IV.7. Геометријске Конструкције

а) \( c = 5\,\text{cm},\ \alpha = 45^\circ,\ h_c = 2\,\text{cm} \)

Анализа (као у Примеру 1): када нацртамо \( AB = c \), теме \( C \) припада полуправој \( Ax \) која са \( AB \) захвата угао од \( 45^\circ \), а истовремено је удаљено \( 2\,\text{cm} \) од праве \( AB \), тј. припада правој \( p \) паралелној са \( AB \) на растојању \( 2\,\text{cm} \). Обе се конструишу са исте стране дужи \( AB \). Конструкција: \( AB = 5\,\text{cm} \); угао \( 45^\circ \) у темену \( A \) (половина правог угла) — полуправа \( Ax \); права \( p \parallel AB \) на растојању \( 2\,\text{cm} \) (нанесемо \( 2\,\text{cm} \) на нормалу на \( AB \) и кроз добијену тачку повучемо паралелу); \( C = Ax \cap p \). Једно решење.

б) \( a = 4\,\text{cm},\ \beta = 75^\circ,\ h_a = 2\,\text{cm} \)

Анализа: сада је позната страница \( BC = a = 4\,\text{cm} \), угао \( \beta \) у темену \( B \) и растојање темена \( A \) од праве \( BC \). Конструкција: нацртамо \( BC = 4\,\text{cm} \); у темену \( B \) конструишемо угао \( \beta = 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \) — полуправа \( Bx \); конструишемо праву \( p \parallel BC \) на растојању \( 2\,\text{cm} \), са исте стране; теме \( A \) је пресек \( Bx \cap p \). Једно решење.

в) \( b = 5\,\text{cm},\ c = 3\,\text{cm},\ h_a = 2{,}5\,\text{cm} \)

Анализа (као у Примеру 2): нека је \( A_1 \) подножје висине из темена \( A \). Правоугли троугао \( AA_1B \) има хипотенузу \( AB = c = 3\,\text{cm} \) и катету \( AA_1 = h_a = 2{,}5\,\text{cm} \), па се конструише. Затим теме \( C \) добијамо на правој \( BA_1 \) помоћу \( AC = b = 5\,\text{cm} \). Конструкција: нацртамо праву \( p \) и на њој тачку \( A_1 \); у \( A_1 \) подигнемо нормалу и на њој нанесемо \( A_1A = 2{,}5\,\text{cm} \); теме \( B \) је пресек \( k(A,\ 3\,\text{cm}) \) са правом \( p \), а теме \( C \) пресек \( k(A,\ 5\,\text{cm}) \) са правом \( p \). Дискусија: пошто је \( h_a = 2{,}5\,\text{cm} \) мање и од \( b \) и од \( c \), обе кружнице секу праву \( p \). Ако су \( B \) и \( C \) са разних страна тачке \( A_1 \), добија се троугао са \( a \approx 6\,\text{cm} \) (сви углови оштри); ако су са исте стране, добија се троугао са \( a \approx 2{,}7\,\text{cm} \) (угао код темена \( B \) је туп). Постоје дакле два неподударна решења.

г) \( b = 3\,\text{cm},\ h_b = 4\,\text{cm},\ h_c = 2{,}5\,\text{cm} \)

Анализа: нека је \( C_1 \) подножје висине из темена \( C \) на праву \( AB \). Правоугли троугао \( ACC_1 \) има хипотенузу \( AC = b = 3\,\text{cm} \) и катету \( CC_1 = h_c = 2{,}5\,\text{cm} \), па се одмах конструише; он нам даје теме \( A \), теме \( C \) и праву \( AB \). Преостаје још теме \( B \): оно лежи на правој \( AC_1 \) и удаљено је \( h_b = 4\,\text{cm} \) од праве \( AC \). Конструкција: нацртамо праву \( q \) и на њој тачку \( C_1 \); у \( C_1 \) подигнемо нормалу и нанесемо \( C_1C = 2{,}5\,\text{cm} \); теме \( A \) је пресек \( k(C,\ 3\,\text{cm}) \) са правом \( q \). Затим конструишемо праву паралелну са \( AC \) на растојању \( 4\,\text{cm} \); теме \( B \) је пресек те паралеле и праве \( q \). Дискусија: паралела са \( AC \) на растојању \( 4\,\text{cm} \) има две — по једна са сваке стране праве \( AC \) — и права \( q \) сече обе. Тако се добијају две могуће позиције темена \( B \), обе на растојању \( AB = 4{,}8\,\text{cm} \) од \( A \), али са разних страна тачке \( A \): ако је \( B \) са исте стране на којој је и \( C_1 \), угао \( \alpha \) је оштар и мерењем се добија \( a \approx 4\,\text{cm} \);
ако је \( B \) са супротне стране тачке \( A \), угао \( \alpha \) је туп и мерењем се добија \( a \approx 6{,}9\,\text{cm} \). Оба троугла имају \( b = 3\,\text{cm} \), \( h_b = 4\,\text{cm} \) и \( h_c = 2{,}5\,\text{cm} \), а нису подударна (треће странице су им различите), па задатак има два неподударна решења. Провера: из \( P = \dfrac{b \cdot h_b}{2} = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6\,\text{cm}^2 \) и \( P = \dfrac{c \cdot h_c}{2} \) следи \( c = \dfrac{2P}{h_c} = \dfrac{12}{2{,}5} = 4{,}8\,\text{cm} \), што важи за оба решења и слаже се са мерењем дужи \( AB \) на слици.

а) и б): пресек полуправе датог угла и паралеле на растојању висине — по једно решење. в) и г): прво правоугли троугао са висином као катетом, па преостало теме; и в) и г) имају по два неподударна решења (у г) је \( c = 4{,}8\,\text{cm} \)).