Најважније из лекције
- Две величине су обрнуто пропорционалне ако је њихов производ увек сталан (константан): \( x \cdot y = k \).
- Ако се једна величина повећа одређени број пута, друга се толико пута смањи.
- Типичне примене укључују: међузависност броја радника и времена рада (више радника = мање времена), брзине и времена путовања (већа брзина = мање времена), као и промену дужина страница правоугаоника чија је површина константна.
Две зависне величине су обрнуто пропорционалне ако је производ њихових одговарајућих вредности сталан (константан).
Ова константа се назива коефицијент обрнуте пропорционалности (\( k \)).
\[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = x_3 \cdot y_3 = k \]
| \( x \) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( x_3 \) | ... |
|---|---|---|---|---|
| \( y \) | \( y_1 \) | \( y_2 \) | \( y_3 \) | ... |
Ако су две величине обрнуто пропорционалне, при повећању једне од њих одређен број пута, друга величина се толико пута смањује:
\[ x \cdot y = (a \cdot x) \cdot \left(\frac{y}{a}\right) \]
Ако је површина правоугаоника фиксирана, дужине његових страница (\( a \) и \( b \)) представљају обрнуто пропорционалне величине.
Формула површине је \( a \cdot b = P \). Ако је површина правоугаоника \( 6 \text{ cm}^2 \), једна опција су странице дужине \( 2 \text{ cm} \) и \( 3 \text{ cm} \). Ако страницу од \( 2 \text{ cm} \) удвостручимо (повећамо на \( 4 \text{ cm} \)), другу страницу морамо сразмерно скратити, односно преполовити (на \( 1,5 \text{ cm} \)), да би производ и даље био \( 6 \).
Време потребно да се обави неки посао (\( t \)) и број ангажованих радника (\( n \)) јесу две обрнуто пропорционалне величине, под претпоставком да сви раде истом брзином.
\[ n \cdot t = k \]
Ако 2 радника обаве посао за 4 сата, константа је \( 2 \cdot 4 = 8 \).
Ако ангажујемо 4 радника, време потребно за посао ће бити краће: \( 8 : 4 = 2 \) сата.
Ако ангажујемо 4 радника, време потребно за посао ће бити краће: \( 8 : 4 = 2 \) сата.
Ако при рачунању потребног броја радника за неки рок добијете децималан број (нпр. \( 2,66... \)), решење мора бити природан број. Потребно је ангажовати следећи већи цео број радника (у овом случају 3) како би посао био сигурно завршен пре захтеваног рока.
Просечна брзина кретања (\( v \)) и време (\( t \)) потребно да се пређе одређени стални пут (\( s \)) су обрнуто пропорционалне величине.
\[ v \cdot t = s \]
Ако пешак прелази пут од \( 3 \text{ km} \) брзином од \( 6 \text{ km/h} \), биће му потребно \( 0,5 \text{ h} \) јер је \( 6 \cdot 0,5 = 3 \).
Ако други пешак иде дупло спорије, брзином од \( 3 \text{ km/h} \), требаће му дупло више времена за исту стазу: \( 1 \text{ h} \).
Ако други пешак иде дупло спорије, брзином од \( 3 \text{ km/h} \), требаће му дупло више времена за исту стазу: \( 1 \text{ h} \).
Задаци за вежбање
Лак: Величине \( x \) и \( y \) су обрнуто пропорционалне. Ако за \( x = 2 \) одговарајућа вредност износи \( y = 0,6 \), колики је коефицијент обрнуте пропорционалности? Израчунај вредност \( y \) ако је \( x = 1,2 \).
Коефицијент обрнуте пропорционалности је: \( k = x \cdot y = 2 \cdot 0,6 = 1,2 \).
Ако је \( x = 1,2 \), онда важи: \( 1,2 \cdot y = 1,2 \), одакле следи да је \( y = 1 \).
Ако је \( x = 1,2 \), онда важи: \( 1,2 \cdot y = 1,2 \), одакле следи да је \( y = 1 \).
Средњи: Четири кројача сашију костиме за школску приредбу за 5 дана. За колико дана би те исте костиме сашила два кројача, под условом да сви раде подједнако брзо?
Број кројача и број дана су обрнуто пропорционалне величине. Коефицијент је: \( 4 \text{ кројача} \cdot 5 \text{ дана} = 20 \).
Ако имамо 2 кројача: \( 2 \cdot t = 20 \), па је \( t = 10 \).
Одговор: Два кројача би костиме сашила за 10 дана.
Ако имамо 2 кројача: \( 2 \cdot t = 20 \), па је \( t = 10 \).
Одговор: Два кројача би костиме сашила за 10 дана.
Тежак: Бициклиста се кретао равномерном брзином од \( 8 \text{ km/h} \) и прешао стазу за 1 сат и 30 минута. За које време ће прећи стазу неко ко вози три пута брже?
Прво претварамо време у сате: 1 сат и 30 минута је \( 1,5 \text{ h} \).
Пут који је прешао (коефицијент пропорционалности) је: \( s = v_1 \cdot t_1 = 8 \cdot 1,5 = 12 \text{ km} \).
Три пута већа брзина износи: \( v_2 = 3 \cdot 8 = 24 \text{ km/h} \).
Време потребно да се пређе стаза новом брзином рачунамо из једначине: \( 24 \cdot t_2 = 12 \Rightarrow t_2 = \frac{12}{24} = 0,5 \text{ h} \).
Алтернативни начин: Пошто се брзина повећала 3 пута, време се мора смањити 3 пута. \( 1,5 \text{ h} : 3 = 0,5 \text{ h} \).
Одговор: Стазу ће прећи за пола сата (30 минута).
Пут који је прешао (коефицијент пропорционалности) је: \( s = v_1 \cdot t_1 = 8 \cdot 1,5 = 12 \text{ km} \).
Три пута већа брзина износи: \( v_2 = 3 \cdot 8 = 24 \text{ km/h} \).
Време потребно да се пређе стаза новом брзином рачунамо из једначине: \( 24 \cdot t_2 = 12 \Rightarrow t_2 = \frac{12}{24} = 0,5 \text{ h} \).
Алтернативни начин: Пошто се брзина повећала 3 пута, време се мора смањити 3 пута. \( 1,5 \text{ h} : 3 = 0,5 \text{ h} \).
Одговор: Стазу ће прећи за пола сата (30 минута).
