IV.8. Обим И Површина Многоугла

У сва три случаја испрекидана дијагонала дели петоугао на доњи четвороугао и горњи троугао, па је \[ P = P_{\text{четвороугла}} + P_{\text{троугла}}, \] а обим је збир дужина само страница петоугла (дијагонала се не рачуна у обим).

а)

Доњи део је правоугли трапез: основица \( 4\ \text{cm} \), усправне странице \( 2\ \text{cm} \) и \( 3\ \text{cm} \), прави углови у оба доња темена. Паралелне странице трапеза су баш те усправне странице \( 2\ \text{cm} \) и \( 3\ \text{cm} \), а висина му је доња основица \( 4\ \text{cm} \): \[ P_1 = \frac{(2 + 3) \cdot 4}{2} = 10\ \text{cm}^2. \] Дужину дијагонале \( d \) рачунамо Питагорином теоремом. Ако из врха краће усправне странице повучемо праву паралелну основици, добијамо правоугли троугао са катетама \( 4\ \text{cm} \) и \( 3 - 2 = 1\ \text{cm} \): \[ d = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}\ \text{cm}. \] Горњи троугао је једнакокраки (цртице) са углом при врху \( 60^\circ \). Углови на основици су тада \( \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \), па је троугао једнакостраничан странице \( d = \sqrt{17}\ \text{cm} \): \[ P_2 = \frac{d^2\sqrt{3}}{4} = \frac{17\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2. \] Дакле \[ O = 4 + 2 + 3 + 2\sqrt{17} = 9 + 2\sqrt{17} \approx 17,25\ \text{cm}, \] \[ P = 10 + \frac{17\sqrt{3}}{4} \approx 10 + 7,36 = 17,36\ \text{cm}^2. \]

б)

Доњи део је исти правоугли трапез, па је \( P_1 = 10\ \text{cm}^2 \) и \( d = \sqrt{17}\ \text{cm} \). Горњи троугао је једнакокрако-правоугли са правим углом при врху, а \( d \) му је хипотенуза. Ако је \( b \) његов крак, из Питагорине теореме следи \[ b^2 + b^2 = d^2 \ \Rightarrow\ 2b^2 = 17 \ \Rightarrow\ b = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}\ \text{cm}. \] Његова површина је \[ P_2 = \frac{b \cdot b}{2} = \frac{b^2}{2} = \frac{17}{2 \cdot 2} = \frac{17}{4} = 4,25\ \text{cm}^2. \] Дакле \[ O = 4 + 2 + 3 + 2 \cdot \frac{\sqrt{34}}{2} = 9 + \sqrt{34} \approx 14,83\ \text{cm}, \] \[ P = 10 + 4,25 = 14,25\ \text{cm}^2. \]

в)

Доњи део је једнакокраки трапез: краћа основица \( 4\ \text{cm} \), краци по \( 3\ \text{cm} \), а углови између основице и кракова су по \( 120^\circ \). Спустимо висину из врха левог крака на праву доње основице. Пошто је унутрашњи угао \( 120^\circ \), угао између крака и продужетка основице је \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \), па је добијени правоугли троугао половина једнакостраничног троугла странице \( 3\ \text{cm} \). Зато је \[ \text{хоризонтални помак} = \frac{3}{2} = 1,5\ \text{cm}, \qquad h = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}. \] Дужа основица (испрекидана дијагонала) је \[ d = 4 + 2 \cdot 1,5 = 7\ \text{cm}, \] па је \[ P_1 = \frac{(4 + 7)}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{33\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2. \] Горњи троугао је једнакокрако-правоугли са хипотенузом \( d = 7\ \text{cm} \). За крак \( b \) важи \( 2b^2 = 49 \), па је \( b = \frac{7\sqrt{2}}{2}\ \text{cm} \), а површина \[ P_2 = \frac{b^2}{2} = \frac{49}{4} = 12,25\ \text{cm}^2. \] Дакле \[ O = 4 + 3 + 3 + 2 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} = 10 + 7\sqrt{2} \approx 19,90\ \text{cm}, \] \[ P = \frac{33\sqrt{3}}{4} + \frac{49}{4} \approx 14,29 + 12,25 = 26,54\ \text{cm}^2. \]

Дијагонала дели петоугао на четвороугао и троугао; саберемо им површине, а у обим улазе само странице.
а) \( O = 9 + 2\sqrt{17} \approx 17,25\ \text{cm} \), \( P = 10 + \frac{17\sqrt{3}}{4} \approx 17,36\ \text{cm}^2 \);
б) \( O = 9 + \sqrt{34} \approx 14,83\ \text{cm} \), \( P = 14,25\ \text{cm}^2 \);
в) \( O = 10 + 7\sqrt{2} \approx 19,90\ \text{cm} \), \( P = \frac{33\sqrt{3}+49}{4} \approx 26,54\ \text{cm}^2 \).