IV.8. Обим И Површина Многоугла

Сваки од шестоуглова испрекиданим дужима је разложен на делове чије површине умемо да израчунамо. Обим је, као и увек, збир дужина само страница шестоугла.

а)

Испрекидана водоравна дијагонала дели шестоугао на доњи и горњи трапез. Доњи трапез: основица \( 4\ \text{cm} \), краци по \( 3\ \text{cm} \), углови уз основицу по \( 120^\circ \). Угао између крака и продужетка основице је \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \), па је правоугли троугао који добијамо спуштањем висине половина једнакостраничног троугла странице \( 3\ \text{cm} \): \[ \text{помак} = \frac{3}{2} = 1,5\ \text{cm}, \qquad h_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}. \] Дакле дијагонала је \( d = 4 + 2 \cdot 1,5 = 7\ \text{cm} \) и \[ P_1 = \frac{(4 + 7)}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{33\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2. \] Горњи трапез: паралелне странице су \( d = 7\ \text{cm} \) и \( 2\ \text{cm} \), а углови уз дужу основицу су по \( 45^\circ \). Хоризонтални помак са сваке стране је \[ \frac{7 - 2}{2} = 2,5\ \text{cm}, \] а како је угао \( 45^\circ \), правоугли троугао који настаје је једнакокраки, па је висина такође \[ h_2 = 2,5\ \text{cm}, \] а коси крак (страница шестоугла) је његова хипотенуза: \[ c = \sqrt{2,5^2 + 2,5^2} = 2,5\sqrt{2}\ \text{cm}. \] Површина горњег трапеза је \[ P_2 = \frac{(7 + 2)}{2} \cdot 2,5 = 11,25\ \text{cm}^2. \] Дакле \[ O = 2 + 2 \cdot 2,5\sqrt{2} + 3 + 4 + 3 = 12 + 5\sqrt{2} \approx 19,07\ \text{cm}, \] \[ P = \frac{33\sqrt{3}}{4} + 11,25 \approx 14,29 + 11,25 = 25,54\ \text{cm}^2. \]

б)

Двоструке цртице показују да су горња страница, доња страница и обе испрекидане усправне дужи једнаке, па је средњи део квадрат странице \( 3,5\ \text{cm} \): \[ P_{\text{кв}} = 3,5^2 = 12,25\ \text{cm}^2. \] Лево и десно су једнакокрако-правоугли троуглови којима је хипотенуза страница квадрата, дакле \( 3,5\ \text{cm} \). За крак \( b \) важи \[ 2b^2 = 3,5^2 = 12,25 \ \Rightarrow\ b^2 = 6,125 \ \Rightarrow\ b = \frac{3,5\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{4}\ \text{cm}, \] а површина сваког је \[ P_{\triangle} = \frac{b^2}{2} = \frac{6,125}{2} = 3,0625\ \text{cm}^2. \] Дакле \[ O = 2 \cdot 3,5 + 4 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{4} = 7 + 7\sqrt{2} \approx 16,90\ \text{cm}, \] \[ P = 12,25 + 2 \cdot 3,0625 = 12,25 + 6,125 = 18,375\ \text{cm}^2. \]

в)

Средњи део је правоугаоник (прави углови у сва четири темена). Десни троугао је правоугли са катетама \( 4\ \text{cm} \) и \( 3\ \text{cm} \), па је његова хипотенуза \[ \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm}. \] Та хипотенуза је баш усправна страница правоугаоника, а водоравна му је горња страница шестоугла, \( 3\ \text{cm} \). Зато је \[ P_{\text{правоуг}} = 3 \cdot 5 = 15\ \text{cm}^2, \qquad P_{\text{десни}\triangle} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\ \text{cm}^2. \] Леви троугао је једнакокрако-правоугли са хипотенузом \( 5\ \text{cm} \). За његов крак \( b \) важи \( 2b^2 = 25 \), одакле је \[ b = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \text{cm}, \qquad P_{\text{леви}\triangle} = \frac{b^2}{2} = \frac{25}{4} = 6,25\ \text{cm}^2. \] Дакле \[ O = 3 + 4 + 3 + 3 + 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = 13 + 5\sqrt{2} \approx 20,07\ \text{cm}, \] \[ P = 15 + 6 + 6,25 = 27,25\ \text{cm}^2. \]

Разложимо шестоугао испрекиданим дужима и саберемо површине делова.
а) \( O = 12 + 5\sqrt{2} \approx 19,07\ \text{cm} \), \( P = \frac{33\sqrt{3}}{4} + 11,25 \approx 25,54\ \text{cm}^2 \);
б) \( O = 7 + 7\sqrt{2} \approx 16,90\ \text{cm} \), \( P = 18,375\ \text{cm}^2 \);
в) \( O = 13 + 5\sqrt{2} \approx 20,07\ \text{cm} \), \( P = 27,25\ \text{cm}^2 \).