Геометријске Конструкције

Question 1

а) Нацртај праву $ a $ и тачку $ T $ која јој не припада; б) Конструиши подножје $ A $ нормале из $ T $ на $ a $; в) Конструиши тачку $ B $ која је централносиметрична тачки $ A $ у односу на $ T $; г) Конструиши праву $ b $ која је паралелна са $ a $ и садржи $ B $. Да ли су п...

Accepted Answer

Анализа
Централна симетрија са центром $ T $ слика праву у праву која јој је паралелна. Зато очекујемо да слика праве $ a $ буде управо права $ b $. Све конструкције изводимо само лењиром и шестаром.
Конструкција
а) Нацртамо праву $ a $ и произвољну тачку $ T $ која јој не припада.
б) Из $ T $ опишемо кружницу довољно великог полупречника која праву $ a $ сече у тачкама $ P $ и $ Q $. Конструишемо симетралу дужи $ PQ $. Како је $ TP = TQ $, тачка $ T $ припада тој симетра...

Question 2

Конструиши угао чија је мера: а) $ 45^\circ $; б) $ 135^\circ $; в) $ 120^\circ $; г) $ 30^\circ $; д) $ 75^\circ $; ђ) $ 150^\circ $; е) $ 105^\circ $.

Accepted Answer

Основне конструкције које користимо
Угао од $ 60^\circ $: на полуправој $ Ox $ из темена $ O $ опишемо кружницу $ k(O,r) $, пресек са $ Ox $ означимо са $ M $, па из $ M $ опишемо кружницу истог полупречника $ r $; пресечна тачка $ P $ двеју кружница даје $ \angle POx = 60^\circ $ (јер је $ \triangle OMP $ једнакостраничан).
Прав угао: конструишемо нормалу на дату праву у датој тачки (симетрала одговарајуће дужи).
Половљење угла: конструишемо симетралу угла.
Конструкције тр...

Question 3

Конструиши троугао $ ABC $ тако да је: а) $ \alpha = 120^\circ $, $ b = 3\,\text{cm} $, $ c = 4\,\text{cm} $; б) $ \alpha = 30^\circ $, $ \beta = 45^\circ $, $ c = 5{,}5\,\text{cm} $; в) $ a = 3{,}5\,\text{cm} $, $ b = 3\,\text{cm} $, $ c = 6\,\text{cm} $; г) \( \alpha = 135^\cir...

Accepted Answer

а) $ \alpha = 120^\circ,\ b = 3\,\text{cm},\ c = 4\,\text{cm} $
Дате су две странице и угао између њих, па је троугао одређен (став СУС).
Конструкција: конструишемо угао $ \angle xAy = 120^\circ $ (два надовезана угла од $ 60^\circ $). На краку $ Ay $ нанесемо $ AB = c = 4\,\text{cm} $, а на краку $ Ax $ нанесемо $ AC = b = 3\,\text{cm} $, па спојимо $ B $ и $ C $. Постоји тачно једно решење.
б) $ \alpha = 30^\circ,\ \beta = 45^\circ,\ c = 5{,}5\,\text{cm} $
Дата је страница...

Question 4

Конструиши паралелограм чије су странице $ 6\,\text{cm} $ и $ 3\,\text{cm} $, а једна дијагонала је $ 4\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Нека је $ ABCD $ паралелограм са $ AB = 6\,\text{cm} $, $ BC = 3\,\text{cm} $ и дијагоналом $ AC = 4\,\text{cm} $. Дијагонала $ AC $ дели паралелограм на два подударна троугла, па је троугао $ ABC $ одређен својим трима страницама: $ AB = 6\,\text{cm} $, $ BC = 3\,\text{cm} $, $ AC = 4\,\text{cm} $.
Провера постојања: $ BC + AC = 3 + 4 = 7 $, што је веће од $ AB = 6 $, па троугао $ ABC $ постоји.
Конструкција
1. Нацртамо дуж $ AB = 6\,\text{cm} $.
2. Конструишем...

Question 5

Конструиши трапез $ ABCD $ чије су основице $ AB = 5\,\text{cm} $ и $ CD = 3\,\text{cm} $, а краци $ BC = 3{,}5\,\text{cm} $ и $ AD = 4\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Нека је $ ABCD $ трапез са основицама $ AB = 5\,\text{cm} $ и $ CD = 3\,\text{cm} $ и крацима $ AD = 4\,\text{cm} $ и $ BC = 3{,}5\,\text{cm} $. Кроз теме $ C $ повучемо праву паралелну краку $ AD $; она сече основицу $ AB $ у тачки $ E $. Четвороугао $ AECD $ има $ AE \parallel DC $ и $ AD \parallel EC $, па је паралелограм. Због тога је
$$ AE = DC = 3\,\text{cm}, \qquad EC = AD = 4\,\text{cm}, \qquad EB = AB - AE = 5 - 3 = 2\,\text{cm}. $$
Дакле, у троуглу \( EB...

