Најважније из лекције
Површина трапеза: Рачуна се по формули \(P = \frac{a + b}{2} \cdot h\) или \(P = m \cdot h\), где су \(a\) и \(b\) основице, \(h\) висина, а \(m\) средња линија.
Средња линија: Израчунава се као \(m = \frac{a + b}{2}\).
Практичан савет: Код специфичних трапеза (једнакокраки или правоугли) са углом од \(45^\circ\), уцртавањем висине формира се једнакокрако-правоугли троугао, што олакшава проналажење непознате висине преко делова основице.
Средња линија: Израчунава се као \(m = \frac{a + b}{2}\).
Практичан савет: Код специфичних трапеза (једнакокраки или правоугли) са углом од \(45^\circ\), уцртавањем висине формира се једнакокрако-правоугли троугао, што олакшава проналажење непознате висине преко делова основице.
Површина трапеза једнака је половини производа збира основица и висине.
Ако су \(a\) и \(b\) основице трапеза, \(h\) његова висина, а \(m\) средња линија (\(m = \frac{a+b}{2}\)), површина се може израчунати на два начина: преко основица или преко средње линије.
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h \]
или
\[ P = m \cdot h \]
Израчунајмо површину трапеза чије су основице \(a = 5 \text{ cm}\), \(b = 3 \text{ cm}\) и висина \(h = 4 \text{ cm}\).
\[ P = \frac{5 + 3}{2} \cdot 4 = \frac{8}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm}^2 \]
Израчунај површину трапеза чија је средња линија \(m = 7 \text{ cm}\), а висина \(h = 5 \text{ cm}\).
Одговор: Користимо формулу \(P = m \cdot h\).
\[ P = 7 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 35 \text{ cm}^2 \]
Код решавања задатака са једнакокраким трапезом често се користи висина спуштена из темена краће основице. Она одсеца на дужој основици сегмент чија је дужина једнака полуразлици основица.
\[ \text{Одсечак} = \frac{a - b}{2} \]
Израчунајмо површину једнакокраког трапеза са основицама \(10 \text{ cm}\) и \(4 \text{ cm}\) и угловима на већој основици од \(45^\circ\).
1. Висина одсеца на дужој основици део: \(\frac{a - b}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3 \text{ cm}\).
2. Због угла од \(45^\circ\), висина и одсечак формирају једнакокрако-правоугли троугао, па је висина једнака том одсечку: \(h = 3 \text{ cm}\).
3. Површина је: \(P = \frac{10 + 4}{2} \cdot 3 = 7 \cdot 3 = 21 \text{ cm}^2\).
1. Висина одсеца на дужој основици део: \(\frac{a - b}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3 \text{ cm}\).
2. Због угла од \(45^\circ\), висина и одсечак формирају једнакокрако-правоугли троугао, па је висина једнака том одсечку: \(h = 3 \text{ cm}\).
3. Површина је: \(P = \frac{10 + 4}{2} \cdot 3 = 7 \cdot 3 = 21 \text{ cm}^2\).
Ако је одсечак на дужој основици једнакокраког трапеза \(4 \text{ cm}\), а угао на основици \(45^\circ\), колика је висина тог трапеза?
Одговор: Пошто висина и одсечак формирају правоугли троугао са углом од \(45^\circ\), тај троугао је и једнакокрак. Зато је висина једнака дужини одсечка, односно \(h = 4 \text{ cm}\).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину трапеза чије су основице \(8 \text{ cm}\) и \(4,2 \text{ cm}\), а висина \(5 \text{ cm}\).
Користимо основну формулу: \(P = \frac{a + b}{2} \cdot h\)
\(P = \frac{8 + 4,2}{2} \cdot 5 = \frac{12,2}{2} \cdot 5 = 6,1 \cdot 5 = 30,5 \text{ cm}^2\)
\(P = \frac{8 + 4,2}{2} \cdot 5 = \frac{12,2}{2} \cdot 5 = 6,1 \cdot 5 = 30,5 \text{ cm}^2\)
Средњи: Израчунај висину трапеза чија је површина \(24 \text{ cm}^2\), а средња линија \(6 \text{ cm}\).
Користимо формулу која укључује средњу линију: \(P = m \cdot h\).
\(24 = 6 \cdot h\)
\(h = 24 : 6 = 4 \text{ cm}\)
\(24 = 6 \cdot h\)
\(h = 24 : 6 = 4 \text{ cm}\)
Тежак: Израчунај површину правоуглог трапеза ако су његове основице \(10 \text{ cm}\) и \(4 \text{ cm}\), а оштар угао на већој основици је \(45^\circ\).
Код правоуглог трапеза, висина спуштена из темена тупог угла одсеца на дужој основици део који је једнак разлици основица: \(a - b\).
Део основице је: \(10 - 4 = 6 \text{ cm}\).
Због угла од \(45^\circ\), формира се једнакокрако-правоугли троугао између крака, висине и тог дела основице, па је висина једнака том делу: \(h = 6 \text{ cm}\).
Површина: \(P = \frac{10 + 4}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ cm}^2\).
Део основице је: \(10 - 4 = 6 \text{ cm}\).
Због угла од \(45^\circ\), формира се једнакокрако-правоугли троугао између крака, висине и тог дела основице, па је висина једнака том делу: \(h = 6 \text{ cm}\).
Површина: \(P = \frac{10 + 4}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ cm}^2\).
