Задатак 2. Одреди угао код темена $ D $ четвороугла $ ABCD $ ако су углови код темена $ A $, $ B $ и $ C $ редом једнаки $ 68^{\circ}20' $, $ 85^{\circ}45' $ и $ 98^{\circ} $.

Обележавање познатих података Нека су унутрашњи углови четвороугла $ ABCD $ обележени са $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ и $ \delta $. На основу текста задатка, позната су нам три угла: \[ \alpha = 68^\circ 20' \] \[ \beta = 85^\circ 45' \] \[ \gamma = 98^\circ \] Наш задатак је да одредимо четврти угао, односно угао код темена $ D $, који ћемо обележити са $ \delta $. Постављање једначине Као што смо научили, збир свих унутрашњих углова у сваком четвороуглу је константан и изно...

Задатак 3. Докажи следећа тврђења. 1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави. 2) Ако је збир два угла четвороугла једнак $ 180^{\circ} $, онда је збир друга два угла тог четвороугла такође једнак $ 180^{\circ} $.

У овом задатку ћемо користити основно правило које смо научили из лекције, а то је да је збир свих унутрашњих углова у сваком четвороуглу увек једнак $ 360^{\circ} $. Нека су ти углови означени са $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $. 1) Ако су сви углови четвороугла међусобно једнаки, онда су сви углови прави. Корак 1: Поставимо једначину за збир углова Из лекције знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек $ 360^{\circ} $. Дакле, важи следећа једнакост: \[ \al...

Задатак 4. Одреди све углове четвороугла $ ABCD $ користећи податке са слике. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Свака слика приказује четвороугао $ABCD$; збир унутрашњих углова је $360^\circ$. \textbf{1)} Дати су $\angle D=120^\circ$, $\angle B=67^\circ$, а $77^\circ$ је СПОЉАШЊИ угао код $C$ (плава полуправа продужава $BC$). Унутрашњи $\angle C=180^\circ-77^\circ=103^\circ$. Тада $\angle A=360^\circ-(120^\circ+103^\circ+67^\circ)=70^\circ$. \textbf{2)} $\angle A=78^\circ$. $47^\circ$ је спољашњи код $C\Rightarrow \angle C=180^\circ-47^\circ=133^\circ$. $130^\circ$ је спољашњи...

Задатак 5. Одреди све углове $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ четвороугла $ ABCD $ ако важе једнакости: 1) $ \alpha = \beta = \gamma $, $ \delta = \alpha + \beta $; 2) $ \alpha = 2\beta = 3\gamma = 4\delta $; 3) $ \beta = 2\alpha $, $ \gamma = \frac{1}{2}\beta $, \( \delta = \frac{1}{...

1) $ \alpha = \beta = \gamma $, $ \delta = \alpha + \beta $ Коришћење збира унутрашњих углова Збир унутрашњих углова сваког четвороугла је $ 360^\circ $. Користимо основну формулу: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \] Изражавање свих углова преко $ \alpha $ На основу датих једнакости, све углове можемо изразити преко угла $ \alpha $: - $ \beta = \alpha $ - $ \gamma = \alpha $ - $ \delta = \alpha + \beta = \alpha + \alpha = 2\alpha $ Постављање и решавање једначине...

Задатак 6. Ако су наспрамни углови четвороугла $ ABCD $ једнаки, $ \alpha = \gamma $ и $ \beta = \delta $, докажи да су суседни углови тог четвороугла суплементни.

У овом задатку ћемо користити својство збира унутрашњих углова четвороугла како бисмо доказали да су суседни углови суплементни (њихов збир је $ 180^{\circ} $) када су наспрамни углови једнаки. Корак 1: Поставимо основну једначину за збир углова Из лекције знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек $ 360^{\circ} $. Ако углове четвороугла $ ABCD $ означимо са $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $, важи: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} \] Корак...

Задатак 7. Одреди углове и спољашње углове четвороугла $ ABCD $ ако је: 1) $ \alpha = 78^{\circ} $, $ \beta_{1} = 130^{\circ} $, $ \gamma_{1} = 40^{\circ} $; 2) $ \alpha = \beta = 72^{\circ} $, $ \delta_{1} = 62^{\circ} $; 3) $ \alpha = \beta_{1} = \gamma = 40^{\circ} $; 4) \( \alpha =...

Да бисмо одредили све унутрашње углове ($ \alpha, \beta, \gamma, \delta $) и све спољашње углове ($ \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 $) четвороугла, користићемо следећа правила: 1. Збир унутрашњих углова четвороугла је $ 360^{\circ} $: $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{\circ} $. 2. Збир спољашњих углова четвороугла је $ 360^{\circ} $: $ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^{\circ} $. 3. Унутрашњи и њему суседни спољашњи угао су суплементни: \( \text{угао} + \te...

