Најважније из лекције
Основни елементи: Четвороугао има 4 темена, 4 странице, 4 угла и 2 дијагонале.
Односи: Странице/углови могу бити суседни (имају заједничку тачку/теме) или наспрамни (налазе се једни преко пута других). Дијагонале спајају несуседна темена.
Обим: Збир дужина свих страница: \( O = a + b + c + d \).
Практичан пример: Да бисмо одредили обим четвороугла чије су странице \( 2 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm} \text{ и } 3 \text{ cm} \), једноставно их саберемо: \( O = 2+4+5+3 = 14 \text{ cm} \). Понекад се непознате странице четвороугла могу израчунати посматрањем троуглова на које га дијагонала дели.
Односи: Странице/углови могу бити суседни (имају заједничку тачку/теме) или наспрамни (налазе се једни преко пута других). Дијагонале спајају несуседна темена.
Обим: Збир дужина свих страница: \( O = a + b + c + d \).
Практичан пример: Да бисмо одредили обим четвороугла чије су странице \( 2 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm} \text{ и } 3 \text{ cm} \), једноставно их саберемо: \( O = 2+4+5+3 = 14 \text{ cm} \). Понекад се непознате странице четвороугла могу израчунати посматрањем троуглова на које га дијагонала дели.
Четвороугаона линија је затворена изломљена линија без тачака самопресецања, одређена са четири тачке од којих никоје три нису колинеарне (не налазе се на истој правој).
Четвороугао је геометријска фигура коју чине четвороугаона линија и њена унутрашњост.
Четвороуглови се деле на конвексне и неконвексне. Фигура је конвексна ако за сваке две њене тачке важи да и све тачке дужи која их спаја припадају тој фигури.
Приликом проучавања у геометрији, уколико није другачије наглашено, подразумева се да радимо искључиво са конвексним четвороугловима.
Четвороугао обележавамо великим словима која представљају његова темена (нпр. \( ABCD \)), читајући их редом у круг.
- Темена: Тачке \( A, B, C \) и \( D \).
- Странице: Дужи \( AB, BC, CD \) и \( DA \).
- Суседне странице имају заједничко теме (нпр. \( AB \) и \( BC \)).
- Наспрамне странице немају заједничких тачака (нпр. \( AB \) и \( CD \)).
- Дијагонале: Дужи чији су крајеви несуседна темена. То су дужи \( AC \) и \( BD \).
- Углови: Унутрашњи углови код темена. Означавамо их са \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \).
- Суседни углови имају суседна темена (нпр. \( \alpha \) и \( \beta \)).
- Наспрамни углови имају несуседна темена (нпр. \( \alpha \) и \( \gamma \)).
Обим четвороугла представља збир дужина свих његових страница.
\[ O = AB + BC + CD + DA \]
или \( O = a + b + c + d \), где су \( a, b, c, d \) дужине страница.
Ако су странице четвороугла дужина \( 4 \text{ cm} \), \( 5 \text{ cm} \), \( 6 \text{ cm} \) и \( 3 \text{ cm} \), његов обим је:
\[ O = 4 + 5 + 6 + 3 = 18 \text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак: Да ли дијагонала четвороугла спаја суседна или несуседна темена? Наведи које су дијагонале четвороугла \( PQRS \).
Дијагонала спаја несуседна темена.
У четвороуглу \( PQRS \), дијагонале су дужи \( PR \) и \( QS \).
У четвороуглу \( PQRS \), дијагонале су дужи \( PR \) и \( QS \).
Лак: Израчунај обим четвороугла чије су дужине страница \( a = 7 \text{ cm} \), \( b = 8,5 \text{ cm} \), \( c = 6 \text{ cm} \) и \( d = 4,5 \text{ cm} \).
\( O = a + b + c + d \)
\( O = 7 + 8,5 + 6 + 4,5 \)
\( O = 26 \text{ cm} \)
\( O = 7 + 8,5 + 6 + 4,5 \)
\( O = 26 \text{ cm} \)
Средњи: Обим четвороугла износи \( 42 \text{ cm} \). Три његове странице имају дужине \( 12 \text{ cm} \), \( 9 \text{ cm} \) и \( 11 \text{ cm} \). Колика је дужина четврте странице?
Збир три познате странице је \( 12 + 9 + 11 = 32 \text{ cm} \).
Четврта страница се добија када од укупног обима одузмемо збир три познате странице:
\( x = 42 - 32 = 10 \text{ cm} \).
Одговор: Четврта страница је дуга \( 10 \text{ cm} \).
Четврта страница се добија када од укупног обима одузмемо збир три познате странице:
\( x = 42 - 32 = 10 \text{ cm} \).
Одговор: Четврта страница је дуга \( 10 \text{ cm} \).
Тежак: Четвороугао \( ABCD \) је дијагоналом \( AC \) подељен на два подударна једнакокрака троугла, \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \). Ако је основица ових троуглова \( AC = 8 \text{ cm} \), а њихов крак износи \( 5 \text{ cm} \), израчунај обим четвороугла \( ABCD \).
Пошто су троуглови једнакокраки са основицом \( AC \), то значи да су краци у \( \triangle ABC \) странице \( AB \) и \( BC \), па је \( AB = BC = 5 \text{ cm} \).
Исто тако, у \( \triangle ADC \) краци су \( AD \) и \( DC \), па је \( AD = DC = 5 \text{ cm} \).
Дијагонала \( AC \) се налази унутар четвороугла и не улази у његов обим.
Обим четвороугла је збир његове 4 странице:
\( O = AB + BC + CD + DA = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \text{ cm} \).
Исто тако, у \( \triangle ADC \) краци су \( AD \) и \( DC \), па је \( AD = DC = 5 \text{ cm} \).
Дијагонала \( AC \) се налази унутар четвороугла и не улази у његов обим.
Обим четвороугла је збир његове 4 странице:
\( O = AB + BC + CD + DA = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \text{ cm} \).
