Најважније из лекције
- Правило одузимања: Одузети број значи сабрати са њему супротним бројем: \( a - b = a + (-b) \).
- Својства: Одузимање није комутативно. Разлике \( a - b \) и \( b - a \) су супротни бројеви (\( -(a - b) = b - a \)).
- Растојање тачака: Растојање између тачака са координатама \( a \) и \( b \) на бројевној правој рачуна се формулом \( d = |a - b| \).
Одузимање рационалних бројева своди се на сабирање. Од једног рационалног броја одузети други значи сабрати први број са супротним бројем другог броја.
\[ a - b = a + (-b) \]
Скуп рационалних бројева \( \mathbb{Q} \) је затворен за одузимање. То значи да је разлика било која два рационална броја увек рационалан број.
Примери одузимања:
- Разломци: \( \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{1-4}{5} = -\frac{3}{5} \)
- Децимални бројеви: \( -0,347 - 0,05 = -0,347 + (-0,05) = -0,397 \)
- Два негативна броја: \( -1,8 - (-0,34) = -1,8 + 0,34 = -1,46 \)
Израчунај вредност израза: \( -\frac{6}{7} - \frac{2}{3} \).
Сводимо разломке на заједнички именилац (21) и примењујемо правило одузимања:
\[ -\frac{6}{7} - \frac{2}{3} = -\frac{18}{21} + \left(-\frac{14}{21}\right) = \frac{-18 - 14}{21} = -\frac{32}{21} = -1\frac{11}{21} \]
За разлику од сабирања, одузимање рационалних бројева није комутативно! То значи да у општем случају важи \( a - b \neq b - a \).
За било које рационалне бројеве \( a \) и \( b \), разлике \( a - b \) и \( b - a \) су супротни бројеви. Њихов збир је једнак нули.
Важи: \( -(a - b) = b - a \) и \( |a - b| = |b - a| \).
Важи: \( -(a - b) = b - a \) и \( |a - b| = |b - a| \).
Нека су \( a \) и \( b \) рационални бројеви такви да је \( a - b = -\frac{1}{4} \). Колико износи разлика \( b - a \)?
Пошто су разлике \( a - b \) и \( b - a \) супротни бројеви, важи:
\[ b - a = -(a - b) = -\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \]
Удаљеност између било које две тачке на бројевној правој може се израчунати помоћу апсолутне вредности њихове разлике.
Ако су \( a \) и \( b \) координате тачака \( A \) и \( B \), растојање \( d \) између њих је:
\[ d = |a - b| \]
Ако се најнижа тачка језера налази на \( -1,187 \text{ km} \), а ниво површине језера на \( 0,455 \text{ km} \), укупна дубина језера је растојање између ових тачака:
\[ d = |0,455 - (-1,187)| = |0,455 + 1,187| = |1,642| = 1,642 \text{ km} \]
Одреди растојање између тачака \( A(-3,4) \) и \( B(-5,2) \) на бројевној правој.
Користимо формулу за растојање:
\[ d = |-3,4 - (-5,2)| = |-3,4 + 5,2| = |1,8| = 1,8 \]
Растојање износи \( 1,8 \) мерних јединица.
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунај вредност израза: \( 3,5 - 8,2 \).
\( 3,5 - 8,2 = 3,5 + (-8,2) = -(8,2 - 3,5) = -4,7 \)
Средњи ниво: Израчунај вредност израза: \( -1\frac{3}{4} - \left(-1\frac{2}{7}\right) \).
Прво претварамо мешовите бројеве у неправилне разломке и ослобађамо се заграде:
\[ -\frac{7}{4} + \frac{9}{7} \]
Сводимо на заједнички именилац (28):
\[ -\frac{49}{28} + \frac{36}{28} = \frac{-49 + 36}{28} = -\frac{13}{28} \]
Тежи ниво: Једног дана је забележена јутарња температура од \( -2,5^\circ\text{C} \). У подне тог дана температура је износила \( 5^\circ\text{C} \). Колико степени је износила промена температуре од јутра до поднева?
Промена температуре представља растојање између ове две вредности на бројевној правој (или разлику крајње и почетне температуре).
\[ d = |5 - (-2,5)| = |5 + 2,5| = |7,5| = 7,5 \]
Температура је порасла за \( 7,5^\circ\text{C} \).
