Најважније из лекције
Пропорција дужи: \( a : b = c : d \iff ad = bc \). Самерљиве дужи имају рационалну размеру, а несамерљиве ирационалну (нпр. \( d/a = \sqrt{2} \)).
Талесова теорема: Паралелне праве деле трансверзале на пропорционалне одсечке: \( \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \). Користи се за конструктивну поделу дужи у размери \( m : n \) и налажење четврте пропорционале.
Сличност троуглова: \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \iff \) углови подударни и \( \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k \); обим: \( \frac{O_1}{O} = k \). Ставови сличности: УУ, СУС, ССС.
Метрички односи у правоуглом троуглу: \( h^2 = p \cdot q \), \( a^2 = q \cdot c \), \( b^2 = p \cdot c \).
Симетрала угла: Дели наспрамну страницу у размери суседних страница: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \).
Талесова теорема: Паралелне праве деле трансверзале на пропорционалне одсечке: \( \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \). Користи се за конструктивну поделу дужи у размери \( m : n \) и налажење четврте пропорционале.
Сличност троуглова: \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \iff \) углови подударни и \( \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k \); обим: \( \frac{O_1}{O} = k \). Ставови сличности: УУ, СУС, ССС.
Метрички односи у правоуглом троуглу: \( h^2 = p \cdot q \), \( a^2 = q \cdot c \), \( b^2 = p \cdot c \).
Симетрала угла: Дели наспрамну страницу у размери суседних страница: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \).
Размера две дужи је количник њихових мерних бројева измерених истом јединицом мере. Означава се са \( \frac{AB}{CD} \) или \( AB : CD \).
\[ \frac{AB}{CD} = k \quad (k \in \mathbb{R}^+) \]
Број \( k \) представља колико се пута дуж \( CD \) садржи у дужи \( AB \).
Самерљиве и несамерљиве дужи:
- Самерљиве дужи: њихова размера је рационалан број (\( \frac{m}{n} \), \( m, n \in \mathbb{N} \)). Постоји заједничка јединица мере таква да су мерни бројеви обе дужи цели бројеви.
- Несамерљиве дужи: њихова размера је ирационалан број. Не постоји заједничка јединица мере.
- Страница квадрата \( a \) и његова дијагонала \( d \) су несамерљиве, јер је \( \frac{d}{a} = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \).
- Висина \( h \) и страница \( a \) једнакостраничног троугла су несамерљиве, јер је \( \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \notin \mathbb{Q} \).
- Висина \( h \) и полупречник описане кружнице \( R \) једнакостраничног троугла су самерљиве, јер је \( \frac{R}{h} = \frac{2}{3} \in \mathbb{Q} \).
Четворочлана пропорција дужи: Дужи \( a, b, c, d \) су пропорционалне ако важи:
\[ a : b = c : d \iff a \cdot d = b \cdot c \]
(производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова).
Одредити дужину дужи \( AB \) ако је \( AB : CD = 3 : 5 \), а \( CD = 15\text{ cm} \).
Из пропорције имамо:
\[ \frac{AB}{15} = \frac{3}{5} \implies AB = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9\text{ cm} \]
Талесова теорема: Паралелне праве одсецају на двема произвољним правима (или крацима угла) пропорционалне дужи.
Ако су праве \( AA_1 \parallel BB_1 \) и секу краке угла са теменом у \( O \):
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \quad \text{и} \quad \frac{OA}{AB} = \frac{OA_1}{A_1B_1} \]
Да би се дуж \( AB \) поделила у размери \( m : n \) (\( m, n \in \mathbb{N} \)):
- Конструише се произвољна полуправа \( Ax \) која са \( AB \) образује оштар угао.
- На полуправу \( Ax \) се шестаром нанесе \( m + n \) једнаких одсечака: \( X_1, X_2, \dots, X_{m+n} \).
- Крајња тачка \( X_{m+n} \) споји се са тачком \( B \).
