IV.6. Правилни Многоуглови

Шта је дато и шта се тражи

Тачка \( O \) је центар једнакостраничног троугла \( ABC \), а троугао \( A_1B_1C_1 \) је централносиметричан троуглу \( ABC \) у односу на \( O \). Треба доказати да је шестоугао \( AC_1BA_1CB_1 \) правилан, то јест да су му све странице једнаке и сви углови једнаки.

Свих шест темена лежи на истој кружници

Тачка \( O \) је центар описане кружнице троугла \( ABC \), па је \[ OA = OB = OC = R \] Централна симетрија пресликава \( A \) у \( A_1 \), \( B \) у \( B_1 \) и \( C \) у \( C_1 \), при чему је \( O \) средиште дужи \( AA_1 \), \( BB_1 \) и \( CC_1 \). Зато је \[ OA_1 = OA = R, \quad OB_1 = OB = R, \quad OC_1 = OC = R \] Дакле свих шест темена \( A \), \( C_1 \), \( B \), \( A_1 \), \( C \), \( B_1 \) лежи на кружници са центром \( O \) и полупречником \( R \).

Централни углови су по \( 60^\circ \)

Код једнакостраничног троугла центар \( O \) „види" сваку страницу под углом \[ \angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \] Тачка \( C_1 \) је на полуправој супротној полуправој \( OC \), па су углови \( \angle AOC \) и \( \angle AOC_1 \) напоредни: \[ \angle AOC_1 = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] На исти начин је \( \angle C_1OB = 60^\circ \), \( \angle BOA_1 = 60^\circ \), \( \angle A_1OC = 60^\circ \), \( \angle COB_1 = 60^\circ \) и \( \angle B_1OA = 60^\circ \). Збир је \( 6 \cdot 60^\circ = 360^\circ \), што потврђује да су темена баш тим редом распоређена око тачке \( O \).

Све странице су једнаке

Посматрајмо шест троуглова \( AOC_1 \), \( C_1OB \), \( BOA_1 \), \( A_1OC \), \( COB_1 \), \( B_1OA \). Сваки од њих има два крака дужине \( R \) и угао између њих од \( 60^\circ \), па су сви међусобно подударни по ставу СУС. Одатле следи \[ AC_1 = C_1B = BA_1 = A_1C = CB_1 = B_1A \]

Сви углови су једнаки

Сваки од тих шест троуглова је једнакокрак са углом при врху \( 60^\circ \), па су му углови на основици \[ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \] (дакле сваки од њих је чак једнакостраничан). Сваки угао шестоугла састављен је од два таква угла на основици, на пример \[ \angle AC_1B = \angle AC_1O + \angle OC_1B = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] па су сви углови шестоугла по \( 120^\circ \).

Закључак

Шестоугао \( AC_1BA_1CB_1 \) има свих шест страница међусобно једнаких и свих шест углова по \( 120^\circ \), дакле он је правилан шестоугао, што је требало доказати.

Провера

Збир унутрашњих углова добијеног шестоугла је \( 6 \cdot 120^\circ = 720^\circ = (6-2)\cdot 180^\circ \), што се слаже са формулом за збир унутрашњих углова шестоугла.

Свих шест темена је на кружници \( (O, R) \), а сваки централни угао је \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). Шест подударних троуглова по СУС даје једнаке странице и углове по \( 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \), па је \( AC_1BA_1CB_1 \) правилан шестоугао.