Подударност Троугла

Question 1

Из дрвене табле изрезана су четири троугла (слика десно). Са ког је места (1, 2, 3 или 4) изрезан сваки од троуглова $A$, $B$, $C$, $D$?

Accepted Answer

Да бисмо решили овај задатак, потребно је да пажљиво посматрамо облик, углове и однос дужина страница изрезаних троуглова ($A$, $B$, $C$ и $D$) и отвора на дрвеној табли ($1$, $2$, $3$ и $4$). Тражимо парове који су подударни, односно који би се потпуно поклопили када бисмо их ставили један преко другог (уз одговарајуће ротирање).

Корак 1: Анализа најистакнутијих облика
Посматрајући слику, можемо уочити да се неки облици веома лако издвајају. Троугао $B$ је веома узак и издуже...

Question 2

На слици испод приказано је шест троуглова. Запиши подударност сваког пара подударних троуглова коју уочаваш.

Accepted Answer

Шта се тражи
На слици је приказано шест троуглова: $ \triangle ABC $, $ \triangle XYZ $, $ \triangle DEF $, $ \triangle C_1A_1B_1 $, $ \triangle QRS $ и $ \triangle TUV $. Уз троуглове нису дате ознаке (цртице на страницама ни лукови код углова), па подударне парове препознајемо посматрањем облика и величине сваког троугла, а затим записујемо подударност тако да се одговарајућа темена (а тиме и одговарајуће странице и углови) поклапају.

Разврставање троуглова по облику
Прегледом сли...

Question 3

На које све позиције друге табле можемо поставити црвени жетон, тако да центри три црвена жетона образују троугао подударан троуглу који образују центри плавих жетона са прве табле?

Accepted Answer

Да бисмо решили овај задатак, прво морамо анализирати правоуглу координатну мрежу (таблу) и одредити карактеристике троугла који образују плави жетони.

Корак 1: Анализа троугла плавих жетона
Центри плавих жетона на првој табли налазе се на следећим позицијама:
- Први жетон: $ (B, 2) $
- Други жетон: $ (B, 5) $
- Трећи жетон: $ (G, 2) $
Овај троугао је правоугли. Једна катета се простире дуж вертикалне линије $ B $ од броја $ 2 $ до броја $ 5 $, па је њена дужина $ 5 - 2 = 3 $ једи...

Question 4

Према подацима са наредне слике одреди непознате углове троуглова $TUV$ и $XYZ$. Детаљно образложи одговоре.

Accepted Answer

Референтни троугао $ABC$ има углове $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 81^\circ$, $\angle B = 57^\circ$. Ознаке страница: $AC$ једна црта $(|)$, $AB$ две црте $(||)$, $CB$ три црте $(|||)$.

Троугао $TUV$: угао $42^\circ$ је у темену $V$, а он је захваћен страницама $VU\;(|)$ и $VT\;(||)$. У $ABC$ угао $42^\circ$ је у $A$, захваћен страницама $AC\;(|)$ и $AB\;(||)$. Дакле по ставу СУС $\triangle VUT \cong \triangle ACB$, па је $V\leftrightarrow A$, \(U...

Question 5

Ако два једнакокрака троугла имају једнаке краке и углове при врху, објасни зашто су им и основице једнаке, као и зашто су углови на основици једног троугла једнаки угловима на основици другог троугла.

Accepted Answer

Корак 1: Обележавање елемената троуглова
Нека су дати једнакокраки троуглови $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
Нека су њихове основице $ BC $ и $ B_1C_1 $.
Пошто су троуглови једнакокраки и имају једнаке краке, важи:
$$ AB = AC = A_1B_1 = A_1C_1 $$
По услову задатка, углови при врху су им једнаки:
$$ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $$

Нацртај два једнакокрака троугла, $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $. Троугао $ ABC $ има 
основицу $ BC $ и краке $ AB $ и $ AC $. Означи краке...

Question 6

Зашто су троуглови приказани на слици десно подударни? Одговор детаљно образложи. Одреди парове једнаких страница ова два троугла.

Accepted Answer

Да бисмо образложили зашто су троуглови $\Delta ABC$ и $\Delta PQR$ на слици (Задатак 6) подударни, анализираћемо њихове дате елементе.

Корак 1: Анализа познатих углова
У троуглу $\Delta ABC$ дата су два угла: $\angle BCA = 115^\circ$ и $\angle ABC = 37^\circ$.
У троуглу $\Delta PQR$ такође су дата два угла: $\angle RPQ = 37^\circ$ и $\angle PQR = 28^\circ$.
Да бисмо упоредили троуглове, потребно је да израчунамо преостале углове користећи чињеницу да је збир унутрашњих углова у...

Question 7

Ако два једнакокрака троугла имају једнаке основице и једнаке углове при врху, објасни зашто су краци једног троугла једнаки крацима другог троугла.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа датих података и својстава троуглова
Нека су дати једнакокраки троуглови $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
Нека је $ BC $ основица првог, а $ B_1C_1 $ основица другог троугла. По услову задатка важи:
$$ BC = B_1C_1 $$
Такође, углови при врху су једнаки:
$$ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 = \gamma $$
Код једнакокраког троугла, углови на основици су једнаки. Обележимо их са $ \alpha $ за први и $ \alpha_1 $ за други троугао.

Нацртај два подударна једнакокрака...

Question 8

Ако једнакокрако-правоугли троуглови имају једнаке основице, докажи да су они подударни.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа карактеристика једнакокрако-правоуглог троугла
Једнакокрако-правоугли троугао је специфичан троугао који има један прав угао ($ 90^\circ $) и две једнаке странице које чине тај угао (краци или катете). Основица таквог троугла је хипотенуза (страница наспрам правог угла). 
Пошто је збир углова у троуглу $ 180^\circ $, а углови на основици једнакокраког троугла су једнаки, можемо израчунати оштре углове:
$$ \alpha = \beta = (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ $$
Дакле, сваки...

Question 9

Према подацима са наредне слике одреди непознате углове троуглова $KLM$ и $PQR$. Детаљно образложи одговоре.

Accepted Answer

Референтни троугао $ABC$: $\angle A = 72^\circ$, $\angle C = 56^\circ$, $\angle B = 52^\circ$. Ознаке страница: $CA$ једна црта $(|)$, $AB$ две црте $(||)$, $CB$ три црте $(|||)$.

Троугао $KLM$: $KM\;(|)$, $LM\;(||)$, $KL\;(|||)$. По ставу ССС свака страница одговара једнако означеној: $KM=CA,\ LM=AB,\ KL=CB$. Пресликавање темена: $K\leftrightarrow C$ (страна $|$ и $|||$), $M\leftrightarrow A$ (страна $|$ и $||$), $L\leftrightarrow B$ (страна $||$ и...

Question 10

Докажи да су два тупоугла троугла подударна ако важе услови:
▸ тупи углови троуглова су једнаки,
▸ једна страница на коју належе туп угао у једном троуглу једнака је једној од страница на коју належе туп угао у другом троуглу и
▸ странице наспрам тупих углова су једнаке.
Напомена. Тврђење које треба...

Accepted Answer

Корак 1: Анализа задатих података и скицирање
Нека су дата два тупоугла троугла $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Према тексту задатка, имамо следеће једнаке елементе:

Тупи углови су једнаки: $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 = \alpha $, где је $ \alpha > 90^\circ $.
Једна страница на коју належе туп угао: $ AB = A_1B_1 = c $.
Странице наспрам тупих углова су једнаке: $ BC = B_1C_1 = a $.

Нацртај два подударна тупоугла троугла $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $. Код темена \( A \...

Question 11

Према подацима са наредне слике одреди непознате углове троуглова $KLM$ и $PQR$. Детаљно образложи одговоре.

Accepted Answer

Референтни троугао $ABC$: $\angle A = 112^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $\angle B = 23^\circ$. Ознаке: $CA$ једна црта $(|)$, $AB$ две црте $(||)$, $CB$ три црте $(|||)$. Тупи угао $112^\circ$ (у $A$) наспрам је највеће странице $CB\;(|||)$.

Троугао $KLM$: $\angle L = 112^\circ$; $LK\;(|)$, $MK\;(|||)$, а $LM\;(||)$. Тупи угао $L$ наспрам је стране $MK\;(|||)$, као $A$ наспрам $CB$. По ставу ССУ (две странице и угао наспрам веће): \(\triangle KLM \co...

Question 12

На слици десно приказан је $\Delta ABC$ чије су странице дужина $a$, $b$, $c$ при чему је $a > c > b$, а величине углова су $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Одреди непознате странице и углове троуглова приказаних на слици испод.

Accepted Answer

У референтном $\triangle ABC$: угао $\alpha$ (у $A$) захваћен је страницама $b$ и $c$; угао $\beta$ (у $B$) захваћен страницама $c$ и $a$; угао $\gamma$ (у $C$) захваћен страницама $a$ и $b$. Наспрам $\alpha$ је $a$, наспрам $\beta$ је $b$, наспрам $\gamma$ је $c$. У сваком троуглу попуњавамо непознато поредећи који елементи су дати уз познате суседне странице/углове.

$\triangle DEF$ ($\angle D=\gamma,\ \angle F=\alpha,\ DF=b$): $\gamma$ уз \(a,b\Righ...

15. Подударност Троугла

Изабери решење задатка:

Корак 1: Анализа најистакнутијих облика

Корак 2: Спајање преосталих тупоуглих троуглова

Корак 3: Препознавање правоуглог троугла

Корак 4: Последњи пар

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста