
Тупоугли троугао: има тачно један туп угао (угао већи од \( 90^\circ \) и мањи од \( 180^\circ \)).
Троугао може имати највише један прав или највише један туп угао, јер би у супротном збир углова био већи од \( 180^\circ \).
Однос једнакости: Наспрам једнаких страница налазе се једнаки углови, и обрнуто - наспрам једнаких углова налазе се једнаке странице.
Код једнакокраког троугла углови на основици су међусобно једнаки (\( \alpha = \beta \)). Једнакокраки троугао има једну осу симетрије која пролази кроз врх наспрам основице.
Код једнакостраничног троугла све странице су једнаке, па су и сви унутрашњи углови једнаки:
\[ \alpha = \beta = \gamma = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]
Однос неједнакости: Наспрам већег угла троугла налази се дужа страница, и обрнуто - наспрам дуже странице налази се већи угао:
\[ a > b \iff \alpha > \beta \]
У правоуглом троуглу прав угао (\( 90^\circ \)) је највећи угао, због чега је хипотенуза увек најдужа страница правоуглог троугла.
Ако правоугли троугао има један оштар угао од \( 45^\circ \), онда је и други оштар угао \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Пошто има два једнака угла, тај троугао је једнакокрако-правоугли (катете су му једнаких дужина).
Свака страница троугла мора бити мања од збира друге две странице, а већа од њихове позитивне разлике.
\[ |b - c| < a < b + c \]
\[ |a - c| < b < a + c \]
\[ |a - b| < c < a + b \]
Три дужи могу бити странице троугла само ако је дужина најдуже дужи строго мања од збира дужина преостале две.
Дужи дужина \( 3 \text{ cm} \), \( 4 \text{ cm} \) и \( 8 \text{ cm} \) не могу чинити троугао јер је \( 3 + 4 = 7 < 8 \). Са друге стране, дужи \( 4 \text{ cm} \), \( 5 \text{ cm} \) и \( 7 \text{ cm} \) могу чинити троугао јер је \( 7 < 4 + 5 \).
Висина троугла је дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга тачка је подножје нормале спуштене из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу троугла.
Висина која одговара страници \( a \) означава се са \( h_a \), страници \( b \) са \( h_b \), а страници \( c \) са \( h_c \). Подножје висине из темена \( A \) често се обележава са \( A' \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај непознати унутрашњи угао \( \alpha \) троугла \( ABC \) ако су познати углови \( \beta = 64^\circ \) и \( \gamma = 51^\circ \), а затим одреди којој врсти према угловима припада тај троугао.
Збир унутрашњих углова троугла износи \( 180^\circ \):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ \alpha + 64^\circ + 51^\circ = 180^\circ \]
\[ \alpha + 115^\circ = 180^\circ \implies \alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \]
Сва три угла (\( 65^\circ, 64^\circ, 51^\circ \)) мања су од \( 90^\circ \), што значи да су сви оштри.
Одговор: \( \alpha = 65^\circ \); троугао је оштроугли.
Одговор: \( \alpha = 65^\circ \); троугао је оштроугли.
Средњи задатак 1: У једнакокраком троуглу угао при врху износи \( \gamma = 40^\circ \). Одреди углове на основици тог троугла и закључи која је страница дужа - основица или крак.
Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки (\( \alpha = \beta \)).
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 2\alpha + 40^\circ = 180^\circ \implies 2\alpha = 140^\circ \implies \alpha = \beta = 70^\circ \]
Наспрам углова на основици од \( 70^\circ \) налазе се краци, а наспрам угла при врху од \( 40^\circ \) налази се основица. Пошто је већи угао наспрам дуже странице (\( 70^\circ > 40^\circ \)), краци су дужи од основице.
Одговор: Углови на основици су \( 70^\circ \); крак је дужи од основице.
Одговор: Углови на основици су \( 70^\circ \); крак је дужи од основице.
Средњи задатак 2: Могу ли дужи дужина \( 6 \text{ cm} \), \( 9 \text{ cm} \) и \( 16 \text{ cm} \) бити странице троугла? Обраложи одговор помоћу неједнакости троугла.
Да би троугао постојао, збир две краће странице мора бити строго већи од најдуже странице:
\[ 6 + 9 = 15 \]
Како је \( 15 < 16 \), услов неједнакости троугла није испуњен (збир две странице је мањи од треће).
Одговор: Не, дате дужи не могу формирати троугао.
Одговор: Не, дате дужи не могу формирати троугао.
Тежак задатак: Спољашњи углови троугла \( ABC \) су \( \alpha_1 = 130^\circ \) и \( \beta_1 = 110^\circ \). Одреди све унутрашње углове троугла и поређај странице \( a, b, c \) по дужини од најкраће до најдуже.
1. Унутрашњи угао је суседан спољашњем (\( \text{угао} = 180^\circ - \text{спољашњи угао} \)):
\[ \alpha = 180^\circ - \alpha_1 = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \]
\[ \beta = 180^\circ - \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
2. Трећи унутрашњи угао одређујемо из збира свих углова:
\[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \]
3. Поређамо унутрашње углове по величини:
\[ \alpha < \gamma < \beta \quad (50^\circ < 60^\circ < 70^\circ) \]
4. Како се наспрам мањег угла налази краћа страница:
\[ a < c < b \]
Одговор: Унутрашњи углови су \( \alpha = 50^\circ \), \( \beta = 70^\circ \), \( \gamma = 60^\circ \); поредак страница по дужини је \( a < c < b \).