Збир Углова Четвороугла

Изабери решење задатка:

1)
Права \( p \) је паралелна са страницом \( AB \). 
На основу наизменичних углова на трансверзали, углови уз теме \( C \) на прави \( p \) једнаки су угловима \( \alpha \) и \( \beta \).
Ови углови заједно са углом \( \gamma \) граде опружен угао:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]

2)
Спољашњи угао троугла јесте угао упоредан унутрашњем углу тог троугла.

3)
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \]
\[ \beta + \beta_1 = 180^\circ \]
\[ \gamma + \gamma_1 = 180^\circ \]
\[ (\alpha + \alpha_1) + (\beta + \beta_1) + (\gamma + \gamma_1) = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ \]
\[ (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1) = 540^\circ \]
\[ 180^\circ + (\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1) = 540^\circ \]
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ \]
Збир спољашњих углова је константан.

1) Зашто је збир углова било ког троугла једнак \( 180^\circ \)
Анализа слике
Посматрамо троугао \( ABC \) са унутрашњим угловима \( \alpha, \beta \) и \( \gamma \). Кроз теме \( C \) повучена је права \( p \) која је паралелна са наспрамном страницом \( AB \) (\( p \parallel AB \)).
Коришћење наизменичних углова
Права \( AC \) пресеца паралелне праве \( p \) и \( AB \). Угао који права \( p \) гради са страницом \( AC \) (угао лево од угла \( \gamma \)) је наизменичан унутрашњем углу \( \alpha \), па је једнак њему.
Слично, права \( BC \) пресеца паралелне праве \( p \) и \( AB \). Угао који права \( p \) гради са страницом \( BC \) (угао десно од угла \( \gamma \)) је наизменичан унутрашњем углу \( \beta \), па је једнак њему.
Збир углова
Када погледамо теме \( C \), видимо да пренети углови \( \alpha \) и \( \beta \), заједно са углом \( \gamma \), чине један опружен угао на прави \( p \). Пошто знамо да опружен угао износи \( 180^\circ \), можемо закључити да важи:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]

2) Шта су спољашњи углови троугла?
Дефиниција спољашњих углова
Спољашњи угао троугла јесте угао који је упоредан неком унутрашњем углу тог троугла. Пошто сваки унутрашњи угао има два упоредна угла (који су међусобно унакрсни и једнаки), за спољашњи угао бирамо један од њих. Обично се обележавају са \( \alpha_1, \beta_1 \) и \( \gamma_1 \). Збир унутрашњег угла и његовог одговарајућег спољашњег угла је увек \( 180^\circ \).

3) Да ли је збир спољашњих углова троугла константан?
Збир унутрашњих и спољашњих углова
Пошто су унутрашњи и одговарајући спољашњи угао упоредни, њихов збир код сваког темена је \( 180^\circ \):
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \]
\[ \beta + \beta_1 = 180^\circ \]
\[ \gamma + \gamma_1 = 180^\circ \]
Рачунање збира спољашњих углова
Ако саберемо све ове три једнакости, добијамо збир свих унутрашњих и свих спољашњих углова:
\[ (\alpha + \alpha_1) + (\beta + \beta_1) + (\gamma + \gamma_1) = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ \]
\[ \alpha + \alpha_1 + \beta + \beta_1 + \gamma + \gamma_1 = 540^\circ \]
Груписаћемо унутрашње и спољашње углове заједно:
\[ (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1) = 540^\circ \]
Коришћење збира унутрашњих углова
Како смо у првом делу задатка доказали да је збир унутрашњих углова \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \), можемо то заменити у једначину:
\[ 180^\circ + (\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1) = 540^\circ \]
Одавде можемо израчунати збир спољашњих углова:
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 540^\circ - 180^\circ \]
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ \]
Закључујемо да је збир спољашњих углова троугла константан и увек износи \( 360^\circ \).

Кратак запис решења:

1)
Углови \( \alpha, \beta \) и \( \gamma \) пренети на праву \( p \) (\( p \parallel AB \)) чине опружен угао, па је \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).

2)
Спољашњи угао је угао који је упоредан унутрашњем углу.

3)
\[ (\alpha + \alpha_1) + (\beta + \beta_1) + (\gamma + \gamma_1) = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ = 540^\circ \]
\[ 180^\circ + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 540^\circ \]
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ \]
Да, константан је и износи \( 360^\circ \).

Најважније из лекције

У сваком четвороуглу важе следећа важна правила:

Збир унутрашњих углова је увек $ 360^\circ $ ($ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $).
Збир спољашњих углова је такође увек $ 360^\circ $ ($ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ $).
Унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су упоредни, односно њихов збир је $ 180^\circ $ ($ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ $).

Сваки четвороугао се једном својом дијагоналом може поделити на два троугла. Како је збир углова сваког троугла $ 180^\circ $, укупан збир углова у четвороуглу је двоструко већи.

Илустрација произвољног четвороугла подељеног једном дијагоналом на два троугла, чиме се показује да се његови унутрашњи углови састоје од углова та два троугла.

Збир унутрашњих углова сваког четвороугла једнак је $ 360^\circ $. \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]

Нека су познате величине три угла неког четвороугла: $ 62^\circ $, $ 78^\circ $ и $ 84^\circ $. Четврти угао једноставно одређујемо одузимањем њиховог збира од укупног збира: \[ 360^\circ - (62^\circ + 78^\circ + 84^\circ) = 360^\circ - 224^\circ = 136^\circ \]

Спољашњи угао четвороугла јесте угао који је упоредан неком унутрашњем углу тог четвороугла.

Сваком унутрашњем углу одговарају два унакрсна спољашња угла (који су једнаки), па за спољашњи угао код једног темена бирамо било који од њих. Збир унутрашњег и њему одговарајућег спољашњег угла је увек $ 180^\circ $ (на пример, $ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ $).

$Четвороугао са продуженим страницама код свих темена, где су означени унутрашњи углови ($ \alpha, \beta, \gamma, \delta $) и њима одговарајући спољашњи углови ($ \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 $).$

Збир спољашњих углова четвороугла једнак је $ 360^\circ $. \[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]

Ако је унутрашњи угао четвороугла $ \beta = 110^\circ $, колики је његов одговарајући спољашњи угао $ \beta_1 $?

Спољашњи и унутрашњи угао су упоредни, па њихов збир износи $ 180^\circ $.
$ \beta_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $.

Задаци за вежбање

Лак: Три угла четвороугла износе $ 55^\circ $, $ 105^\circ $ и $ 80^\circ $. Израчунај меру четвртог угла.

Збир свих унутрашњих углова је $ 360^\circ $.
Четврти угао израчунавамо на следећи начин:
$ 360^\circ - (55^\circ + 105^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.

Средњи: Збир три спољашња угла четвороугла је $ 285^\circ $. Одреди четврти спољашњи угао и њему одговарајући унутрашњи угао.

Збир свих спољашњих углова је $ 360^\circ $.
Четврти спољашњи угао износи: $ 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ $.
Њему одговарајући унутрашњи угао је упоредан са њим, па износи: $ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

Тежак: Одреди све унутрашње углове $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $ четвороугла ако важи да су прва три угла међусобно једнака ($ \alpha = \beta = \gamma $), а четврти угао је једнак збиру прва два ($ \delta = \alpha + \beta $).

Знамо да је $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $.
Пошто је $ \alpha = \beta = \gamma $, а $ \delta = \alpha + \alpha = 2\alpha $, можемо целу једначину изразити преко угла $ \alpha $:
$ \alpha + \alpha + \alpha + 2\alpha = 360^\circ $
$ 5\alpha = 360^\circ $
$ \alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ $

Углови су дакле: $ \alpha = 72^\circ $, $ \beta = 72^\circ $, $ \gamma = 72^\circ $ и $ \delta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ $.

34. Збир Углова Четвороугла

Изабери решење задатка:

1)

2)

3)

1) Зашто је збир углова било ког троугла једнак \( 180^\circ \)

Анализа слике

Коришћење наизменичних углова

Збир углова

2) Шта су спољашњи углови троугла?

Дефиниција спољашњих углова

3) Да ли је збир спољашњих углова троугла константан?

Збир унутрашњих и спољашњих углова

Рачунање збира спољашњих углова

Коришћење збира унутрашњих углова

Кратак запис решења:

1)

2)

3)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1)

2)

3)

Детаљно решење

1) Зашто је збир углова било ког троугла једнак \( 180^\circ \)

Анализа слике

Коришћење наизменичних углова

Збир углова

2) Шта су спољашњи углови троугла?

Дефиниција спољашњих углова

3) Да ли је збир спољашњих углова троугла константан?

Збир унутрашњих и спољашњих углова

Рачунање збира спољашњих углова

Коришћење збира унутрашњих углова

Кратак запис решења:

1)

2)

3)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: