Степен Чији Је Изложилац Природан Број

Question 1

Дати збир напиши у облику производа: а) $ 2 + 2 + 2 $; б) $ (-6) + (-6) + (-6) + (-6) $; в) $ \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} $.

Accepted Answer

Шта је дато
Треба збир једнаких сабирака записати као производ. Користимо правило са почетка лекције: ако се исти број $ a $ сабира $ n $ пута, онда је $ a + a + \dots + a = n \cdot a $, где је $ n $ број сабирака.
а) $ 2 + 2 + 2 $
Сабирак $ 2 $ јавља се $ 3 $ пута, па је
$$ 2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2 = 6. $$
б) $ (-6) + (-6) + (-6) + (-6) $
Сабирак $ -6 $ јавља се $ 4 $ пута, па је
$$ (-6) + (-6) + (-6) + (-6) = 4 \cdot (-6) = -24. $$
в) \( \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{...

Question 2

Дати производ напиши у облику збира: а) $ 4 \cdot 2 $; б) $ 3\sqrt{2} $; в) $ -3\sqrt{2} $.

Accepted Answer

Шта је дато
Сада радимо обрнуто него у претходном задатку: производ записујемо као збир једнаких сабирака. Из правила $ n \cdot a = a + a + \dots + a $ видимо да први чинилац $ n $ казује колико сабирака има, а други чинилац $ a $ казује шта се сабира.
а) $ 4 \cdot 2 $
Овде је $ n = 4 $ и $ a = 2 $, дакле број $ 2 $ сабира се $ 4 $ пута:
$$ 4 \cdot 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8. $$
б) $ 3\sqrt{2} $
Записано је $ 3 \cdot \sqrt{2} $, па се $ \sqrt{2} $ сабира $ 3 $ пута:
\[ 3\sqrt{...

Question 3

Растави на просте чиниоце број: а) $ 4 $; б) $ 8 $; в) $ 16 $; г) $ 32 $; д) $ 1\,024 $; ђ) $ 243 $; е) $ 2\,187 $.

Accepted Answer

Шта се тражи
Сваки од датих бројева треба записати као производ простих чинилаца. Делимо најмањим простим бројем који је делилац, па поступак понављамо док не дођемо до $ 1 $. Пошто су сви чиниоци једнаки, производ на крају записујемо и као степен.
а) $ 4 $
$ 4 = 2 \cdot 2 = 2^{2} $
б) $ 8 $
$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} $
в) $ 16 $
$ 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4} $
г) $ 32 $
$ 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{5} $
д) $ 1\,024 $
Делимо редом бројем \( 2...

Question 4

Израчунај обим и површину квадрата чија је страница $ 5\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Шта је дато
Дат је квадрат чија је страница $ a = 5\ \text{cm} $. Треба израчунати његов обим $ O $ и површину $ P $.
Обим
Квадрат има четири једнаке странице, па је
$$ O = 4a = 4 \cdot 5\ \text{cm} = 20\ \text{cm}. $$
Површина
Површина квадрата је производ двеју суседних страница, а то је други степен странице:
$$ P = a \cdot a = a^{2} = 5^{2}\ \text{cm}^{2} = 25\ \text{cm}^{2}. $$
Провера
Обим можемо добити и сабирањем страница: $ 5 + 5 + 5 + 5 = 20\ \text{cm} $. Јединице су такође у р...

Question 5

Израчунај површину и запремину коцке чија је ивица $ 5\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Шта је дато
Дата је коцка чија је ивица $ a = 5\ \text{cm} $. Треба израчунати површину $ P $ и запремину $ V $.
Површина
Коцка има $ 6 $ подударних страна, а свака страна је квадрат странице $ a $:
$$ P = 6a^{2} = 6 \cdot 5^{2}\ \text{cm}^{2} = 6 \cdot 25\ \text{cm}^{2} = 150\ \text{cm}^{2}. $$
Запремина
Запремина коцке је производ трију ивица, а то је трећи степен ивице:
$$ V = a \cdot a \cdot a = a^{3} = 5^{3}\ \text{cm}^{3} = 125\ \text{cm}^{3}. $$
Провера
\( 5^{3} = 5^{2} \cdot 5...

Question 6

Дати производ запиши као степен: а) $ 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 $; б) $ (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) $; в) $ \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} $; г) \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \...

Accepted Answer

Правило
По дефиницији степена, производ $ n $ једнаких чинилаца записујемо као степен: $ a \cdot a \cdot \dots \cdot a = a^{n} $, где је $ a $ основа, а $ n $ изложилац (број чинилаца).
а) $ 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 $
Чинилац $ 7 $ јавља се $ 4 $ пута, па је $ 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{4} $.
б) шест чинилаца $ -8 $
$$ (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) = (-8)^{6}. $$
Заграда је обавезна: $ (-8)^{6} $ није исто што и $ -8^{6} $.
в) пет чинилаца...

Question 7

Израчунај: а) $ 10^6 $; б) $ (-6)^3 $; в) $ \left(\frac{2}{3}\right)^5 $; г) $ \left(-\frac{2}{3}\right)^5 $; д) $ (\sqrt{7})^4 $; ђ) $ (-\sqrt{5})^4 $.

Accepted Answer

Правило
Степен претварамо у производ једнаких чинилаца и израчунавамо вредност, као у Примеру 3.
а) $ 10^{6} $
$$ 10^{6} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000\,000. $$
Степен броја $ 10 $ има онолико нула колико износи изложилац.
б) $ (-6)^{3} $
$$ (-6)^{3} = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 \cdot (-6) = -216. $$
Изложилац је непаран, па је резултат негативан.
в) $ \left(\frac{2}{3}\right)^{5} $
Разломак степенујемо тако што степенујемо и бројилац и именилац:
\[ \left...

