V.7. Површина Кружног Исечка И Кружног Прстена

Заједничке припреме

Квадрат има страницу \( a = 4\ \text{cm} \), па је \[ P_{\text{кв}} = 4^2\ \text{cm}^2 = 16\ \text{cm}^2. \] Мрежа на слици показује да су сви лукови делови кругова полупречника \( 2\ \text{cm} \) (осим у делу ђ). Зато нам треба и: полукруг полупречника \( 2\ \text{cm} \): \( \dfrac{2^2\pi}{2} = 2\pi\ \text{cm}^2 \); четвртина круга полупречника \( 2\ \text{cm} \): \( \dfrac{2^2\pi}{4} = \pi\ \text{cm}^2 \).

а)

Над горњом и над доњом страницом као пречницима нацртани су полукругови полупречника \( 2\ \text{cm} \) (сваки допире до средишта квадрата) и они су бели. Осенчено је оно што остане: \[ P_{\text{а}} = 16 - 2\cdot 2\pi\ \text{cm}^2 = (16 - 4\pi)\ \text{cm}^2 \approx 3,43\ \text{cm}^2. \]

б)

Горња половина квадрата има површину \( 4\cdot 2 = 8\ \text{cm}^2 \); из ње је изузет полукруг полупречника \( 2\ \text{cm} \), па је обојено \( (8 - 2\pi)\ \text{cm}^2 \). Доња половина такође има \( 8\ \text{cm}^2 \); из ње су изузете две четвртине круга полупречника \( 2\ \text{cm} \) са центрима у доња два темена, тј. \( 2\pi\ \text{cm}^2 \). Остаје \( (8 - 2\pi)\ \text{cm}^2 \). \[ P_{\text{б}} = (8 - 2\pi) + (8 - 2\pi)\ \text{cm}^2 = (16 - 4\pi)\ \text{cm}^2 \approx 3,43\ \text{cm}^2. \]

в)

У сва четири темена нацртана је по једна четвртина круга полупречника \( 2\ \text{cm} \); заједно оне чине тачно један цео круг полупречника \( 2\ \text{cm} \), дакле \( 4\pi\ \text{cm}^2 \), и не преклапају се. Обојена звезда је остатак: \[ P_{\text{в}} = 16 - 4\pi\ \text{cm}^2 \approx 3,43\ \text{cm}^2. \] Дакле делови а), б) и в) имају једнаке површине.

г)

Поделимо квадрат на четири квадрата странице \( 2\ \text{cm} \) (сваки има површину \( 4\ \text{cm}^2 \)). У доњем левом квадрату обојена је четвртина круга уписаног у квадрат (центар у средишту квадрата, полупречник \( 2\ \text{cm} \)): \( \pi\ \text{cm}^2 \). У преостала три квадрата обојено је оно што остане ван четвртине круга са центром у темену великог квадрата: по \( (4 - \pi)\ \text{cm}^2 \). \[ P_{\text{г}} = \pi + 3(4 - \pi)\ \text{cm}^2 = (12 - 2\pi)\ \text{cm}^2 \approx 5,72\ \text{cm}^2. \]

д)

Опет посматрамо четири квадрата странице \( 2\ \text{cm} \). У доњем левом и у горњем десном обојена је четвртина уписаног круга: по \( \pi\ \text{cm}^2 \). У горњем левом и доњем десном обојен је остатак ван четвртине круга са центром у темену: по \( (4-\pi)\ \text{cm}^2 \). \[ P_{\text{д}} = 2\pi + 2(4 - \pi)\ \text{cm}^2 = (2\pi + 8 - 2\pi)\ \text{cm}^2 = 8\ \text{cm}^2. \] Провера: фигура је централно симетрична и делови са \( \pi \) се потиру, па је обојена тачно половина квадрата — \( 8\ \text{cm}^2 \).

ђ)

Овде су лукови четвртине кругова полупречника \( 4\ \text{cm} \) са центрима у два супротна темена квадрата; оба спајају друга два темена. Обојено „сочиво" је пресек два кружна исечка од по \( 90^\circ \). Четвртина круга полупречника \( 4\ \text{cm} \): \( \dfrac{4^2\pi}{4} = 4\pi\ \text{cm}^2 \). Она се састоји из правоуглог троугла са катетама \( 4\ \text{cm} \) (површине \( \dfrac{4\cdot 4}{2} = 8\ \text{cm}^2 \)) и кружног одсечка над дијагоналом, чија је површина \( (4\pi - 8)\ \text{cm}^2 \). Сочиво чине два таква одсечка (са обе стране дијагонале): \[ P_{\text{ђ}} = 2(4\pi - 8)\ \text{cm}^2 = (8\pi - 16)\ \text{cm}^2 \approx 9,13\ \text{cm}^2. \] Провера: \( 9,13\ \text{cm}^2 \) је мање од \( 16\ \text{cm}^2 \), а веће од половине квадрата — што одговара слици.

Сви лукови су делови кругова \( r = 2\ \text{cm} \) (у ђ) је \( r = 4\ \text{cm} \)). Одатле: а), б), в) \( 16-4\pi \); г) \( 12-2\pi \); д) \( 8 \); ђ) \( 8\pi-16 \) (у \( \text{cm}^2 \)).