Најважније из лекције
Применом Питагорине теореме на основне геометријске фигуре добијамо следеће важне обрасце:
- Правоугаоник: Дијагонала и странице чине правоугли троугао. Важи: \( d^2 = a^2 + b^2 \).
- Квадрат: Дијагонала и странице чине једнакокраки правоугли троугао. Важи: \( d = a\sqrt{2} \).
- Ромб: Страница и половине дијагонала чине правоугли троугао. Важи: \( a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \).
Сваки правоугаоник је једном својом дијагоналом подељен на два подударна правоугла троугла. Катете тих троуглова су суседне странице правоугаоника (\(a\) и \(b\)), а хипотенуза је дијагонала правоугаоника (\(d\)).
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]
Ако су странице правоугаоника \( a = 3 \text{ cm} \) и \( b = 4 \text{ cm} \), дужина дијагонале се рачуна на следећи начин:
\[ d^2 = (3 \text{ cm})^2 + (4 \text{ cm})^2 \]
\[ d^2 = 9 \text{ cm}^2 + 16 \text{ cm}^2 = 25 \text{ cm}^2 \]
\[ d = \sqrt{25} \text{ cm} = 5 \text{ cm} \]
Израчунај дужину странице \(b\) правоугаоника ако је дијагонала \( d = 10 \text{ cm} \), а страница \( a = 8 \text{ cm} \).
На основу Питагорине теореме:
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]
\[ 10^2 = 8^2 + b^2 \]
\[ 100 = 64 + b^2 \]
\[ b^2 = 100 - 64 = 36 \]
\[ b = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \]
Сваки квадрат је својом дијагоналом подељен на два подударна једнакокрака правоугла троугла. Катете су странице квадрата (\(a\)), а хипотенуза је дијагонала (\(d\)).
Полазна једначина је \( d^2 = a^2 + a^2 \), односно \( d^2 = 2a^2 \). Из ње се изводи директна веза:
\[ d = a\sqrt{2} \]
Ако је страница квадрата \( a = 5 \text{ cm} \), дужина дијагонале је:
\[ d = 5\sqrt{2} \text{ cm} \]
Израчунај дужину странице квадрата ако је његова дијагонала \( d = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
Користећи формулу \( d = a\sqrt{2} \):
\[ 8\sqrt{2} = a\sqrt{2} \]
Дељењем обе стране са \( \sqrt{2} \) добијамо:
\[ a = 8 \text{ cm} \]
Дијагонале ромба се секу под правим углом и полове се. Оне деле ромб на четири подударна правоугла троугла. Катете тих троуглова су половине дијагонала (\( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \)), а хипотенуза је страница ромба (\(a\)).
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
Формула за површину ромба:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h \]
Ако су дијагонале ромба \( d_1 = 8 \text{ cm} \) и \( d_2 = 6 \text{ cm} \), страница \(a\) се рачуна:
\[ a^2 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 \]
\[ a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \]
\[ a = 5 \text{ cm} \]
Страница ромба је \( a = 13 \text{ cm} \), а једна дијагонала \( d_1 = 10 \text{ cm} \). Израчунај дужину друге дијагонале \(d_2\).
Применом Питагорине теореме на ромб:
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ 13^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ 169 = 5^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ 169 = 25 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 169 - 25 = 144 \]
\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]
\[ d_2 = 12 \cdot 2 = 24 \text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај дијагоналу правоугаоника чије су странице дужине \( 6 \text{ cm} \) и \( 8 \text{ cm} \).
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]
\[ d^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ d^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ d = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]
Средњи задатак: Израчунај површину квадрата ако је његова дијагонала \( d = 4\sqrt{2} \text{ cm} \).
Прво рачунамо страницу квадрата преко формуле за дијагоналу:
\[ d = a\sqrt{2} \]
\[ 4\sqrt{2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 4 \text{ cm} \]
Површина квадрата је:
\[ P = a^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2 \]
Тежак задатак: Обим ромба је \( 40 \text{ cm} \), а једна његова дијагонала износи \( 12 \text{ cm} \). Израчунај површину тог ромба.
1. Рачунамо страницу ромба из обима:
\[ O = 4a \Rightarrow 40 = 4a \Rightarrow a = 10 \text{ cm} \]
2. Користимо Питагорину теорему да нађемо другу дијагоналу (\(d_1 = 12\)):
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ 10^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ 100 = 6^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ 100 = 36 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 64 \Rightarrow \frac{d_2}{2} = 8 \Rightarrow d_2 = 16 \text{ cm} \]
3. Рачунамо површину:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96 \text{ cm}^2 \]