- Кроз тачку \( X_m \) повуче се права паралелна са дужи \( X_{m+n}B \). Пресек те праве са дужи \( AB \) је тражена тачка \( P \) за коју важи \( AP : PB = m : n \).
За дате дужи \( a, b, c \), тражи се дуж \( x \) таква да је \( a : b = c : x \):
- Конструише се произвољан угао са теменом \( O \).
- На један крак нанесу се дужи \( OA = a \) и \( OB = b \).
- На други крак нанесе се дуж \( OC = c \).
- Кроз тачку \( B \) конструише се права паралелна са правом \( AC \). Она сече други крак у тачки \( X \), тако да је \( OX = x \).
Краци угла пресечени су паралелним правима у тачкама \( A, B \) на једном краку и \( A_1, B_1 \) на другом. Ако је \( OA = 4\text{ cm} \), \( AB = 6\text{ cm} \) и \( OA_1 = 5\text{ cm} \), израчунати \( A_1B_1 \).
Према Талесовој теореми:
\[ \frac{OA}{AB} = \frac{OA_1}{A_1B_1} \implies \frac{4}{6} = \frac{5}{A_1B_1} \]
\[ 4 \cdot A_1B_1 = 30 \implies A_1B_1 = 7{,}5\text{ cm} \]
Два троугла су слична (ознака \( \sim \)) ако су углови једног троугла једнаки одговарајућим угловима другог троугла и ако су им одговарајуће странице пропорционалне.
\[ \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \iff \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k \]
Број \( k \) назива се коефицијент сличности. Размера обима два слична троугла једнака је коефицијенту сличности: \( \frac{O_1}{O} = k \).
При записивању сличности води се рачуна о редоследу темена: темена у којима су једнаки углови морају се налазити на одговарајућим местима.
Ставови сличности троуглова:
- Став УУ (угао–угао): Два троугла су слична ако су два угла једног троугла једнака одговарајућим двама угловима другог троугла.
- Став СУС (страница–угао–страница): Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог и ако су углови између тих страница једнаки.
- Став ССС (страница–страница–страница): Два троугла су слична ако су све три странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла.
Да ли су слични троуглови са страницама \( 3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 6\text{ cm} \) и \( 4{,}5\text{ cm}, 6\text{ cm}, 9\text{ cm} \)?
Проверавамо размере одговарајућих страница (од најмање до највеће):
\[ \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5, \quad \frac{6}{4} = 1{,}5, \quad \frac{9}{6} = 1{,}5 \]
Пошто су размере свих одговарајућих страница једнаке (\( k = 1{,}5 \)), према ставу ССС троуглови јесу слични.
Нека су у правоуглом троуглу \( a \) и \( b \) катете, \( c \) хипотенуза, \( h \) висина која одговара хипотенузи, а \( p \) и \( q \) одсечци које висина дели на хипотенузи (\( p + q = c \), где је \( p \) пројекција катете \( b \), а \( q \) пројекција катете \( a \)):
\[ h^2 = p \cdot q \]
\[ a^2 = q \cdot c \quad \text{и} \quad b^2 = p \cdot c \]
Сабирањем једнакости за катете добија се Питагорина теорема: \( a^2 + b^2 = qc + pc = (q + p)c = c^2 \).
Теорема о симетрали унутрашњег угла троугла:
Симетрала унутрашњег угла троугла дели наспрамну страницу на одсечке који су пропорционални другим двема страницама:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \]
У правоуглом троуглу одсечци које висина гради на хипотенузи износе \( p = 2\text{ cm} \) и \( q = 8\text{ cm} \). Израчунати дужину висине \( h \) и дужину катете \( a \).
Хипотенуза је \( c = p + q = 2 + 8 = 10\text{ cm} \).
Висина: \( h^2 = p \cdot q = 2 \cdot 8 = 16 \implies h = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \).
Катета \( a \): \( a^2 = q \cdot c = 8 \cdot 10 = 80 \implies a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\text{ cm} \).
