Најважније из лекције
Разлагање силе: Замена једне силе њеним компонентама дуж два позната правца помоћу правила паралелограма: \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\).
Коса раван: Сила теже \(\vec{F}_g\) разлаже се на паралелну \(F_p\) (убрзава тело: \(F_p = m \cdot a\)) и нормалну компоненту \(F_n\) (притиска подлогу: \(N = F_n\)).
Карактеристични углови:
Коса раван: Сила теже \(\vec{F}_g\) разлаже се на паралелну \(F_p\) (убрзава тело: \(F_p = m \cdot a\)) и нормалну компоненту \(F_n\) (притиска подлогу: \(N = F_n\)).
Карактеристични углови:
- За \(30^\circ\): \(F_p = \frac{F_g}{2}\), \(F_n = \frac{F_g\sqrt{3}}{2}\)
- За \(60^\circ\): \(F_p = \frac{F_g\sqrt{3}}{2}\), \(F_n = \frac{F_g}{2}\)
- За \(45^\circ\): \(F_p = F_n = \frac{F_g}{\sqrt{2}} \approx \frac{F_g}{1{,}41}\)
Разлагање силе је поступак којим се једна сила замењује са две или више њених компонената тако да је њихово заједничко дејство на тело једнако дејству почетне силе.
Да би се сила једнозначно разложила, неопходно је унапред знати правце на које се сила разлаже.
Кроз нападну тачку силе \(\vec{F}\) повуку се два задата правца (праве \(p\) и \(n\)).
Кроз врх (стрелицу) вектора силе \(\vec{F}\) конструишу се помоћне праве које су паралелне задатим правцима \(p\) и \(n\).
Пресечне тачке помоћних паралелних права са задатим правцима одређују крајеве вектора компонената \(\vec{F}_p\) и \(\vec{F}_n\).
\[ \vec{F} = \vec{F}_p + \vec{F}_n \]
Слагањем компонената увек се поново добија полазна сила.
Ако су познате компоненте \(\vec{F}_1\) и \(\vec{F}_2\) неке силе, како се може проверити да ли је разлагање правилно извршено?
Разлагање је правилно ако се векторским сабирањем (слагањем по правилу паралелограма) компонената \(\vec{F}_1\) и \(\vec{F}_2\) добија управо почетни вектор силе \(\vec{F}\).
Када се тело налази на стрмој (косој) равни нагибног угла \(\alpha\), сила теже \(\vec{F}_g\) усмерена је вертикално наниже и разлаже се на два међусобно нормална правца:
- Паралелна компонента (\(\vec{F}_p\)): делује у правцу равни и вуче тело низбрдо дајући му убрзање:
\[ F_p = m \cdot a \]
- Нормална компонента (\(\vec{F}_n\)): делује нормално на површину косе равни и притиска подлогу. Подлога одговара силом реакције \(\vec{N}\) истог интензитета, а супротног смера:
\[ N = F_n \]
Угао између правца силе теже \(\vec{F}_g\) и нормалне компоненте \(\vec{F}_n\) једнак је углу нагиба косе равни \(\alpha\).
Зашто је убрзање тела које се креће низ глатку косу раван мање од убрзања слободног пада (\(g \approx 9{,}8\text{ m/s}^2\))?
Тело низ косу раван не покреће укупна сила теже \(F_g\), већ само њена паралелна компонента \(F_p\). Како је интензитет компоненте \(F_p\) мањи од укупне силе теже \(F_g\), и убрзање тела \(a = \frac{F_p}{m}\) је мање од убрзања слободног пада \(g\).
Интензитети паралелне и нормалне компоненте одређују се помоћу особина геометријских слика (једнакостраничног троугла и квадрата):
| Угао косе равни (\(\alpha\)) | Паралелна компонента (\(F_p\)) | Нормална компонента (\(F_n\)) | Геометријска основа |
|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \[ F_p = \frac{F_g}{2} \] | \[ F_n = \frac{F_g\sqrt{3}}{2} \] | \(F_p\) је половина странице једнакостраничног троугла, а \(F_n\) његова висина. |
| \(60^\circ\) | \[ F_p = \frac{F_g\sqrt{3}}{2} \] | \[ F_n = \frac{F_g}{2} \] | Улоге се мењају: \(F_p\) постаје висина, а \(F_n\) половина странице. |
| \(45^\circ\) | \[ F_p = \frac{F_g}{\sqrt{2}} \approx \frac{F_g}{1{,}41} \] | \[ F_n = \frac{F_g}{\sqrt{2}} \approx \frac{F_g}{1{,}41} \] | Компоненте су странице квадрата чија је дијагонала сила \(F_g\). |
Кофер масе се вуче за ручку силом \(F = 10\text{ N}\) под углом од \(60^\circ\) према хоризонталном поду.
Вредност хоризонталне компоненте која вуче кофер напред одговара половини странице једнакостраничног троугла:
\[ F_p = \frac{F}{2} = \frac{10\text{ N}}{2} = 5\text{ N} \]
Колика је нормална компонента силе теже за тело тежине \(F_g = 100\text{ N}\) на равни нагиба \(60^\circ\)?
За угао од \(60^\circ\), нормална компонента износи:
\[ F_n = \frac{F_g}{2} = \frac{100\text{ N}}{2} = 50\text{ N} \]
Када се тело креће низ стрму раван константном брзином (\(v = \text{const}\)), његово убрзање је нула (\(a = 0\)). Према Првом Њутновом закону, резултујућа сила мора бити једнака нули:
\[ \vec{F}_R = \vec{F}_p + \vec{F}_{tr} = 0 \implies F_{tr} = F_p \]
Интензитет силе трења једнак је интензитету паралелне компоненте силе теже.
Пошто је сила трења сразмерна сили којом тело притиска подлогу (\(F_{tr} = \mu \cdot N\)), а реакција подлоге је \(N = F_n\), следи:
\[ \mu \cdot F_n = F_p \implies \mu = \frac{F_p}{F_n} = \frac{h}{l} \]
где је \(h\) висина косе равни, а \(l\) дужина њене хоризонталне пројекције (основице).
Тело клизи равномерно низ даску дужине основице \(l = 80\text{ cm}\) и висине \(h = 20\text{ cm}\). Колики је коефицијент трења клизања?
При равномерном кретању низ косу раван важи:
\[ \mu = \frac{h}{l} = \frac{20\text{ cm}}{80\text{ cm}} = 0{,}25 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело масе \(m = 4\text{ kg}\) налази се на косој равни нагибног угла \(30^\circ\). Одреди интензитет паралелне компоненте силе теже која вуче тело низ раван (\(g = 9{,}8\text{ m/s}^2\)).
Прво одређујемо укупну силу теже:
\[ F_g = m \cdot g = 4\text{ kg} \cdot 9{,}8\text{ m/s}^2 = 39{,}2\text{ N} \]
За нагиб од \(30^\circ\), паралелна компонента је половина укупне силе теже:
\[ F_p = \frac{F_g}{2} = \frac{39{,}2\text{ N}}{2} = 19{,}6\text{ N} \]
Одговор: Паралелна компонента силе теже износи \(19{,}6\text{ N}\).
Задатак 2 (средњи): Сајла крана подиже терет под углом од \(45^\circ\) у односу на тло, затежући га силом \(F = 1410\text{ N}\). Одреди вертикалну силу којом кран подиже терет и хоризонталну силу којом га повлачи у страну (\(\sqrt{2} \approx 1{,}41\)).
Када је угао \(45^\circ\), компоненте представљају странице квадрата чија је дијагонала сила \(F\):
\[ F_p = F_n = \frac{F}{\sqrt{2}} \approx \frac{1410\text{ N}}{1{,}41} = 1000\text{ N} \]
Одговор: Вертикална и хоризонтална компонента су једнаке и свака износи \(1000\text{ N}\).
Задатак 3 (средњи): Тело масе \(0{,}5\text{ kg}\) креће се низ косу раван нагиба \(60^\circ\) без трења. Израчунај силу која га убрзава низ раван и колико износи то убрзање (\(g = 9{,}8\text{ m/s}^2\), \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)).
1. Рачунамо силу теже:
\[ F_g = m \cdot g = 0{,}5\text{ kg} \cdot 9{,}8\text{ m/s}^2 = 4{,}9\text{ N} \]
2. За угао од \(60^\circ\), убрзавајућа компонента је \(F_p\):
\[ F_p = \frac{F_g\sqrt{3}}{2} = \frac{4{,}9\text{ N} \cdot 1{,}73}{2} = \frac{8{,}477}{2} \approx 4{,}24\text{ N} \]
3. Убрзање тела према Другом Њутновом закону износи:
\[ a = \frac{F_p}{m} = \frac{4{,}24\text{ N}}{0{,}5\text{ kg}} \approx 8{,}48\text{ m/s}^2 \]
Одговор: Вучна компонента износи приближно \(4{,}24\text{ N}\), а убрзање \(8{,}48\text{ m/s}^2\).
Задатак 4 (тежак): Сандук масе \(m = 10\text{ kg}\) клизи низ косу раван нагибног угла \(30^\circ\) константном брзином. Колики је коефицијент трења између сандука и равни? Узети \(g = 9{,}8\text{ m/s}^2\) и \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).
Пошто се сандук креће сталном брзином, сила трења је једнака паралелној компоненти силе теже:
\[ F_{tr} = F_p = \frac{F_g}{2} \]
Нормална реакција подлоге једнака је нормалној компоненти:
\[ N = F_n = \frac{F_g\sqrt{3}}{2} \]
Коефицијент трења се израчунава преко односа компонената:
\[ \mu = \frac{F_p}{F_n} = \frac{\frac{F_g}{2}}{\frac{F_g\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1}{1{,}73} \approx 0{,}58 \]
Примећује се да коефицијент трења не зависи од масе тела нити од вредности \(g\), већ искључиво од угла нагиба равни.
Одговор: Коефицијент трења износи приближно \(0{,}58\).
Одговор: Коефицијент трења износи приближно \(0{,}58\).
