На сликама десно приказано је неколико „кула“ изграђених од међусобно подударних квадрата. Једноспратну кулу чини само један квадрат. Двоспратну кулу чине четири квадрата, три квадрата на првом спрату и један квадрат на другом. Троспратна кула има 9 квадрата, у шта се једноставно уверавамо сабирањем...

Шта је датоКуле су сложене од међусобно подударних квадрата. Кула од једног спрата има \( 1 \) квадрат, кула од два спрата \( 1 + 3 = 4 \) квадрата, кула од три спрата \( 1 + 3 + 5 = 9 \) квадрата, а кула од четири спрата \( 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \) квадрата.Шта уочавамоСваки спрат који додајемо на дно куле има тачно два квадрата више од спрата изнад њега. Зато бројеви квадрата по спратовима, гледано одозго надоле, чине низ непарних бројева \( 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \dots \) Спрат који је по реду \( n...

Покажи да су следећи бројеви потпуни квадрати: \( 784 \), \( 1\,089 \), \( 1\,225 \).

Природан број је потпун квадрат ако се у његовом растављању на просте чиниоце сваки прост чинилац појављује паран број пута. Тада чиниоце можемо поделити у две једнаке групе, па је број једнак квадрату производа једне групе. \( 784 \) Корак 1: Растављање на просте чиниоце Број 784 узастопно делимо најмањим простим чиниоцем док не добијемо 1: \[ \begin{array}{r|l} 784 & 2 \\ 392 & 2 \\ 196 & 2 \\ 98 & 2 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array} \] \[ 784 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 =...

Одреди најмањи број којим треба помножити дати број да би резултат био потпуни квадрат: а) \( 32 \); б) \( 54 \); в) \( 1\,000 \); г) \( 3\,780 \).

У растављању потпуног квадрата на просте чиниоце сваки прост чинилац се појављује паран број пута. Зато дати број растављамо на просте чиниоце и множимо га оним чиниоцима који се појављују непаран број пута - по једним од сваког. а) \( 32 \) Корак 1: Растављање на просте чиниоце \[ 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \] Корак 2: Одређивање најмањег чиниоца Чинилац 2 појављује се 5 пута, што је непаран број. Ако број помножимо са још једном двојком, двојка ће се појављивати 6 пута: \[ 3...

Израчунај квадрате бројева \( 4 \), \( -4 \), \( 5 \), \( -5 \), \( 4\frac{1}{2} \), \( -4\frac{1}{2} \), \( 4,1 \) и \( -4,1 \). а) Сваки од квадрата упореди са нулом.; б) Уочи који бројеви имају једнаке квадрате.; в) Позитивне бројеве поређај у растућем поретку, па исто уради и за њихове квадрате....

Корак 1: Израчунавање квадрата Квадрат броја добијамо множењем броја самим собом: \( a^2 = a \cdot a \). Минус је унутар заграде, па је квадрат негативног броја позитиван: \( (-a)^2 = a^2 \). \[ 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \] \[ (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16 \] \[ 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \] \[ (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25 \] Мешовити број преводимо у неправи разломак, па квадрирамо бројилац и именилац: \[ \left(4\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4} = 20\frac{...

Реши у скупу рационалних бројева једначину: а) \( x^2 = \frac{1}{9} \); б) \( x^2 = 2\frac{7}{9} \); в) \( x^2 = 0,01 \); г) \( x^2 = 5,76 \); д) \( x^2 = 0,2025 \).

У свакој једначини облика \( x^2 = r \) број \( r \) је позитиван, па тражимо два супротна рационална броја чији је квадрат једнак \( r \). Број \( r \) записујемо као квадрат неког рационалног броја \( a \), па су решења \( x = a \) или \( x = -a \). а) \( x^2 = \frac{1}{9} \) Корак 1: Записивање десне стране као квадрата Како је \( 1 = 1^2 \) и \( 9 = 3^2 \): \[ x^2 = \frac{1}{9} = \frac{1^2}{3^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \] Корак 2: Решења \[ x = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x = -\...

