33. Четвороугао

У овом задатку потребно је да израчунамо обим различитих четвороуглова. Обим четвороугла се рачуна као збир дужина свих његових страница (\( O = a + b + c + d \)). Користићемо својства углова у троуглу (збир је \( 180^\circ \)), једнакокраких и једнакостраничних троуглова, као и правило за правоугли троугао са углом од \( 30^\circ \) (катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака је половини хипотенузе).

1)

Анализа датих података

Са слике видимо четвороугао код кога су познате дужине свих страница: \( AB = 1,8 \text{ cm} \), \( BC = 4,8 \text{ cm} \), \( CD = 3,6 \text{ cm} \), \( DA = 2,4 \text{ cm} \).

Израчунавање обима

Обим добијамо једноставним сабирањем дужина свих страница: \[ O = AB + BC + CD + DA \] \[ O = 1,8 + 4,8 + 3,6 + 2,4 \] \[ O = 12,6 \text{ cm} \]

2)

Одређивање непознатих страница

Четвороугао је дијагоналом \( AC \) подељен на два троугла. Познате су нам странице \( AD = 3 \text{ cm} \), \( DC = 2 \text{ cm} \) и дијагонала \( AC = 4 \text{ cm} \). У троуглу \( \triangle ABC \) дата су два угла: \( \angle CAB = 60^\circ \) и \( \angle ACB = 60^\circ \). Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \), па трећи угао износи: \[ \angle B = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Пошто су сва три угла једнака, \( \triangle ABC \) је једнакостраничан, што значи да су му све странице једнаке: \[ AB = BC = AC = 4 \text{ cm} \]

Израчунавање обима

Сада знамо све странице четвороугла: \[ O = AD + DC + CB + BA \] \[ O = 3 + 2 + 4 + 4 = 13 \text{ cm} \]

3)

Одређивање непознатих страница

Дате су странице \( AB = 2,5 \text{ cm} \) и \( AD = 3,5 \text{ cm} \). Троугао \( \triangle BCD \) је правоугли јер је угао код темена \( C \) прав (\( \angle C = 90^\circ \)). Познат је угао \( \angle BDC = 45^\circ \). Трећи угао овог троугла је: \[ \angle DBC = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ \] Пошто има два једнака угла, \( \triangle BCD \) је једнакокрако-правоугли троугао. То значи да су му катете једнаке: \[ CD = BC = 3 \text{ cm} \]

Израчунавање обима

\[ O = AB + BC + CD + DA \] \[ O = 2,5 + 3 + 3 + 3,5 = 12 \text{ cm} \]

4)

Одређивање непознатих страница

Познате су странице \( BC = 4 \text{ cm} \), \( CD = 2 \text{ cm} \) и \( AB = 3 \text{ cm} \). У троуглу \( \triangle ABD \) дата су два угла: \( \angle A = 100^\circ \) и \( \angle ABD = 40^\circ \). Трећи угао рачунамо као: \[ \angle ADB = 180^\circ - (100^\circ + 40^\circ) = 40^\circ \] Пошто су углови \( \angle ABD \) и \( \angle ADB \) једнаки, \( \triangle ABD \) је једнакокраки троугао са основицом \( BD \). То значи да су му краци једнаки: \[ AD = AB = 3 \text{ cm} \]

Израчунавање обима

\[ O = AB + BC + CD + DA \] \[ O = 3 + 4 + 2 + 3 = 12 \text{ cm} \]

5)

Одређивање непознатих страница

Дијагонала \( AC \) дели четвороугао на два троугла. У троуглу \( \triangle ADC \), углови на страници \( AC \) су једнаки (\( \angle DAC = 42^\circ \) и \( \angle DCA = 42^\circ \)). Због тога је овај троугао једнакокраки, па су му краци једнаки: \[ CD = AD = 3 \text{ cm} \] На страницама \( AB \) и \( BC \) налазе се мале ознаке (цртице) које показују да су те две странице једнаке. Како је поред странице \( AB \) записано \( 4 \text{ cm} \), закључујемо: \[ AB = BC = 4 \text{ cm} \]

Израчунавање обима

\[ O = AB + BC + CD + DA \] \[ O = 4 + 4 + 3 + 3 = 14 \text{ cm} \]

6)

Одређивање непознатих страница

У троуглу \( \triangle BCD \), угао код темена \( C \) је прав (\( 90^\circ \)), а \( \angle BDC = 45^\circ \). То значи да је и трећи угао \( 45^\circ \), па је троугао једнакокрако-правоугли. Катете су му једнаке: \[ BC = CD = 2,2 \text{ cm} \] У троуглу \( \triangle BAD \), угао код темена \( A \) је прав (\( 90^\circ \)), а \( \angle ABD = 45^\circ \). И овај троугао је једнакокрако-правоугли, па је: \[ AD = AB \] Пошто оба правоугла троугла имају исту хипотенузу (\( BD \)) и исте углове, они су потпуно подударни. Због тога су им све катете међусобно једнаке: \[ AB = AD = BC = CD = 2,2 \text{ cm} \] (Овај четвороугао је квадрат).

Израчунавање обима

\[ O = 4 \cdot 2,2 = 8,8 \text{ cm} \]

7)

Одређивање непознатих страница

У троуглу \( \triangle ADC \), дата су два угла: \( \angle D = 60^\circ \) и \( \angle CAD = 60^\circ \). Трећи угао је такође \( 60^\circ \), што значи да је троугао једнакостраничан: \[ CD = AC = AD = 3,4 \text{ cm} \] У троуглу \( \triangle ABC \), такође су дата два угла од \( 60^\circ \), па је и он једнакостраничан. Пошто са претходним троуглом дели страницу \( AC \), све странице су му једнаке дужини \( AC \): \[ AB = BC = AC = 3,4 \text{ cm} \] (Овај четвороугао је ромб).

Израчунавање обима

\[ O = 4 \cdot 3,4 = 13,6 \text{ cm} \]

8)

Одређивање непознатих страница

Троугао \( \triangle ADC \) је правоугли (угао код темена \( A \) има тачку која означава \( 90^\circ \)). Дат је угао \( \angle D = 60^\circ \). Трећи угао овог троугла је: \[ \angle ACD = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ \] Наспрам угла од \( 30^\circ \) налази се катета \( AD \). Према правилу за правоугли троугао, она је једнака половини хипотенузе \( CD \): \[ AD = \frac{CD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \] Анализирајмо сада троугао \( \triangle ABC \). Он је такође правоугли (угао код \( C \) је \( 90^\circ \)), а угао \( \angle CAB = 30^\circ \). Приметимо да су наизменични углови једнаки (\( \angle CAD = \angle ACB = 90^\circ \) и \( \angle ACD = \angle CAB = 30^\circ \)). Ово нам говори да су наспрамне странице паралелне (\( AD \parallel BC \) и \( AB \parallel CD \)), што значи да је четвороугао паралелограм. Код паралелограма су наспрамне странице једнаке, па је: \[ AB = CD = 6 \text{ cm} \] \[ BC = AD = 3 \text{ cm} \]

Израчунавање обима

\[ O = 2 \cdot a + 2 \cdot b \] \[ O = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18 \text{ cm} \]

1)

\[ O = 1,8 + 4,8 + 3,6 + 2,4 = 12,6 \text{ cm} \]

2)

\( \triangle ABC \) је једнакостраничан \( \Rightarrow AB = BC = 4 \text{ cm} \). \[ O = 3 + 2 + 4 + 4 = 13 \text{ cm} \]

3)

\( \triangle BCD \) је једнакокрак \( \Rightarrow CD = BC = 3 \text{ cm} \). \[ O = 2,5 + 3 + 3 + 3,5 = 12 \text{ cm} \]

4)

\( \triangle ABD \) је једнакокрак (\( \angle ADB = 40^\circ \)) \( \Rightarrow AD = AB = 3 \text{ cm} \). \[ O = 3 + 4 + 2 + 3 = 12 \text{ cm} \]

5)

\( \triangle ADC \) је једнакокрак \( \Rightarrow CD = AD = 3 \text{ cm} \). \( AB = BC = 4 \text{ cm} \). \[ O = 4 + 4 + 3 + 3 = 14 \text{ cm} \]

6)

\( \triangle BCD \cong \triangle BAD \) (једнакокрако-правоугли) \( \Rightarrow AB = BC = CD = AD = 2,2 \text{ cm} \). \[ O = 4 \cdot 2,2 = 8,8 \text{ cm} \]

7)

Оба троугла су једнакостранична \( \Rightarrow a = 3,4 \text{ cm} \). \[ O = 4 \cdot 3,4 = 13,6 \text{ cm} \]

8)

У \( \triangle ADC \), \( AD \) је наспрам \( 30^\circ \Rightarrow AD = 6 : 2 = 3 \text{ cm} \). Четвороугао је паралелограм. \[ O = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 18 \text{ cm} \]