Висина: \( h^2 = p \cdot q = 2 \cdot 8 = 16 \implies h = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \).
Катета \( a \): \( a^2 = q \cdot c = 8 \cdot 10 = 80 \implies a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Један правоугли троугао има оштар угао од \( 34^\circ \). Колики мора бити један од оштрих углова другог правоуглог троугла да би та два троугла била слична?
У сваком правоуглом троуглу збир оштрих углова је \( 90^\circ \).
Други оштар угао првог троугла износи: \[ 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \] Да би два правоугла троугла била слична према ставу УУ, други троугао мора имати један оштар угао од \( 34^\circ \) или од \( 56^\circ \).
Други оштар угао првог троугла износи: \[ 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \] Да би два правоугла троугла била слична према ставу УУ, други троугао мора имати један оштар угао од \( 34^\circ \) или од \( 56^\circ \).
Задатак 2 (средњи): Сенка штапа висине \( 1{,}2\text{ m} \) износи \( 0{,}9\text{ m} \). У истом тренутку, зграда поред њега баца сенку дужине \( 15\text{ m} \). Колика је висина зграде?
Сунчеви зраци падају под истим углом, па штап и зграда са својим сенкама формирају сличне правоугле троуглове:
\[ \frac{h_{\text{зграде}}}{h_{\text{штапа}}} = \frac{s_{\text{зграде}}}{s_{\text{штапа}}} \]
\[ \frac{x}{1{,}2} = \frac{15}{0{,}9} \]
\[ x = \frac{15 \cdot 1{,}2}{0{,}9} = \frac{18}{0{,}9} = 20\text{ m} \]
Одговор: Висина зграде је \( 20\text{ m} \).
Задатак 3 (средњи): Дужине страница троугла су \( 6\text{ cm} \), \( 9\text{ cm} \) и \( 12\text{ cm} \). Њему сличан троугао има обим \( 54\text{ cm} \). Одредити дужине страница сличног троугла.
Обим првог троугла је:
\[ O = 6 + 9 + 12 = 27\text{ cm} \]
Коефицијент сличности налазимо из размере обима:
\[ k = \frac{O_1}{O} = \frac{54}{27} = 2 \]
Све странице сличног троугла су 2 пута дуже од одговарајућих страница првог троугла:
\[ a_1 = 6 \cdot 2 = 12\text{ cm}, \quad b_1 = 9 \cdot 2 = 18\text{ cm}, \quad c_1 = 12 \cdot 2 = 24\text{ cm} \]
Задатак 4 (тежи): У трапезу \( ABCD \) основице су \( AB = 16\text{ cm} \) и \( CD = 6\text{ cm} \). Продужеци кракова \( AD \) и \( BC \) секу се у тачки \( E \). Ако је дужина крака \( BC = 5\text{ cm} \), одредити дужину дужи \( CE \).
Посматрамо троуглове \( \Delta CDE \) и \( \Delta ABE \). Пошто је \( CD \parallel AB \), углови су им једнаки, па је \( \Delta CDE \sim \Delta ABE \).
Важи пропорција страница: \[ \frac{CE}{BE} = \frac{CD}{AB} \] Како је \( BE = BC + CE = 5 + CE \), означавајући \( CE = x \), добијамо: \[ \frac{x}{5 + x} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \] \[ 8x = 3(5 + x) \] \[ 8x = 15 + 3x \implies 5x = 15 \implies x = 3\text{ cm} \] Одговор: Дужина дужи \( CE \) је \( 3\text{ cm} \).
Важи пропорција страница: \[ \frac{CE}{BE} = \frac{CD}{AB} \] Како је \( BE = BC + CE = 5 + CE \), означавајући \( CE = x \), добијамо: \[ \frac{x}{5 + x} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \] \[ 8x = 3(5 + x) \] \[ 8x = 15 + 3x \implies 5x = 15 \implies x = 3\text{ cm} \] Одговор: Дужина дужи \( CE \) је \( 3\text{ cm} \).