Испитај да ли једначина има решења у скупу \( Q \) и у потврдном случају је реши: а) \( 4x^2 = 16 \); б) \( 4x^2 = 7 \); в) \( x^2 - 2 = -1 \); г) \( 100x^2 + 0,36 = -1 \); д) \( 4 - 10x^2 = 0,4 \).

Сваку једначину прво сводимо на облик \( x^2 = r \). Затим испитујемо број \( r \): ако је \( r < 0 \), решења нема (квадрат рационалног броја је ненегативан); ако је \( r \) квадрат неког рационалног броја \( a \), решења су \( x = a \) и \( x = -a \); у супротном решења у скупу \( Q \) нема. а) \( 4x^2 = 16 \) Корак 1: Свођење на облик \( x^2 = r \) Обе стране делимо са 4: \[ x^2 = 16 : 4 = 4 \] Корак 2: Решавање Како је \( 4 = 2^2 \), једначина има два решења: \[ x = 2 \quad \text{или} \quad...

Квадрати Рационалних Бројева

Изабери решење задатка:

\( x = \frac{a}{b} \), \( a, b \in N \) (довољно је посматрати \( x > 0 \), јер је \( (-x)^2 = x^2 \))
У \( a^2 \) и \( b^2 \) сваки прост чинилац се појављује паран број пута.а)\[ \frac{a^2}{b^2} = 10 \Rightarrow a^2 = 2 \cdot 5 \cdot b^2 \]2 се у \( a^2 \) појављује паран, а у \( 2 \cdot 5 \cdot b^2 \) непаран број пута - немогуће.
б)\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{7} \Rightarrow 7a^2 = 2b^2 \]7 се у \( 7a^2 \) појављује непаран, а у \( 2b^2 \) паран број пута - немогуће.
в)\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3a^2 = b^2 \]3 се у \( 3a^2 \) појављује непаран, а у \( b^2 \) паран број пута - немогуће.
г)\[ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{5} \Rightarrow 5a^2 = b^2 \]5 се у \( 5a^2 \) појављује непаран, а у \( b^2 \) паран број пута - немогуће.
д)\[ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \]\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2a^2 = 5b^2 \]2 се у \( 2a^2 \) појављује непаран, а у \( 5b^2 \) паран број пута - немогуће.

Корак 1: Начин доказивања
Пошто је \( x^2 = (-x)^2 \), довољно је показати да не постоји позитиван рационалан број \( x \) са траженим квадратом. Претпоставимо супротно: да постоји \( x = \frac{a}{b} \), где су \( a \) и \( b \) природни бројеви. Тада је \( x^2 = \frac{a^2}{b^2} \).

Користимо правило: у растављању потпуног квадрата \( a^2 \) или \( b^2 \) на просте чиниоце сваки прост број се појављује паран број пута (и нула пута је паран број). Ако после множења са простим бројем \( p \) тај број \( p \) мора да се појављује и паран и непаран број пута, долазимо до немогућности.

а) \( x^2 = 10 \)
\[ \frac{a^2}{b^2} = 10 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 10b^2 = 2 \cdot 5 \cdot b^2 \]
Посматрамо прост број 2:
- у растављању броја \( a^2 \) двојка се појављује паран број пута,
- у растављању броја \( 2 \cdot 5 \cdot b^2 \) двојка се појављује паран број пута у \( b^2 \) и још једном, дакле непаран број пута.
Исти број не може имати оба растављања, па не постоје природни бројеви \( a \) и \( b \) за које је \( a^2 = 10b^2 \). Не постоји рационалан број \( x \) такав да је \( x^2 = 10 \).

б) \( x^2 = \frac{2}{7} \)
\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{7} \quad \Rightarrow \quad 7a^2 = 2b^2 \]
Посматрамо прост број 7:
- у растављању броја \( 7a^2 \) седмица се појављује паран број пута у \( a^2 \) и још једном, дакле непаран број пута,
- у растављању броја \( 2b^2 \) седмица се појављује паран број пута (само у \( b^2 \)).
Добијамо немогућност, па не постоји рационалан број \( x \) такав да је \( x^2 = \frac{2}{7} \).

в) \( x^2 = \frac{1}{3} \)
\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 3a^2 = b^2 \]
Посматрамо прост број 3:
- у растављању броја \( 3a^2 \) тројка се појављује непаран број пута,
- у растављању броја \( b^2 \) тројка се појављује паран број пута.
Добијамо немогућност, па не постоји рационалан број \( x \) такав да је \( x^2 = \frac{1}{3} \).

г) \( x^2 = 0,2 \)
Децималан број записујемо као разломак:
\[ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad 5a^2 = b^2 \]
Посматрамо прост број 5:
- у растављању броја \( 5a^2 \) петица се појављује непаран број пута,
- у растављању броја \( b^2 \) петица се појављује паран број пута.
Добијамо немогућност, па не постоји рационалан број \( x \) такав да је \( x^2 = 0,2 \).

д) \( x^2 = 2,5 \)
Децималан број записујемо као разломак:
\[ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \]
\[ \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad 2a^2 = 5b^2 \]
Посматрамо прост број 2:
- у растављању броја \( 2a^2 \) двојка се појављује непаран број пута,
- у растављању броја \( 5b^2 \) двојка се појављује паран број пута (само у \( b^2 \)).
Добијамо немогућност, па не постоји рационалан број \( x \) такав да је \( x^2 = 2,5 \).

Кратак запис решења:

\( x = \frac{a}{b} \), \( a, b \in N \)
а)
\( a^2 = 2 \cdot 5 \cdot b^2 \) - 2 паран / непаран број пута
б)
\( 7a^2 = 2b^2 \) - 7 непаран / паран број пута
в)
\( 3a^2 = b^2 \) - 3 непаран / паран број пута
г)
\( 0,2 = \frac{1}{5} \Rightarrow 5a^2 = b^2 \) - 5 непаран / паран број пута
д)
\( 2,5 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2a^2 = 5b^2 \) - 2 непаран / паран број пута

Најважније из лекције

• Дефиниција: Квадрат броја је \( a^2 = a \cdot a \).
• Знак: Квадрат сваког броја је позитиван или нула (\( a^2 \ge 0 \)). Не постоји број чији је квадрат негативан.
• Супротни бројеви: \( (-a)^2 = a^2 \). (Нпр. \( (-5)^2 = 5^2 = 25 \)). Пазити на запис: \( -a^2 \) означава негативан број (минус испред квадрата).
• Операције: Квадрат се може применити на сваки члан производа или количника: \( (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \) и \( \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \).

Квадрат рационалног броја \( a \) јесте производ тог броја са самим собом.

\[ a^2 = a \cdot a \] Чита се: „\( a \) на квадрат”. Одређивање квадрата назива се квадрирање.

Квадрат чије су странице означене са 'a', а унутар њега је исписана површина 'P = a^2'. Ово илуструје геометријску везу између фигуре квадрата и квадрирања броја.

Примери квадрирања позитивних бројева и нуле:
• \( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
• \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \)
• \( 1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \)
• \( 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \)

Израчунај квадрат броја \( \frac{3}{4} \).

\( \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \)

Квадрат сваког рационалног броја различитог од нуле јесте позитиван број. Не постоји рационалан број чији је квадрат негативан број. За сваки рационалан број \( a \) важи \( a^2 \ge 0 \).

Квадрати узајамно супротних бројева су једнаки: \( (-a)^2 = a^2 \).
Међутим, мора се пазити на запис: \( (-a)^2 \neq -a^2 \) (осим за нулу).

Примери са негативним бројевима:
• \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)
• \( (-0,6)^2 = (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36 \)
Пажња код записа:
• \( (-5)^2 = 25 \) (квадрира се и минус)
• \( -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25 \) (минус остаје испред квадрата броја 5)

Израчунај вредност израза: \( (-4)^2 - 4^2 \).

\( (-4)^2 = 16 \)
\( 4^2 = 16 \)
Дакле: \( 16 - 16 = 0 \).

Када упоређујемо квадрате бројева, резултат зависи од тога да ли су почетни бројеви позитивни или негативни.

За ненегативне бројеве (позитивне и нулу):
Ако је \( a < b \), онда је \( a^2 < b^2 \).
Пример: Како је \( 2 < 3 \), следи да је \( 2^2 < 3^2 \) (јер је \( 4 < 9 \)).

За непозитивне бројеве (негативне и нулу):
Ако је \( a < b \), онда је \( a^2 > b^2 \). Знак неједнакости се окреће!
Пример: Како је \( -4 < -2 \), следи да је \( (-4)^2 > (-2)^2 \) (јер је \( 16 > 4 \)).

Упореди квадрате бројева \( -5 \) и \( -3 \).

Почетни бројеви су негативни. Важи да је \( -5 < -3 \).
Квадрати су: \( (-5)^2 = 25 \) и \( (-3)^2 = 9 \).
Закључујемо да је \( 25 > 9 \), односно \( (-5)^2 > (-3)^2 \).

Квадрирање има важна својства која олакшавају рачунање сложенијих израза, омогућавајући да се експонент "расподели" на чиниоце или дељеник и делилац.

Квадрат производа: \[ (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \] Квадрат количника: \[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \quad (b \neq 0) \]

Примена ових својстава често поједностављује рачун:
• Производ: уместо \( (2 \cdot 5)^2 = 10^2 = 100 \), можемо рачунати и као \( 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \).
• Количник: \( \left( \frac{10}{2} \right)^2 = \frac{10^2}{2^2} = \frac{100}{4} = 25 \). Ово је исто што и \( 5^2 = 25 \).

Користећи својство квадрата производа, израчунај лакшим путем: \( 0,25^2 \cdot (-4)^2 \).

Користимо обрнуто својство \( a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 \):
\( 0,25^2 \cdot (-4)^2 = (0,25 \cdot (-4))^2 = (-1)^2 = 1 \).

Задаци за вежбање

Лак: Израчунај вредности следећих израза:
а) \( (-7)^2 \)
б) \( -9^2 \)

а) \( (-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49 \)
б) \( -9^2 = -(9 \cdot 9) = -81 \)

Средњи: Израчунај вредност израза: \( (-2)^2 - (-3)^2 + 10^2 \).

Прво квадрирамо сваки број:
\( (-2)^2 = 4 \)
\( (-3)^2 = 9 \)
\( 10^2 = 100 \)
Сада заменимо у израз: \( 4 - 9 + 100 = -5 + 100 = 95 \).

Тежак: Израчунај вредност израза користећи правила за квадрирање: \[ \frac{(-8)^2 + 6^2}{(-10)^2} \]

Прво израчунамо квадрате у бројиоцу и имениоцу:
\( (-8)^2 = 64 \)
\( 6^2 = 36 \)
\( (-10)^2 = 100 \)
Замењујемо добијене вредности у разломак:
\[ \frac{64 + 36}{100} = \frac{100}{100} = 1 \]

I.2. Квадрати Рационалних Бројева

Изабери решење задатка:

Корак 1: Начин доказивања

а) \( x^2 = 10 \)

б) \( x^2 = \frac{2}{7} \)

в) \( x^2 = \frac{1}{3} \)

г) \( x^2 = 0,2 \)

д) \( x^2 = 2,5 \)

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

д)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Корак 1: Начин доказивања

а) \( x^2 = 10 \)

б) \( x^2 = \frac{2}{7} \)

в) \( x^2 = \frac{1}{3} \)

г) \( x^2 = 0,2 \)

д) \( x^2 = 2,5 \)

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

д)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: