Најважније из лекције
- Упоређивање: За позитивне: већа апсолутна вредност значи већи број (\( 3{,}2 > 1{,}5 \)). За негативне: мања апсолутна вредност значи већи број (\( -1{,}5 > -3{,}2 \)).
- Операције: Одузимање је сабирање са супротним: \( a - b = a + (-b) \). Дељење је множење реципрочном вредношћу: \( a : \frac{p}{q} = a \cdot \frac{q}{p} \). Исти знаци при множењу/дељењу дају \( + \), а различити \( - \).
- Неједначине: Множењем или дељењем обе стране негативним бројем мења се смер знака неједнакости.
- Координатни систем: Средиште дужи је \( S\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \); растојање паралелно оси је \( |x_2 - x_1| \) или \( |y_2 - y_1| \).
- Пропорције и дијаграми: За пропорцију важи \( a \cdot d = b \cdot c \); за обрнуту пропорционалност \( x \cdot y = k \); централни угао на кружном дијаграму је \( \alpha = \frac{p}{100} \cdot 360^\circ \).
Положај на бројевној правој одређује величину броја: број који се налази десније увек је већи од броја који се налази левије.
- Сваки позитиван рационалан број већи је од нуле и већи од сваког негативног рационалног броја (\( a > 0 > b \), где је \( a > 0, b < 0 \)).
- Два позитивна броја: већи је онај који има већу апсолутну вредност (даље је од нуле).
- Два негативна броја: већи је онај који има мању апсолутну вредност (ближи је нули).
- \( 5,9 < 6,1 \) јер је \( |5,9| < |6,1| \)
- \( -1,5 > -2,5 \) јер је \( |-1,5| < |-2,5| \)
- \( \frac{4}{5} > \frac{2}{3} \), јер проширивањем на исти именилац добијамо \( \frac{12}{15} > \frac{10}{15} \)
- \( 3,14 > -\frac{1}{2} \) (позитиван број је увек већи од негативног)
Сабирање бројева истог знака: Сабирају се њихове апсолутне вредности, а резултат задржава заједнички знак.
Сабирање бројева различитог знака: Од веће апсолутне вредности одузима се мања, а резултат има знак броја чија је апсолутна вредност већа.
Одузимање: Одузимање броја \( b \) своди се на сабирање са његовим супротним бројем: \[ a - b = a + (-b) \]
Сабирање бројева различитог знака: Од веће апсолутне вредности одузима се мања, а резултат има знак броја чија је апсолутна вредност већа.
Одузимање: Одузимање броја \( b \) своди се на сабирање са његовим супротним бројем: \[ a - b = a + (-b) \]
Особине сабирања:
- Комутативност: \( a + b = b + a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Неутрални елемент: \( a + 0 = a \)
- Супротни елемент: \( a + (-a) = 0 \)
Ако су бројеви дати у различитим записима (разломак и децимални број), преводимо их у исти запис. Ако децимални запис није коначан (нпр. \( \frac{2}{3} = 0{,}666\dots \)), оба броја записујемо у облику разломка.
\[ -5{,}3 + (-2{,}25) = -(5{,}3 + 2{,}25) = -7{,}55 \]
\[ -\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = -\frac{6}{10} + \frac{5}{10} = -\frac{1}{10} \]
\[ -1{,}8 - (-0{,}34) = -1{,}8 + 0{,}34 = -1{,}46 \]
Правило знакова за множење и дељење:
- Производ/количник два броја истог знака је позитиван: \( (+) \cdot (+) = + \), \( (-) \cdot (-) = + \).
- Производ/количник два броја различитог знака је негативан: \( (+) \cdot (-) = - \), \( (-) \cdot (+) = - \).
Реципрочна вредност: За рационалан број \( r \neq 0 \), реципрочан је број \( \frac{1}{r} \) тако да је \( r \cdot \frac{1}{r} = 1 \). Реципрочна вредност броја \( \frac{p}{q} \) јесте \( \frac{q}{p} \). Број \( 0 \) нема реципрочну вредност.
\[ \frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} \quad (q, r, s \neq 0) \]
Дељење разломком једнако је множењу његовом реципрочном вредношћу.
Особине множења: Комутативност (\( a \cdot b = b \cdot a \)), асоцијативност (\( (ab)c = a(bc) \)), дистрибутивност према сабирању и одузимању (\( a(b \pm c) = ab \pm ac \)), неутрални елемент је 1 (\( a \cdot 1 = a \)), множење нулом даје нулу (\( a \cdot 0 = 0 \)).
\[ \left(-\frac{3}{7}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{12}{35} \]
\[ \left(-\frac{9}{11}\right) : \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{9}{11} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = \frac{3}{11} \cdot \frac{13}{4} = \frac{39}{44} \]
Растојање између тачака на бројевној правој:
\[ d(A, B) = |a - b| = |b - a| \]
где су \( a \) и \( b \) координате тачака \( A \) и \( B \).
Аритметичка средина:
\[ \overline{x} = \frac{a + b}{2} \]
На бројевној правој аритметичка средина представља средиште дужи \( AB \). За \( n \) бројева, аритметичка средина је количник њиховог збира и броја \( n \).
Аритметичка средина бројева \( -\frac{1}{2} \) и \( -\frac{4}{5} \):
\[ \frac{-\frac{1}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right)}{2} = \frac{-\frac{5}{10} - \frac{8}{10}}{2} = \frac{-\frac{13}{10}}{2} = -\frac{13}{20} \]
Еквивалентне трансформације једначина:
- Додавањем или одузимањем истог броја са обе стране једнакости добија се еквивалентна једначина: ако је \( a = b \), онда је \( a + c = b + c \).
- Множењем или дељењем обе стране једнакости истим бројем различитим од нуле добија се еквивалентна једначина: ако је \( a = b \), онда је \( a \cdot c = b \cdot c \) (\( c \neq 0 \)).
Општи облик линеарне једначине:
\[ ax + b = c \implies ax = c - b \implies x = \frac{c - b}{a} \quad (a \neq 0) \]
Решавање једначине:
\[ 4 - \frac{2}{3}x = -\frac{1}{6} \quad / -4 \]
\[ -\frac{2}{3}x = -\frac{1}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{25}{6} \quad / \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \]
\[ x = \left(-\frac{25}{6}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} \]
Правила трансформације неједначина:
- Ако се обе стране неједначине саберу истим бројем, смер неједнакости се не мења: \( a < b \implies a + c < b + c \).
- Ако се обе стране помноже или поделе позитивним бројем (\( c > 0 \)), смер неједнакости се не мења: \( a < b \implies a \cdot c < b \cdot c \).
Множење или дељење негативним бројем: Када обе стране неједначине множимо или делимо негативним бројем (\( c < 0 \)), смер знака неједнакости се обавезно мења (окреће):
\[ a < b \ \land \ c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c \]
\[ -7x > -5{,}6 \quad / : (-7) \]
\[ x < \frac{-5{,}6}{-7} \]
\[ x < 0{,}8 \]
Правоугли (Декартов) координатни систем \( xOy \) чине две међусобно нормалне бројевне праве које се секу у тачки \( O(0,0) \) (координатни почетак):
- Хоризонтална оса: \( x \)-оса (апсциса).
- Вертикална оса: \( y \)-оса (ордината).
- Осе деле раван на четири квадранта (I, II, III, IV).
Положај сваке тачке одређен је уређеним паром \( T(x, y) \). Растојање тачке од \( y \)-осе је \( |x| \), а од \( x \)-осе је \( |y| \).
Средиште дужи \( AB \) чије су крајње тачке \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \):
\[ S\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Растојање између тачака паралелних осама:
- Ако је дуж паралелна \( x \)-оси (\( y_1 = y_2 = y \)): \( d = |x_2 - x_1| \)
- Ако је дуж паралелна \( y \)-оси (\( x_1 = x_2 = x \)): \( d = |y_2 - y_1| \)
Пропорција: Једнакост две размере \( a : b = c : d \) односно \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).
Основно својство пропорције: Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова: \[ a \cdot d = b \cdot c \]
Основно својство пропорције: Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова: \[ a \cdot d = b \cdot c \]
Обрнута пропорционалност: Две величине су обрнуто пропорционалне ако је њихов производ константан:
\[ x \cdot y = k \quad (k = \text{const.}) \]
Када се једна величина повећа неколико пута, друга величина се исто толико пута смањи.
Подаци се ради прегледности и анализе представљају помоћу табела и дијаграма:
- Стубичасти дијаграми: Користе правоугаонике (стубиће) чија је висина (или дужина) сразмерна вредностима које приказују.
- Кружни дијаграми: Круг је подељен на кружне исечке који представљају делове целине (најчешће у процентима).
Централни угао кружног исечка:
\[ \alpha = \frac{p}{100} \cdot 360^\circ \]
где је \( p\% \) проценат заступљености дате категорије у целини.
Ако нека категорија чини \( 25\% \) података, њен централни угао износи:
\[ \alpha = \frac{25}{100} \cdot 360^\circ = \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ \]
Четвороугао је конвексна геометријска фигура коју образују четири тачке у равни (од којих никоје три нису колинеарне) и дужи које их спајају, заједно са својом унутрашњошћу.
Основни елементи четвороугла \( ABCD \):
- Темена: \( A, B, C, D \)
- Странице: \( AB, BC, CD, DA \). Странице могу бити суседне (имају заједничко теме) или наспрамне (немају заједничко теме).
- Дијагонале: дужи које спајају несуседна темена (\( AC \) и \( BD \)).
- Углови: унутрашњи углови \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \).
Обим четвороугла: Збир дужина свих његових страница:
\[ O = a + b + c + d \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак):
Упореди бројеве и израчунај вредност израза:
а) Упореди \( -2{,}4 \) и \( -2{,}15 \);
б) Израчунај: \( -\frac{5}{8} + \left(-\frac{1}{4}\right) \).
а) Упореди \( -2{,}4 \) и \( -2{,}15 \);
б) Израчунај: \( -\frac{5}{8} + \left(-\frac{1}{4}\right) \).
а) Пошто су оба броја негативна, већи је онај са мањом апсолутном вредношћу:
\( |-2{,}15| = 2{,}15 \), а \( |-2{,}4| = 2{,}4 \). Како је \( 2{,}15 < 2{,}4 \), следи:
\[ -2{,}4 < -2{,}15 \]
б) Сабирамо бројеве истог знака:
\[ -\frac{5}{8} + \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{5+2}{8} = -\frac{7}{8} \]
Задатак 2 (Средњи):
Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ -\frac{3}{5}x + 1{,}2 \ge 2{,}4 \]
1. Одузмемо \( 1{,}2 \) од обе стране неједначине:
\[ -\frac{3}{5}x \ge 2{,}4 - 1{,}2 \]
\[ -\frac{3}{5}x \ge 1{,}2 \]
2. Множимо обе стране негативним бројем \( -\frac{5}{3} \) уз обавезно окретање знака неједнакости:
\[ x \le 1{,}2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) \]
\[ x \le \frac{6}{5} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) \]
\[ x \le -2 \]
Одговор: Решење је сваки рационалан број за који важи \( x \le -2 \).
Задатак 3 (Средњи):
У правоуглом координатном систему дате су тачке \( A(-4, 3) \) и \( B(2, 3) \).
а) Израчунај растојање између тачака \( A \) и \( B \).
б) Одреди координате средишта \( S \) дужи \( AB \).
а) Израчунај растојање између тачака \( A \) и \( B \).
б) Одреди координате средишта \( S \) дужи \( AB \).
а) Како тачке имају једнаке ординате (\( y = 3 \)), дуж \( AB \) је паралелна \( x \)-оси:
\[ d(A, B) = |x_2 - x_1| = |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6 \]
б) Координате средишта дужи \( S(x_S, y_S) \):
\[ x_S = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
\[ y_S = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{3 + 3}{2} = 3 \]
Одговор: Растојање је \( 6 \), а средиште дужи је тачка \( S(-1, 3) \).
Задатак 4 (Тежак):
а) Четири радника заврше одређени посао за 15 сати. За колико сати би исти посао завршило 6 радника радећи истим темпом?
б) Ако ученици у одељењу бирају секцију, при чему је \( 40\% \) изабрало кошарку, колика је величина централног угла који одговара тој секцији на кружном дијаграму?
б) Ако ученици у одељењу бирају секцију, при чему је \( 40\% \) изабрало кошарку, колика је величина централног угла који одговара тој секцији на кружном дијаграму?
а) Број радника и време су обрнуто пропорционалне величине (\( x \cdot y = k \)):
\[ k = 4 \cdot 15 = 60 \text{ (укупно радних сати)} \]
За 6 радника:
\[ 6 \cdot t = 60 \implies t = \frac{60}{6} = 10 \text{ сати} \]
б) Централни угао кружног исечка за \( 40\% \):
\[ \alpha = \frac{p}{100} \cdot 360^\circ = \frac{40}{100} \cdot 360^\circ = \frac{4}{10} \cdot 360^\circ = 144^\circ \]
Одговор: а) 10 сати; б) \( 144^\circ \).
