Најважније из лекције
• Дефиниција: Квадрат броја је \( a^2 = a \cdot a \).
• Знак: Квадрат сваког броја је позитиван или нула (\( a^2 \ge 0 \)). Не постоји број чији је квадрат негативан.
• Супротни бројеви: \( (-a)^2 = a^2 \). (Нпр. \( (-5)^2 = 5^2 = 25 \)). Пазити на запис: \( -a^2 \) означава негативан број (минус испред квадрата).
• Операције: Квадрат се може применити на сваки члан производа или количника: \( (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \) и \( \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \).
• Знак: Квадрат сваког броја је позитиван или нула (\( a^2 \ge 0 \)). Не постоји број чији је квадрат негативан.
• Супротни бројеви: \( (-a)^2 = a^2 \). (Нпр. \( (-5)^2 = 5^2 = 25 \)). Пазити на запис: \( -a^2 \) означава негативан број (минус испред квадрата).
• Операције: Квадрат се може применити на сваки члан производа или количника: \( (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \) и \( \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \).
Квадрат рационалног броја \( a \) јесте производ тог броја са самим собом.
\[ a^2 = a \cdot a \]
Чита се: „\( a \) на квадрат”. Одређивање квадрата назива се квадрирање.
Примери квадрирања позитивних бројева и нуле:
• \( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
• \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \)
• \( 1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \)
• \( 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \)
• \( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
• \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \)
• \( 1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \)
• \( 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \)
Израчунај квадрат броја \( \frac{3}{4} \).
\( \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \)
Квадрат сваког рационалног броја различитог од нуле јесте позитиван број. Не постоји рационалан број чији је квадрат негативан број. За сваки рационалан број \( a \) важи \( a^2 \ge 0 \).
Квадрати узајамно супротних бројева су једнаки: \( (-a)^2 = a^2 \).
Међутим, мора се пазити на запис: \( (-a)^2 \neq -a^2 \) (осим за нулу).
Међутим, мора се пазити на запис: \( (-a)^2 \neq -a^2 \) (осим за нулу).
Примери са негативним бројевима:
• \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)
• \( (-0,6)^2 = (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36 \)
Пажња код записа:
• \( (-5)^2 = 25 \) (квадрира се и минус)
• \( -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25 \) (минус остаје испред квадрата броја 5)
• \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \)
• \( (-0,6)^2 = (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36 \)
Пажња код записа:
• \( (-5)^2 = 25 \) (квадрира се и минус)
• \( -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25 \) (минус остаје испред квадрата броја 5)
Израчунај вредност израза: \( (-4)^2 - 4^2 \).
\( (-4)^2 = 16 \)
\( 4^2 = 16 \)
Дакле: \( 16 - 16 = 0 \).
\( 4^2 = 16 \)
Дакле: \( 16 - 16 = 0 \).
Када упоређујемо квадрате бројева, резултат зависи од тога да ли су почетни бројеви позитивни или негативни.
За ненегативне бројеве (позитивне и нулу):
Ако је \( a < b \), онда је \( a^2 < b^2 \).
Пример: Како је \( 2 < 3 \), следи да је \( 2^2 < 3^2 \) (јер је \( 4 < 9 \)).
Ако је \( a < b \), онда је \( a^2 < b^2 \).
Пример: Како је \( 2 < 3 \), следи да је \( 2^2 < 3^2 \) (јер је \( 4 < 9 \)).
За непозитивне бројеве (негативне и нулу):
Ако је \( a < b \), онда је \( a^2 > b^2 \). Знак неједнакости се окреће!
Пример: Како је \( -4 < -2 \), следи да је \( (-4)^2 > (-2)^2 \) (јер је \( 16 > 4 \)).
Ако је \( a < b \), онда је \( a^2 > b^2 \). Знак неједнакости се окреће!
Пример: Како је \( -4 < -2 \), следи да је \( (-4)^2 > (-2)^2 \) (јер је \( 16 > 4 \)).
Упореди квадрате бројева \( -5 \) и \( -3 \).
Почетни бројеви су негативни. Важи да је \( -5 < -3 \).
Квадрати су: \( (-5)^2 = 25 \) и \( (-3)^2 = 9 \).
Закључујемо да је \( 25 > 9 \), односно \( (-5)^2 > (-3)^2 \).
Квадрати су: \( (-5)^2 = 25 \) и \( (-3)^2 = 9 \).
Закључујемо да је \( 25 > 9 \), односно \( (-5)^2 > (-3)^2 \).
Квадрирање има важна својства која олакшавају рачунање сложенијих израза, омогућавајући да се експонент "расподели" на чиниоце или дељеник и делилац.
Квадрат производа: \[ (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \]
Квадрат количника: \[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \quad (b \neq 0) \]
Примена ових својстава често поједностављује рачун:
• Производ: уместо \( (2 \cdot 5)^2 = 10^2 = 100 \), можемо рачунати и као \( 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \).
• Количник: \( \left( \frac{10}{2} \right)^2 = \frac{10^2}{2^2} = \frac{100}{4} = 25 \). Ово је исто што и \( 5^2 = 25 \).
• Производ: уместо \( (2 \cdot 5)^2 = 10^2 = 100 \), можемо рачунати и као \( 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \).
• Количник: \( \left( \frac{10}{2} \right)^2 = \frac{10^2}{2^2} = \frac{100}{4} = 25 \). Ово је исто што и \( 5^2 = 25 \).
Користећи својство квадрата производа, израчунај лакшим путем: \( 0,25^2 \cdot (-4)^2 \).
Користимо обрнуто својство \( a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 \):
\( 0,25^2 \cdot (-4)^2 = (0,25 \cdot (-4))^2 = (-1)^2 = 1 \).
\( 0,25^2 \cdot (-4)^2 = (0,25 \cdot (-4))^2 = (-1)^2 = 1 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредности следећих израза:
а) \( (-7)^2 \)
б) \( -9^2 \)
а) \( (-7)^2 \)
б) \( -9^2 \)
а) \( (-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49 \)
б) \( -9^2 = -(9 \cdot 9) = -81 \)
б) \( -9^2 = -(9 \cdot 9) = -81 \)
Средњи: Израчунај вредност израза: \( (-2)^2 - (-3)^2 + 10^2 \).
Прво квадрирамо сваки број:
\( (-2)^2 = 4 \)
\( (-3)^2 = 9 \)
\( 10^2 = 100 \)
Сада заменимо у израз: \( 4 - 9 + 100 = -5 + 100 = 95 \).
\( (-2)^2 = 4 \)
\( (-3)^2 = 9 \)
\( 10^2 = 100 \)
Сада заменимо у израз: \( 4 - 9 + 100 = -5 + 100 = 95 \).
Тежак: Израчунај вредност израза користећи правила за квадрирање:
\[ \frac{(-8)^2 + 6^2}{(-10)^2} \]
Прво израчунамо квадрате у бројиоцу и имениоцу:
\( (-8)^2 = 64 \)
\( 6^2 = 36 \)
\( (-10)^2 = 100 \)
Замењујемо добијене вредности у разломак:
\[ \frac{64 + 36}{100} = \frac{100}{100} = 1 \]
\( (-8)^2 = 64 \)
\( 6^2 = 36 \)
\( (-10)^2 = 100 \)
Замењујемо добијене вредности у разломак:
\[ \frac{64 + 36}{100} = \frac{100}{100} = 1 \]
