Најважније из лекције
Кључни закључци:
• Неједнакост троугла: Збир било које две странице троугла увек је већи од дужине треће странице (\( a+b>c \)).
• Границе дужине: Свака страница је строго мања од збира друге две, а строго већа од њихове разлике (\( |a-b| < c < a+b \)).
• Брза провера: Да би се утврдило да ли три дате дужи могу формирати троугао, довољно је сабрати две најкраће дужи. Уколико је њихов збир већи од најдуже дужи, троугао се може конструисати.
• Неједнакост троугла: Збир било које две странице троугла увек је већи од дужине треће странице (\( a+b>c \)).
• Границе дужине: Свака страница је строго мања од збира друге две, а строго већа од њихове разлике (\( |a-b| < c < a+b \)).
• Брза провера: Да би се утврдило да ли три дате дужи могу формирати троугао, довољно је сабрати две најкраће дужи. Уколико је њихов збир већи од најдуже дужи, троугао се може конструисати.
Да би три дужи могле да образују троугао, оне морају да задовоље одређене математичке услове који се називају неједнакости троугла. У сваком троуглу, дужина сваке странице мора бити мања од збира дужина друге две странице.
Свака страница троугла мања је од збира друге две странице, а већа од њихове разлике.
Ако су \( a \), \( b \) и \( c \) странице троугла, тада за сваку страницу важи:
\[ |a - b| < c < a + b \]
(Страница \( c \) је већа од разлике страница \( a \) и \( b \), а мања од њиховог збира).
Ако су задате три дужи, оне могу образовати троугао само ако свака од њих задовољава неједнакост троугла. У пракси, довољно је проверити да ли је најдужа страница мања од збира друге две.
Ако су познате две странице троугла, на пример \( a = 13 \text{ cm} \) и \( b = 6 \text{ cm} \), трећа страница \( c \) мора да се налази између њихове разлике и њиховог збира:
\[ 13 - 6 < c < 13 + 6 \]
\[ 7 \text{ cm} < c < 19 \text{ cm} \]
Дакле, троугао може постојати само ако је трећа страница дужа од \( 7 \text{ cm} \), а краћа од \( 19 \text{ cm} \).
Да ли се може конструисати троугао од дужи чије су дужине \( 1 \text{ cm} \), \( 2 \text{ cm} \) и \( 3 \text{ cm} \)?
Одговор: Не. Збир две краће странице мора бити строго већи од најдуже странице. Овде је \( 1 + 2 = 3 \), што није веће од најдуже странице која износи 3. (Геометријски гледано, кружнице чији су полупречници ове дужи би се само додирнуле, па се не би формирало треће теме троугла).
Задаци за вежбање
Лак: Да ли постоји троугао чије су странице дужина \( 17 \text{ cm} \), \( 15 \text{ cm} \) и \( 31 \text{ cm} \)?
Проверавамо да ли је најдужа страница мања од збира друге две. Најдужа страница је \( 31 \text{ cm} \).
\( 31 < 17 + 15 \)
\( 31 < 32 \)
Одговор: Да, постоји, јер је неједнакост тачна.
\( 31 < 17 + 15 \)
\( 31 < 32 \)
Одговор: Да, постоји, јер је неједнакост тачна.
Средњи: Да ли је могуће нацртати троугао чије су странице \( 3,6 \text{ cm} \), \( 8,4 \text{ cm} \) и \( 4,6 \text{ cm} \)?
Издвајамо најдужу страницу (\( 8,4 \text{ cm} \)) и упоређујемо је са збиром преостале две:
\( 8,4 < 3,6 + 4,6 \)
\( 8,4 < 8,2 \)
Ова неједнакост није тачна.
Одговор: Троугао са овим дужинама страница не постоји.
\( 8,4 < 3,6 + 4,6 \)
\( 8,4 < 8,2 \)
Ова неједнакост није тачна.
Одговор: Троугао са овим дужинама страница не постоји.
Средњи: Једна страница троугла је \( 1,9 \text{ m} \), а друга \( 0,7 \text{ m} \). Одреди дужину треће странице у метрима ако се зна да је она цео број.
Нека је трећа страница \( c \). На основу неједнакости троугла важи:
\( a - b < c < a + b \)
\( 1,9 - 0,7 < c < 1,9 + 0,7 \)
\( 1,2 < c < 2,6 \)
Пошто \( c \) мора бити цео број, једини цео број између бројева 1,2 и 2,6 је 2.
Одговор: Трећа страница је дуга \( 2 \text{ m} \).
\( a - b < c < a + b \)
\( 1,9 - 0,7 < c < 1,9 + 0,7 \)
\( 1,2 < c < 2,6 \)
Пошто \( c \) мора бити цео број, једини цео број између бројева 1,2 и 2,6 је 2.
Одговор: Трећа страница је дуга \( 2 \text{ m} \).
Тежак: Две странице једнакокраког троугла износе \( 4 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \). Колика је дужина треће странице тог троугла?
Пошто је троугао једнакокрак, две странице морају бити једнаке дужине. Дакле, трећа страница мора бити или \( 4 \text{ cm} \) или \( 9 \text{ cm} \). Проверимо оба случаја:
1. случај: Странице су \( 4 \text{ cm} \), \( 4 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \). Проверавамо неједнакост за најдужу страницу: \( 9 < 4 + 4 \implies 9 < 8 \). Ово није тачно, па овакав троугао не постоји.
2. случај: Странице су \( 4 \text{ cm} \), \( 9 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \). Проверавамо: \( 9 < 4 + 9 \implies 9 < 13 \). Ово је тачно.
Одговор: Дужина треће странице мора бити \( 9 \text{ cm} \).
1. случај: Странице су \( 4 \text{ cm} \), \( 4 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \). Проверавамо неједнакост за најдужу страницу: \( 9 < 4 + 4 \implies 9 < 8 \). Ово није тачно, па овакав троугао не постоји.
2. случај: Странице су \( 4 \text{ cm} \), \( 9 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \). Проверавамо: \( 9 < 4 + 9 \implies 9 < 13 \). Ово је тачно.
Одговор: Дужина треће странице мора бити \( 9 \text{ cm} \).