Question 6

Конструиши троугао $ ABC $ тако да је: а) $ c = 5\,\text{cm} $, $ \alpha = 45^\circ $, $ h_c = 2\,\text{cm} $; б) $ a = 4\,\text{cm} $, $ \beta = 75^\circ $, $ h_a = 2\,\text{cm} $; в) $ b = 5\,\text{cm} $, $ c = 3\,\text{cm} $, $ h_a = 2{,}5\,\text{cm} $; г) \( b = 3\,\text{cm}...

Accepted Answer

а) $ c = 5\,\text{cm},\ \alpha = 45^\circ,\ h_c = 2\,\text{cm} $
Анализа (као у Примеру 1): када нацртамо $ AB = c $, теме $ C $ припада полуправој $ Ax $ која са $ AB $ захвата угао од $ 45^\circ $, а истовремено је удаљено $ 2\,\text{cm} $ од праве $ AB $, тј. припада правој $ p $ паралелној са $ AB $ на растојању $ 2\,\text{cm} $. Обе се конструишу са исте стране дужи $ AB $.
Конструкција: $ AB = 5\,\text{cm} $; угао $ 45^\circ $ у темену $ A $ (половина правог у...

Question 7

Конструиши једнакокраки троугао $ ABC $ ако је основица $ AB = 4\,\text{cm} $ и висина која одговара основици $ h_c = 6\,\text{cm} $. Одреди затим ортоцентар троугла $ ABC $.

Accepted Answer

Анализа
Троугао $ ABC $ је једнакокраки са основицом $ AB = 4\,\text{cm} $, па теме $ C $ припада симетрали основице. Висина $ h_c = 6\,\text{cm} $ из темена $ C $ пада управо на ту симетралу, јер је код једнакокраког троугла висина из врха уједно и симетрала основице. Значи, теме $ C $ добијамо тако што на симетрали дужи $ AB $ нанесемо $ 6\,\text{cm} $ од средишта $ C_1 $ основице.
Конструкција троугла
1. Нацртамо дуж $ AB = 4\,\text{cm} $.
2. Конструишемо симетралу дужи \(...

Question 8

Конструиши $ \triangle ABC $ тако да је: а) $ a = 7\,\text{cm} $, $ c = 5\,\text{cm} $, $ t_a = 3\,\text{cm} $; б) $ a = 4\,\text{cm} $, $ b = 6\,\text{cm} $, $ t_b = 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

а) $ a = 7\,\text{cm},\ c = 5\,\text{cm},\ t_a = 3\,\text{cm} $
Анализа: нека је $ A_1 $ средиште странице $ BC $. Тада је $ BA_1 = \dfrac{a}{2} = 3{,}5\,\text{cm} $, $ AA_1 = t_a = 3\,\text{cm} $ и $ AB = c = 5\,\text{cm} $, па су у троуглу $ ABA_1 $ познате све три странице (став ССС). Он постоји јер је $ 3{,}5 + 3 = 6{,}5 $, што је веће од $ 5 $.
Конструкција: нацртамо $ AB = 5\,\text{cm} $; теме $ A_1 $ је пресек кружница $ k_1(A,\ 3\,\text{cm}) $ и \( k_2(B,\ 3{,}5\,...

Question 9

Конструиши правоугли троугао чија је једна катета $ 2\,\text{cm} $ и тежишна дуж која одговара хипотенузи $ 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Код правоуглог троугла центар описане кружнице је средиште хипотенузе, па је тежишна дуж која одговара хипотенузи једнака полупречнику описане кружнице, тј. половини хипотенузе:
$$ t_c = \frac{c}{2} \quad \Longrightarrow \quad c = 2 \cdot 3 = 6\,\text{cm}. $$
Дакле, тражимо правоугли троугао са хипотенузом $ 6\,\text{cm} $ и катетом $ 2\,\text{cm} $. Теме правог угла припада кружници над хипотенузом као пречником (периферијски угао над пречником је прав).
Конструкција
1. Нацртамо дуж...

Question 10

Конструиши $ \triangle ABC $ тако да је $ c = 5\,\text{cm} $, $ t_a = 4{,}5\,\text{cm} $ и $ t_b = 6\,\text{cm} $. Упутство. Конструиши најпре $ \triangle ABT $, где је $ T $ тежиште $ \triangle ABC $.

Accepted Answer

Анализа
Тежиште $ T $ дели сваку тежишну дуж у размери $ 2 : 1 $, рачунајући од темена. Зато је
$$ AT = \frac{2}{3} t_a = \frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3\,\text{cm}, \qquad BT = \frac{2}{3} t_b = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\,\text{cm}. $$
У троуглу $ ABT $ познате су све три странице: $ AB = c = 5\,\text{cm} $, $ AT = 3\,\text{cm} $, $ BT = 4\,\text{cm} $ — зато га конструишемо по ставу ССС (постоји, јер је $ 3 + 4 = 7 $, што је веће од $ 5 $).
Затим на полуправој $ AT $, иза тачке \(...

Question 11

Конструиши правоугли троугао тако да је једна његова катета $ 4\,\text{cm} $ и полупречник описане кружнице је $ 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Центар описане кружнице правоуглог троугла је средиште хипотенузе, па је хипотенуза пречник те кружнице:
$$ c = 2R = 2 \cdot 3 = 6\,\text{cm}. $$
Дакле, треба конструисати правоугли троугао са хипотенузом $ 6\,\text{cm} $ и катетом $ 4\,\text{cm} $.
Конструкција
1. Нацртамо дуж $ AB = 6\,\text{cm} $ и конструишемо њено средиште $ O $.
2. Опишемо кружницу $ k(O,\ 3\,\text{cm}) $ (над $ AB $ као пречником).
3. Кружница $ k_1(A,\ 4\,\text{cm}) $ сече кружницу $ k $ у тачки \...

Question 12

Конструиши $ \triangle ABC $, тако да је: а) $ a = 4\,\text{cm} $, $ b + c = 6\,\text{cm} $, $ \gamma = 75^\circ $; б) $ a + b + c = 6\,\text{cm} $, $ \alpha = 60^\circ $, $ \beta = 45^\circ $.

Accepted Answer

а) $ a = 4\,\text{cm},\ b + c = 6\,\text{cm},\ \gamma = 75^\circ $
Анализа (по угледу на Пример 5): на полуправој $ CA $, иза темена $ A $, одредимо тачку $ D $ тако да је $ AD = AB = c $. Тада је
$$ CD = CA + AD = b + c = 6\,\text{cm}. $$
У троуглу $ BCD $ познате су две странице и угао између њих: $ CD = 6\,\text{cm} $, $ CB = a = 4\,\text{cm} $ и $ \angle DCB = \gamma = 75^\circ $ (јер тачка $ D $ припада полуправој $ CA $). Тај троугао се конструише по ставу СУС. Троуга...

Question 13

Конструишимо паралелограм чији су оштри углови једнаки по $ 60^\circ $, једна страница је $ 5\,\text{cm} $ и краћа дијагонала је $ 5{,}5\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Нека је $ ABCD $ паралелограм са оштрим угловима $ \alpha = \angle DAB = 60^\circ $ и страницом $ AB = 5\,\text{cm} $. Тупи углови су тада $ 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $. Краћа дијагонала паралелограма спаја темена тупих углова (дужа спаја темена оштрих углова), па је краћа дијагонала $ BD = 5{,}5\,\text{cm} $.
У троуглу $ ABD $ познате су: страница $ AB = 5\,\text{cm} $, угао $ \angle DAB = 60^\circ $ и страница $ BD = 5{,}5\,\text{cm} $ наспрам тог угла. Како је...

Question 14

Конструиши паралелограм чије су дијагонале $ 5\,\text{cm} $ и $ 6\,\text{cm} $ и угао између њих је $ 30^\circ $.

Accepted Answer

Анализа
Дијагонале паралелограма се полове. Ако је $ O $ њихов пресек, а $ AC = 5\,\text{cm} $ и $ BD = 6\,\text{cm} $, онда је
$$ AO = OC = \frac{5}{2} = 2{,}5\,\text{cm}, \qquad BO = OD = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm}, $$
а угао између дијагонала је $ \angle AOB = 30^\circ $. Троугао $ AOB $ се одмах конструише по ставу СУС, а преостала темена су централносиметрична темену $ A $, односно $ B $, у односу на $ O $.
Конструкција
1. Нацртамо праву и на њој тачку $ O $, па конструише...

Question 15

Конструиши паралелограм $ ABCD $ тако да је: а) $ a = 5\,\text{cm} $, $ \alpha = 60^\circ $, $ h_a = 2\,\text{cm} $; б) $ a = 5\,\text{cm} $, $ b = 4\,\text{cm} $, $ h_a = 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

а) $ a = 5\,\text{cm},\ \alpha = 60^\circ,\ h_a = 2\,\text{cm} $
Анализа: теме $ D $ припада краку угла од $ 60^\circ $ са теменом $ A $, а истовремено је удаљено $ h_a = 2\,\text{cm} $ од праве $ AB $, тј. припада правој $ p $ паралелној са $ AB $ на растојању $ 2\,\text{cm} $.
Конструкција: нацртамо $ AB = 5\,\text{cm} $; у $ A $ конструишемо угао $ 60^\circ $ — полуправа $ Ax $; конструишемо праву $ p \parallel AB $ на растојању $ 2\,\text{cm} $ (са стране где је...

Question 16

Конструиши ромб чија је једна дијагонала $ 3{,}5\,\text{cm} $ и висина $ 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Нека је $ ABCD $ ромб чија је дијагонала $ AC = 3{,}5\,\text{cm} $ и висина $ 3\,\text{cm} $, при чему је $ C_1 $ подножје висине из темена $ C $ на праву $ AB $. Правоугли троугао $ AC_1C $ одмах се конструише, јер су познате његова хипотенуза $ AC = 3{,}5\,\text{cm} $ и катета $ CC_1 = 3\,\text{cm} $ (могуће је, јер је $ 3 $ мање од $ 3{,}5 $).
Дијагонале ромба се полове и међусобно су нормалне, па су темена $ B $ и $ D $ на симетрали $ s_{AC} $ дужи \( AC \...

Question 17

Конструиши делтоид $ ABCD $ ($ AB = AD $, $ CB = CD $) ако је: а) $ AB = 3\,\text{cm} $, $ CB = 4\,\text{cm} $, $ \angle BAD = 60^\circ $; б) $ AB = 3\,\text{cm} $, $ CB = 4\,\text{cm} $, $ \angle ABC = 75^\circ $.

Accepted Answer

Анализа
У делтоиду $ ABCD $ је $ AB = AD = 3\ \text{cm} $ и $ CB = CD = 4\ \text{cm} $. Темена $ A $ и $ C $ су подједнако удаљена од тачака $ B $ и $ D $, па обе леже на симетрали дужи $ BD $. Дакле, права $ AC $ је оса симетрије делтоида.

а) $ AB = 3\ \text{cm} $, $ CB = 4\ \text{cm} $, $ \angle BAD = 60^\circ $
Троугао $ ABD $ је једнакокраки са крацима $ AB = AD = 3\ \text{cm} $ и углом $ 60^\circ $ између њих. Углови на основици су зато \( \frac{180^\circ - 60...

Question 18

Конструиши једнакостраничан троугао чија је: а) страница $ 3\,\text{cm} $; б) висина $ 2\,\text{cm} $.

Accepted Answer

а) страница $ 3\ \text{cm} $
Једнакостраничан троугао има све три странице једнаке, па су нам познате све три његове странице — конструишемо га по ставу ССС.
Конструкција
1. Нацртамо дуж $ AB = 3\ \text{cm} $.
2. Конструишемо лукове $ k(A,\ 3\ \text{cm}) $ и $ k(B,\ 3\ \text{cm}) $.
3. Њихов пресек је теме $ C $.
4. Спојимо $ A $, $ B $ и $ C $.
Провера. $ AB = BC = CA = 3\ \text{cm} $, па је троугао једнакостраничан.

б) висина $ 2\ \text{cm} $
Анализа. Сваки угао једнакостр...

Question 19

Конструиши квадрат чија је: а) страница $ 2\,\text{cm} $; б) дијагонала $ 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

а) страница $ 2\ \text{cm} $
Квадрат има четири права угла и четири једнаке странице, па је довољно у крајевима једне странице подићи нормале и на њима нанети исту дужину.
Конструкција
1. Нацртамо дуж $ AB = 2\ \text{cm} $.
2. У тачкама $ A $ и $ B $ конструишемо нормале на праву $ AB $, обе са исте стране.
3. На њима нанесемо $ AD = 2\ \text{cm} $ и $ BC = 2\ \text{cm} $.
4. Спојимо $ D $ и $ C $.
Провера. Четвороугао $ ABCD $ има три права угла и \( AB = AD = BC = 2\ \text{...

Question 20

Конструиши правилан шестоугао странице $ 2\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Централни угао правилног шестоугла је $ \varphi_6 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ $. Карактеристични троугао је једнакокраки са крацима $ R $ и углом при врху $ 60^\circ $, дакле једнакостраничан. Зато је полупречник описане кружнице једнак страници:
$$ R = a = 2\ \text{cm}. $$
Значи, темена шестоугла су тачке кружнице полупречника $ 2\ \text{cm} $ које ту кружницу деле на шест једнаких лукова, а суседна темена су на растојању $ 2\ \text{cm} $.

Конструкција
1. Нацртамо кружни...

Question 21

Конструиши правилан шестоугао чији је полупречник уписане кружнице $ 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
За правилан шестоугао важи $ R = a $ и $ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $. Из $ r = 3\ \text{cm} $ добијамо
$$ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\ \text{cm}, \qquad R = a = 2\sqrt{3}\ \text{cm}. $$
Ова вредност није погодна за наношење лењиром, па страницу конструишемо. Уписана кружница додирује сваку страницу у њеној средини, а полупречник повучен у додирну тачку нормалан је на страницу. Половина централног угла је $ \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $,...

Question 22

Конструиши правилан шестоугао тако да дужина његове краће дијагонале буде $ 5\,\text{cm} $. Колико је дугачка страница конструисаног шестоугла?

Accepted Answer

Анализа
Краћа дијагонала правилног шестоугла спаја темена „преко једног”, на пример $ A_1A_3 $, и за њу важи
$$ d_2 = a\sqrt{3}. $$
Темена $ A_1 $, $ A_3 $ и $ A_5 $ су три наизменична темена шестоугла, па су међусобно једнако удаљена: $ A_1A_3 = A_3A_5 = A_5A_1 = d_2 $. Значи, она образују једнакостраничан троугао странице $ 5\ \text{cm} $, уписан у исту кружницу у коју је уписан и шестоугао. Ако конструишемо тај троугао и око њега опишемо кружницу, добијамо описану кружницу шестоуг...

Question 23

Конструиши правилан осмоугао: а) странице $ 2\,\text{cm} $; б) полупречника описане кружнице $ 2{,}5\,\text{cm} $; в) полупречника уписане кружнице $ 2{,}5\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Основни подаци
Збир унутрашњих углова осмоугла је $ S_8 = (8-2)\cdot 180^\circ = 1080^\circ $, па је унутрашњи угао правилног осмоугла
$$ \alpha_8 = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ, \qquad \varphi_8 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ. $$
Карактеристични троугао је једнакокраки, са углом при врху $ 45^\circ $ и угловима на основици од по $ \frac{135^\circ}{2} = 67{,}5^\circ $.

а) страница $ 2\ \text{cm} $
1. Нацртамо дуж $ A_1A_2 = 2\ \text{cm} $.
2. У темену $ A_1 $ конструишемо угао...

Question 24

Конструиши правилан осмоугао тако да дужина његове најкраће дијагонале буде $ 4\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Анализа
Најкраћа дијагонала правилног осмоугла спаја темена „преко једног”, на пример $ A_1A_3 $. Централни угао који она захвата је $ 2\cdot 45^\circ = 90^\circ $, па су темена $ A_1, A_3, A_5, A_7 $ четири тачке описане кружнице које су међусобно удаљене за по $ 90^\circ $ — оне образују квадрат, а његова страница је баш најкраћа дијагонала осмоугла:
$$ A_1A_3 = A_3A_5 = A_5A_7 = A_7A_1 = 4\ \text{cm}. $$
Дакле, довољно је конструисати квадрат странице $ 4\ \text{cm} $, описати му кр...

Question 25

Конструиши правилан дванаестоугао ако је: а) $ a = 2{,}5\,\text{cm} $; б) $ R = 3\,\text{cm} $; в) $ r = 3\,\text{cm} $.

Accepted Answer

Основни подаци
Збир унутрашњих углова је $ S_{12} = (12-2)\cdot 180^\circ = 1800^\circ $, па је
$$ \alpha_{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ, \qquad \varphi_{12} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ. $$
Карактеристични троугао је једнакокраки са углом при врху $ 30^\circ $ и угловима на основици од по $ \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ $.

а) $ a = 2{,}5\ \text{cm} $
1. Нацртамо дуж $ A_1A_2 = 2{,}5\ \text{cm} $.
2. У темену $ A_1 $ конструишемо угао од \( 75^\circ = 60^\...

IV.7. Геометријске Конструкције

Изабери решење задатка:

Основни подаци

а) страница \( 2\ \text{cm} \)

б) полупречник описане кружнице \( 2{,}5\ \text{cm} \)

в) полупречник уписане кружнице \( 2{,}5\ \text{cm} \)

Провера

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста