IV.6. Правилни Многоуглови

а) Петоугао једнаких страница, а неједнаких углова

Нацртај квадрат \( ABCD \) странице \( a \) (на пример \( a = 3\ \text{cm} \)). Над страницом \( CD \), са спољашње стране квадрата, конструиши једнакостранични троугао \( CDE \) странице \( a \). Добијени петоугао је \( ABCED \) (темена редом: \( A \), \( B \), \( C \), \( E \), \( D \)). Странице. \( AB = BC = a \) (странице квадрата), \( CE = ED = a \) (странице једнакостраничног троугла) и \( DA = a \) (страница квадрата). Дакле свих пет страница је једнако. Углови. \( \angle A = 90^\circ \), \( \angle B = 90^\circ \) (углови квадрата),
\( \angle C = \angle BCD + \angle DCE = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \),
\( \angle E = 60^\circ \) (угао једнакостраничног троугла),
\( \angle D = \angle CDA + \angle EDC = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \). Провера збира: \( 90^\circ + 90^\circ + 150^\circ + 60^\circ + 150^\circ = 540^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ \). Збир је тачан, а углови нису сви једнаки, што је и тражено. (Овај петоугао подсећа на цртеж кућице.)

б) Шестоугао једнаких углова, а неједнаких страница

Нацртај једнакостранични троугао странице \( 4\ \text{cm} \). У сваком његовом углу „одсеци" по један мали једнакостранични троугао странице \( 1\ \text{cm} \) (на обе странице која излази из тог темена одмери \( 1\ \text{cm} \) и спој те две тачке). Остатак је шестоугао чије су странице редом \( 1\ \text{cm} \), \( 2\ \text{cm} \), \( 1\ \text{cm} \), \( 2\ \text{cm} \), \( 1\ \text{cm} \), \( 2\ \text{cm} \) — јер од сваке странице троугла дужине \( 4\ \text{cm} \) остане \( 4 - 1 - 1 = 2\ \text{cm} \), а свака пресечна дуж је страница малог троугла, дакле \( 1\ \text{cm} \). Углови. Сваки угао шестоугла је напоредан са углом од \( 60^\circ \) одсеченог малог једнакостраничног троугла, па износи \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). Свих шест углова је по \( 120^\circ \). Провера збира: \( 6\cdot 120^\circ = 720^\circ = (6-2)\cdot 180^\circ \). Дакле углови су међусобно једнаки, а странице нису.

Закључак

Оба примера показују да ни једнакост страница ни једнакост углова сама за себе не значи да је многоугао правилан — потребно је и једно и друго (једино код троугла из једног следи друго).

а) Квадрат плус једнакостранични троугао над једном страницом („кућица"): све странице једнаке, углови \( 90^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 60^\circ, 150^\circ \). б) Једнакостранични троугао странице \( 4\ \text{cm} \) са одсеченим троугловима странице \( 1\ \text{cm} \) у теменима: странице \( 1, 2, 1, 2, 1, 2 \), сви углови по \( 120^\circ \).