Најважније из лекције
Питагорина теорема: Важи за сваки правоугли троугао: \( c^2 = a^2 + b^2 \).
Обратна теорема: Ако важи \( a^2 + b^2 = c^2 \), троугао је правоугли.
Кључне 2D релације:
Обратна теорема: Ако важи \( a^2 + b^2 = c^2 \), троугао је правоугли.
Кључне 2D релације:
- Квадрат: \( d = a\sqrt{2} \)
- Правоугаоник: \( d = \sqrt{a^2 + b^2} \)
- Једнакостранични троугао: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
- Једнакокраки троугао: \( b^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \)
- Ромб: \( a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \)
- Једнакокраки трапез: \( c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \)
- Просторна дијагонала квадра: \( D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)
- Просторна дијагонала коцке: \( D = a\sqrt{3} \)
- Пирамида: \( s^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2, \quad h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \)
Површина квадрата над хипотенузом правоуглог троугла једнака је збиру површина квадрата над катетама тог троугла.
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где су \( a \) и \( b \) дужине катета, а \( c \) дужина хипотенузе.
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}, \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
Хипотенуза (\( c \)) је најдужа страница правоуглог троугла и налази се увек наспрам правог угла (\( 90^\circ \)). Катете (\( a, b \)) су странице које образују прави угао.
Површина и обим:
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}, \qquad O = a + b + c \]
Описана кружница: Центар описане кружнице налази се на средини хипотенузе, а полупречник је \( R = \frac{c}{2} \).
Ако су катете \( a = 6 \text{ cm} \) и \( b = 8 \text{ cm} \):
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]
Израчунај дужину катете \( a \) ако је хипотенуза \( c = 13 \text{ cm} \), а друга катета \( b = 12 \text{ cm} \).
\[ a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \implies a = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
Ако за странице троугла \( a, b, c \) важи једнакост \( c^2 = a^2 + b^2 \), онда је тај троугао правоугли, са правим углом наспрам најдуже странице \( c \).
Питагорина тројка је свака тројка природних бројева \( (a, b, c) \) која задовољава једнакост \( a^2 + b^2 = c^2 \).
| Питагорина тројка \( (a, b, c) \) | Провера: \( a^2 + b^2 = c^2 \) |
|---|---|
| \( (3, 4, 5) \) | \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) |
| \( (5, 12, 13) \) | \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \) |
| \( (8, 15, 17) \) | \( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \) |
| \( (7, 24, 25) \) | \( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \) |
| \( (20, 21, 29) \) | \( 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2 \) |
Да ли је троугао са страницама дужине \( 9 \text{ cm} \), \( 12 \text{ cm} \) и \( 15 \text{ cm} \) правоугли?
Проверавамо: \( 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \), док је \( 15^2 = 225 \).
Пошто важи \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \), на основу теореме обратне Питагориној, троугао јесте правоугли.
Пошто важи \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \), на основу теореме обратне Питагориној, троугао јесте правоугли.
1. Правоугаоник: Дијагонала \( d \) дели правоугаоник на два правоугла троугла са катетама \( a \) и \( b \):
\[ d^2 = a^2 + b^2 \implies d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
2. Квадрат: Дијагонала \( d \) спаја наспрамна темена квадрата странице \( a \):
\[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies d = a\sqrt{2} \]
3. Ромб: Дијагонале \( d_1 \) и \( d_2 \) су узајамно нормалне и полове се, образујући четири подударна правоугла троугла:
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2, \qquad P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h \]
4. Трапез:
- Једнакокраки трапез: Висина \( h \) одсеца одсечак дужине \( \frac{a - b}{2} \) на већој основици: \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \]
- Правоугли трапез: Некоси крак је једнак висини \( h \), а коси крак \( c \) задовољава: \[ c^2 = h^2 + (a - b)^2 \]
- Површина и средња линија: \( m = \frac{a + b}{2} \implies P = m \cdot h = \frac{a + b}{2} \cdot h \)
Израчунај дијагоналу квадрата чији је обим \( O = 24 \text{ cm} \).
Страница квадрата је \( a = \frac{O}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{ cm} \).
Дијагонала је \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).
Дијагонала је \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).
1. Једнакокраки троугао (основица \( a \), крак \( b \)):
Висина \( h_a \) полови основицу и образује правоугли троугао са страницама \( \frac{a}{2} \), \( h_a \) и \( b \): \[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \implies h_a = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2}, \qquad O = a + 2b \]
Висина \( h_a \) полови основицу и образује правоугли троугао са страницама \( \frac{a}{2} \), \( h_a \) и \( b \): \[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \implies h_a = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2}, \qquad O = a + 2b \]
2. Једнакостранични троугао (страница \( a \)):
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \qquad O = 3a \]
Описана и уписана кружница једнакостраничног троугла:
\[ R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad R = 2r \]
Правоугли троугао са угловима \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \): Представља половину једнакостраничног троугла.
- Катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака је половини хипотенузе: \( \frac{c}{2} \)
- Катета наспрам угла од \( 60^\circ \) једнака је висини: \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \)
Израчунај висину и површину једнакостраничног троугла странице \( a = 8 \text{ cm} \).
\( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm} \)
\( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)
\( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)
1. Квадар (димензије \( a, b, c \)):
Дијагонала основе: \( d_1^2 = a^2 + b^2 \)
Просторна дијагонала: \[ D^2 = d_1^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 \implies D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
Дијагонала основе: \( d_1^2 = a^2 + b^2 \)
Просторна дијагонала: \[ D^2 = d_1^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 \implies D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
2. Коцка (ивица \( a \)):
Дијагонала стране: \( d = a\sqrt{2} \)
Просторна дијагонала: \[ D^2 = 3a^2 \implies D = a\sqrt{3} \]
Дијагонала стране: \( d = a\sqrt{2} \)
Просторна дијагонала: \[ D^2 = 3a^2 \implies D = a\sqrt{3} \]
3. Правилна четворострана пирамида:
(\( a \) – основна ивица, \( H \) – висина пирамиде, \( h \) – апотема/висина бочне стране, \( s \) – бочна ивица, \( d = a\sqrt{2} \) – дијагонала основе)
(\( a \) – основна ивица, \( H \) – висина пирамиде, \( h \) – апотема/висина бочне стране, \( s \) – бочна ивица, \( d = a\sqrt{2} \) – дијагонала основе)
- Веза висине, бочне ивице и полудијагонале основе: \[ s^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 \]
- Веза висине, апотеме и половине странице основе: \[ h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
- Веза бочне ивице, апотеме и половине странице основе: \[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Израчунај просторну дијагоналу квадра димензија \( a = 2 \text{ cm} \), \( b = 3 \text{ cm} \) и \( c = 6 \text{ cm} \).
\[ D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај дужину дијагонале правоугаоника чије су странице \( a = 12 \text{ cm} \) и \( b = 5 \text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме на правоугаоник:
\[ d^2 = a^2 + b^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \]
\[ d = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина дијагонале је \( 13 \text{ cm} \).
Задатак 2 (средњи): Обим ромба је \( O = 40 \text{ cm} \), а једна његова дијагонала је \( d_1 = 12 \text{ cm} \). Израчунај другу дијагоналу \( d_2 \) и површину ромба \( P \).
1. Страница ромба: \( a = \frac{O}{4} = \frac{40}{4} = 10 \text{ cm} \).
2. Примена Питагорине теореме: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 10^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \implies 100 = 6^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 100 = 36 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \implies \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 64 \implies \frac{d_2}{2} = 8 \implies d_2 = 16 \text{ cm} \] 3. Површина ромба: \[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 \text{ cm}^2 \] Одговор: Друга дијагонала је \( 16 \text{ cm} \), а површина је \( 96 \text{ cm}^2 \).
2. Примена Питагорине теореме: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 10^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \implies 100 = 6^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 100 = 36 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \implies \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 64 \implies \frac{d_2}{2} = 8 \implies d_2 = 16 \text{ cm} \] 3. Површина ромба: \[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 \text{ cm}^2 \] Одговор: Друга дијагонала је \( 16 \text{ cm} \), а површина је \( 96 \text{ cm}^2 \).
Задатак 3 (средњи): Израчунај површину једнакокраког трапеза чије су основице \( a = 20 \text{ cm} \) и \( b = 10 \text{ cm} \), а крак \( c = 13 \text{ cm} \).
1. Одсечак основице:
\[ x = \frac{a - b}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 \text{ cm} \]
2. Висина трапеза из правоуглог троугла:
\[ h^2 = c^2 - x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \implies h = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]
3. Површина:
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{20 + 10}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина трапеза је \( 180 \text{ cm}^2 \).
Задатак 4 (тежак): Коцка има просторну дијагоналу дужине \( D = 6\sqrt{3} \text{ cm} \). Одреди дужину основне ивице \( a \), дијагоналу стране \( d \) и висину пирамиде чија је основа једна страна коцке, а врх се налази у средишту наспрамне стране коцке.
1. Из формуле за просторну дијагоналу коцке:
\[ D = a\sqrt{3} \implies 6\sqrt{3} = a\sqrt{3} \implies a = 6 \text{ cm} \]
2. Дијагонала стране коцке:
\[ d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \]
3. Висина описане пирамиде једнака је растојању између наспрамних страна коцке, што представља ивицу коцке:
\[ H = a = 6 \text{ cm} \]
Одговор: Ивица коцке је \( a = 6 \text{ cm} \), дијагонала стране је \( d = 6\sqrt{2} \text{ cm} \), а висина пирамиде је \( H = 6 \text{ cm} \).
