Најважније из лекције
Кружни исечак је део круга ограничен са два полупречника (\(r\)) и кружним луком (\(l\)) коме одговара централни угао (\(\alpha\)).
Дужина кружног лука: \(l = \frac{r \pi \alpha}{180^\circ}\)
Површина кружног исечка: \(P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ} = \frac{l \cdot r}{2}\)
Обим кружног исечка: \(O_i = 2r + l = 2r + \frac{r \pi \alpha}{180^\circ}\)
Дужина кружног лука: \(l = \frac{r \pi \alpha}{180^\circ}\)
Површина кружног исечка: \(P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ} = \frac{l \cdot r}{2}\)
Обим кружног исечка: \(O_i = 2r + l = 2r + \frac{r \pi \alpha}{180^\circ}\)
Кружни исечак је део круга ограничен са два полупречника и одговарајућим кружним луком.
Сваком кружном исечку одговара тачно један централни угао \(\alpha\) круга. Полупречник кружног исечка једнак је полупречнику круга (\(r\)).
\[ l = \frac{r \pi \alpha}{180^\circ} \]
\(l\) – дужина кружног лука, \(r\) – полупречник круга, \(\alpha\) – централни угао
Површина кружног исечка (\(P_i\)) представља део површине целог круга који одговара централном углу \(\alpha\) или луку дужине \(l\).
\[ P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ} \]
\[ P_i = \frac{l \cdot r}{2} \]
\(P_i\) – површина кружног исечка, \(r\) – полупречник, \(\alpha\) – централни угао, \(l\) – дужина кружног лука
Израчунај површину кружног исечка полупречника \(r = 4\text{ cm}\) са централним углом \(\alpha = 45^\circ\):
\[ P_i = \frac{4^2 \cdot \pi \cdot 45^\circ}{360^\circ} = \frac{16 \cdot \pi \cdot 1}{8} = 2\pi\text{ cm}^2 \]
Израчунај површину кружног исечка ако је дужина полупречника \(r = 8\text{ cm}\), а дужина кружног лука \(l = 3\pi\text{ cm}\).
Користимо формулу \(P_i = \frac{l \cdot r}{2}\):
\[ P_i = \frac{3\pi \cdot 8}{2} = 3\pi \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^2 \]
Обим кружног исечка (\(O_i\)) једнак је збиру дужина два полупречника и одговарајућег кружног лука.
\[ O_i = 2r + l = 2r + \frac{r \pi \alpha}{180^\circ} \]
\(O_i\) – обим кружног исечка, \(r\) – полупречник, \(l\) – дужина кружног лука
За кружни исечак полупречника \(r = 4\text{ cm}\) и централног угла \(\alpha = 45^\circ\):
\[ l = \frac{4 \cdot \pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \pi\text{ cm} \]
\[ O_i = 2 \cdot 4 + \pi = (8 + \pi)\text{ cm} \]
Израчунај обим кружног исечка ако је \(r = 5\text{ cm}\) и \(l = 4\pi\text{ cm}\).
\[ O_i = 2r + l = 2 \cdot 5 + 4\pi = (10 + 4\pi)\text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лаки: Израчунај површину и обим кружног исечка полупречника \(r = 6\text{ cm}\) чији је одговарајући кружни лук дужине \(l = 2\pi\text{ cm}\).
Површина:
\[ P_i = \frac{l \cdot r}{2} = \frac{2\pi \cdot 6}{2} = 6\pi\text{ cm}^2 \]
Обим:
\[ O_i = 2r + l = 2 \cdot 6 + 2\pi = (12 + 2\pi)\text{ cm} \]
Средњи: Израчунај површину кружног исечка полупречника \(r = 10\text{ cm}\) коме одговара централни угао \(\alpha = 72^\circ\).
Примењујемо формулу за површину преко централног угла:
\[ P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ} = \frac{10^2 \cdot \pi \cdot 72^\circ}{360^\circ} = \frac{100 \pi \cdot 1}{5} = 20\pi\text{ cm}^2 \]
Средњи: Површина кружног исечка је \(P_i = 12\pi\text{ cm}^2\), а централни угао је \(\alpha = 120^\circ\). Израчунај полупречник тог кружног исечка и његов обим.
1. Из формуле за површину одређујемо полупречник \(r\):
\[ P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ} \implies 12\pi = \frac{r^2 \pi \cdot 120^\circ}{360^\circ} \]
\[ 12\pi = \frac{r^2 \pi}{3} \implies r^2 = 36 \implies r = 6\text{ cm} \]
2. Одређујемо дужину кружног лука \(l\):
\[ l = \frac{r \pi \alpha}{180^\circ} = \frac{6 \cdot \pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = 4\pi\text{ cm} \]
3. Рачунамо обим:
\[ O_i = 2r + l = 2 \cdot 6 + 4\pi = (12 + 4\pi)\text{ cm} \]
Тешки: Обим кружног исечка је \(O_i = (12 + 3\pi)\text{ cm}\), а његов полупречник је \(r = 6\text{ cm}\). Израчунај површину тог кружног исечка и одговарајући централни угао \(\alpha\).
1. Из формуле за обим одређујемо дужину лука \(l\):
\[ O_i = 2r + l \implies 12 + 3\pi = 2 \cdot 6 + l \implies l = 3\pi\text{ cm} \]
2. Рачунамо површину исечка:
\[ P_i = \frac{l \cdot r}{2} = \frac{3\pi \cdot 6}{2} = 9\pi\text{ cm}^2 \]
3. Из дужине лука одређујемо централни угао \(\alpha\):
\[ l = \frac{r \pi \alpha}{180^\circ} \implies 3\pi = \frac{6 \pi \alpha}{180^\circ} \implies 3\pi = \frac{\pi \alpha}{30} \implies \alpha = 90^\circ \]