Question 8

Израчунај други, трећи, четврти и пети степен броја: а) $ 4 $; б) $ -3 $; в) $ \frac{1}{2} $; г) $ -\frac{2}{5} $; д) $ 0,3 $; ђ) $ -0,1 $; е) $ \sqrt{11} $.

Accepted Answer

Правило
Сваки следећи степен добијамо тако што претходни помножимо основом: $ a^{3} = a^{2} \cdot a $, $ a^{4} = a^{3} \cdot a $, $ a^{5} = a^{4} \cdot a $. Тако редом рачунамо други, трећи, четврти и пети степен.
а) $ a = 4 $
$ 4^{2} = 16 $, $ 4^{3} = 16 \cdot 4 = 64 $, $ 4^{4} = 64 \cdot 4 = 256 $, $ 4^{5} = 256 \cdot 4 = 1\,024 $.
б) $ a = -3 $
$ (-3)^{2} = 9 $, $ (-3)^{3} = 9 \cdot (-3) = -27 $, $ (-3)^{4} = -27 \cdot (-3) = 81 $, $ (-3)^{5} = 81 \cdot (-3) = -243 $...

Question 9

Без израчунавања степена одреди његов знак: а) $ (-8)^{15} $; б) $ (-100)^{35} $; в) $ (-\sqrt{23})^{88} $; г) $ (-\sqrt{57})^{101} $.

Accepted Answer

Правило које користимо
Из лекције знамо: степен негативног броја са парним изложиоцем је позитиван број, а са непарним изложиоцем негативан број. Зато је довољно погледати само да ли је изложилац паран или непаран - степен уопште не морамо рачунати.
а) $ (-8)^{15} $
Основа $ -8 $ је негативна, а изложилац $ 15 $ је непаран, па је степен негативан.
б) $ (-100)^{35} $
Основа је негативна, изложилац $ 35 $ је непаран, па је степен негативан.
в) $ \left(-\sqrt{23}\right)^{88} $
Основа \(...

Question 10

Без израчунавања степена упореди: а) $ (-8)^{15} $ и $ 8^{15} $; б) $ (-7)^{20} $ и $ 7^{20} $; в) $ (-\sqrt{2})^{12} $ и $ \sqrt{2}^{\,12} $; г) $ (-\sqrt{2})^{77} $ и $ \sqrt{2}^{\,77} $.

Accepted Answer

Правило које користимо
За сваки реалан број $ a $ важи: ако је $ n $ паран природан број, онда је $ (-a)^{n} = a^{n} $; ако је $ n $ непаран, онда је $ (-a)^{n} = -a^{n} $. Значи, парни степени супротних бројева су једнаки, а непарни степени супротних бројева су међусобно супротни.
а) $ (-8)^{15} $ и $ 8^{15} $
Изложилац $ 15 $ је непаран, па је $ (-8)^{15} = -8^{15} $. Број $ 8^{15} $ је позитиван, а њему супротан број је негативан, дакле
$$ (-8)^{15} \lt 8^{15}. $$
б) \( (-...

Question 11

Упореди бројеве: а) $ 2^4 $ и $ 2^5 $; б) $ \left(\frac{1}{2}\right)^4 $ и $ \left(-\frac{1}{2}\right)^5 $; в) $ (-2)^4 $ и $ (-2)^5 $; г) $ \left(\frac{1}{2}\right)^4 $ и $ \left(\frac{1}{2}\right)^5 $.

Accepted Answer

Како поредимо
Најпре погледамо знаке бројева: сваки позитиван број већи је од сваког негативног. Ако су оба броја истог знака, израчунамо степене или искористимо особину да за основу већу од $ 1 $ степен расте са изложиоцем, а за основу између $ 0 $ и $ 1 $ степен опада.
а) $ 2^{4} $ и $ 2^{5} $
$ 2^{4} = 16 $, а $ 2^{5} = 32 $. Пошто је основа већа од $ 1 $, већи изложилац даје већи степен:
$$ 2^{4} \lt 2^{5}. $$
б) $ \left(\frac{1}{2}\right)^{4} $ и \( \left(-\frac{1}{2}\righ...

Question 12

Без израчунавања степена одреди да ли је вредност израза рационалан или ирационалан број: а) $ \sqrt{2}^{\,6} $; б) $ (-\sqrt{6})^3 $; в) $ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^5 $; г) $ (-\sqrt{11})^5 + \sqrt{11}^{\,5} $; д) $ (-\sqrt{11})^5 - \sqrt{11}^{\,5} $.

Accepted Answer

Правило које користимо
Из Примера 6 знамо: за ирационалан број облика $ \sqrt{m} $, $ m \in N $, важи да је $ \sqrt{m}^{\,n} $ рационалан број ако је $ n $ паран, а ирационалан ако је $ n $ непаран. Зато и овде гледамо парност изложиоца.
а) $ \sqrt{2}^{\,6} $
Изложилац $ 6 $ је паран, па је вредност рационалан број. Заиста, $ \sqrt{2}^{\,6} = \left(\sqrt{2}^{\,2}\right) \cdot \left(\sqrt{2}^{\,2}\right) \cdot \left(\sqrt{2}^{\,2}\right) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $.
б) \( \left(-\sq...

III.1. Степен Чији Је Изложилац Природан Број

Изабери решење задатка:

Правило које користимо

а) \( (-8)^{15} \) и \( 8^{15} \)

б) \( (-7)^{20} \) и \( 7^{20} \)

в) \( \left(-\sqrt{2}\right)^{12} \) и \( \sqrt{2}^{\,12} \)

г) \( \left(-\sqrt{2}\right)^{77} \) и \( \sqrt{2}^{\,77} \)

Провера

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста