Најважније из лекције
Декадне јединице: \( 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000, 1\,000\,000 \dots \) Свака наредна је 10 пута већа од претходне.
Класе и месне вредности: Бројеви се деле здесна налево на класе од три цифре (класа јединица, хиљада, милиона, милијарди). Месна вредност зависи од позиције цифре (ј, д, с, јх, дх, сх, јм...).
Развијени запис: Приказивање броја као збира производа цифара и декадних јединица (нпр. \( 4\,250 = 4 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 5 \cdot 10 \)).
Скуп природних бројева: \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3 \dots\} \) је бесконачан и уређен; \( 0 \notin \mathbb{N} \), али \( 0 \in \mathbb{N}_0 \). Сваки број \( n \) има следбеника \( n+1 \), а сваки осим 1 има претходника \( n-1 \).
Број бројева између \( m \) и \( n \): Рачуна се помоћу \( (n - m) - 1 \).
Класе и месне вредности: Бројеви се деле здесна налево на класе од три цифре (класа јединица, хиљада, милиона, милијарди). Месна вредност зависи од позиције цифре (ј, д, с, јх, дх, сх, јм...).
Развијени запис: Приказивање броја као збира производа цифара и декадних јединица (нпр. \( 4\,250 = 4 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 5 \cdot 10 \)).
Скуп природних бројева: \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3 \dots\} \) је бесконачан и уређен; \( 0 \notin \mathbb{N} \), али \( 0 \in \mathbb{N}_0 \). Сваки број \( n \) има следбеника \( n+1 \), а сваки осим 1 има претходника \( n-1 \).
Број бројева између \( m \) и \( n \): Рачуна се помоћу \( (n - m) - 1 \).
Декадне јединице су бројеви састављени од цифре 1 и одређеног броја нула:
\[ 1, \, 10, \, 100, \, 1\,000, \, 10\,000, \, 100\,000, \, 1\,000\,000, \, 1\,000\,000\,000 \dots \]
Свака наредна декадна јединица је 10 пута већа од претходне.
Вишеструке декадне јединице настају множењем једноцифреног броја декадном јединицом (нпр. \( 500\,000 = 5 \cdot 100\,000 \)).
Ради лакшег читања и записивања, вишецифрени бројеви се здесна налево деле на класе од по три цифре:
| Класа милијарди | Класа милиона | Класа хиљада | Класа јединица | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| с | д | ј | с | д | ј | с | д | ј | с | д | ј |
| - | - | 1 | 3 | 9 | 2 | 6 | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Свака класа чита се као засебан троцифрени број уз изговарање назива класе, осим за класу јединица (њено име се не изговара). Ако су све три цифре у класи нуле, та класа се прескаче при читању.
Број \( 1\,392\,690\,000 \) се чита: једна милијарда триста деведесет два милиона шестсто деведесет хиљада.
Декадне јединице се користе за претварање мера:
\[ 1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m} \qquad 1 \text{ t} = 1\,000 \text{ kg} \]
Ознаке месних вредности:
ј – јединице, д – десетице, с – стотине
јх – јединице хиљада, дх – десетице хиљада, сх – стотине хиљада
јм – јединице милиона, дм – десетице милиона, см – стотине милиона
ј – јединице, д – десетице, с – стотине
јх – јединице хиљада, дх – десетице хиљада, сх – стотине хиљада
јм – јединице милиона, дм – десетице милиона, см – стотине милиона
Вредност цифре зависи од њене позиције (места) у броју. Сваки број се може приказати у развијеном облику (као збир производа једноцифрених бројева и одговарајућих декадних јединица).
\[ 53\,846 = 5 \cdot 10\,000 + 3 \cdot 1\,000 + 8 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 6 \cdot 1 \]
Ако је нека цифра 0, одговарајући сабирак се у развијеном запису изоставља.
Одређивање укупног броја декадних јединица садржаних у броју:
Изостављањем онолико цифара с десне стране колико декадна јединица има нула добија се укупан број тих јединица.
На примеру броја \( 35\,125 \):
Изостављањем онолико цифара с десне стране колико декадна јединица има нула добија се укупан број тих јединица.
На примеру броја \( 35\,125 \):
- Број хиљада (\(1\,000\) има 3 нуле): изоставимо 3 цифре \(\rightarrow\) \(35\) хиљада
- Број стотина (\(100\) има 2 нуле): изоставимо 2 цифре \(\rightarrow\) \(351\) стотина
- Број десетица (\(10\) има 1 нулу): изоставимо 1 цифру \(\rightarrow\) \(3\,512\) десетица
Правила за упоређивање природних бројева:
- Различит број цифара: Већи је онај број који има више цифара (нпр. \( 12\,300 > 9\,990 \)).
- Исти број цифара: Пореде се цифре на истим месним местима слева надесно, почевши од највеће вредности (нпр. \( 4\,853 < 4\,912 \) јер је \( 8 < 9 \) на месту стотина).
Цифре се поређају у опадајућем редоследу (од највеће ка најмањој).
Цифре се поређају у растућем редоследу (од најмање ка највећој), при чему цифра \( 0 \) не сме бити на првом месту.
Палиндроми су бројеви који се читају исто са обе стране (слева надесно и здесна налево), на пример \( 525\,525 \).
\[ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, n, \dots\} \]
\[ \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots, n, \dots\} \]
Број \( 0 \) не припада скупу природних бројева \( \mathbb{N} \). Он припада скупу \( \mathbb{N}_0 \).
Основна својства скупа \( \mathbb{N} \):
- Најмањи природан број је \( 1 \). Највећи природан број не постоји (скуп је бесконачан).
- Сваки природан број \( n \) има свог непосредног следбеника (\( n + 1 \)).
- Сваки природан број осим броја \( 1 \) има свог непосредног претходника (\( n - 1 \)) у скупу \( \mathbb{N} \).
- Скуп \( \mathbb{N} \) је уређен скуп јер за било која два различита броја \( a \) и \( b \) важи \( a < b \) или \( a > b \).
- Бројеви између којих нема других природних бројева су узастопни brojevi (њихова разлика је увек \( 1 \)).
Број природних бројева који се налазе између два дата броја \( m \) и \( n \) (\( n > m \)) рачуна се по формули:
\[ (n - m) - 1 \]
Бројевна полуправа: Полуправа са почетном тачком \( O(0) \) и одређеном јединичном дужи. Сваком природном броју одговара једна тачка. Вредности расту слева надесно.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво):
а) Запишите број седамсто четири хиљаде двадесет осам помоћу цифара.
б) Одредите његовог непосредног претходника и непосредног следбеника.
а) Запишите број седамсто четири хиљаде двадесет осам помоћу цифара.
б) Одредите његовог непосредног претходника и непосредног следбеника.
а) Број записан цифрама: \( 704\,028 \).
б) Претходник: \( 704\,028 - 1 = 704\,027 \).
Следбеник: \( 704\,028 + 1 = 704\,029 \).
б) Претходник: \( 704\,028 - 1 = 704\,027 \).
Следбеник: \( 704\,028 + 1 = 704\,029 \).
Задатак 2 (Средњи ниво):
Дат је број \( 684\,215 \).
а) Запишите тај број као збир производа једноцифрених бројева и декадних јединица.
б) Колико у овом броју има укупно хиљада, а колико укупно десетица?
Дат је број \( 684\,215 \).
а) Запишите тај број као збир производа једноцифрених бројева и декадних јединица.
б) Колико у овом броју има укупно хиљада, а колико укупно десетица?
а) \( 684\,215 = 6 \cdot 100\,000 + 8 \cdot 10\,000 + 4 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 1 \)
б) Изостављањем три последње цифре добија се да број садржи укупно 684 хиљаде.
Изостављањем једне последње цифре добија се да број садржи укупно 68 421 десетицу.
б) Изостављањем три последње цифре добија се да број садржи укупно 684 хиљаде.
Изостављањем једне последње цифре добија се да број садржи укупно 68 421 десетицу.
Задатак 3 (Средњи ниво):
Колико природних бројева се налази између бројева \( 1\,998 \) и \( 2\,024 \)?
Колико природних бројева се налази између бројева \( 1\,998 \) и \( 2\,024 \)?
Користимо формулу за број бројева између \( m \) и \( n \):
\[ (n - m) - 1 \]
\[ (2\,024 - 1\,998) - 1 = 26 - 1 = 25 \]
Одговор: Између ових бројева налази се 25 природних бројева.
Задатак 4 (Напредни ниво):
Користећи цифре \( 0, 4, 7, 2, 9, 1 \) (сваку тачно једном):
а) Саставите највећи могући шестоцифрени број.
б) Саставите најмањи могући шестоцифрени паран број.
Користећи цифре \( 0, 4, 7, 2, 9, 1 \) (сваку тачно једном):
а) Саставите највећи могући шестоцифрени број.
б) Саставите најмањи могући шестоцифрени паран број.
а) За највећи број ређамо цифре од највеће ка најмањој: \( 974\,210 \).
б) За најмањи број цифре ређамо од најмање ка највећој, али број мора бити паран (последња цифра мора бити 0, 2 или 4), а прва цифра не сме бити 0.
Најмања почетна цифра је 1. Највећу доступну парну цифру стављамо на крај (\( 4 \)), а остале ређамо у растућем редоследу: \( 102\,794 \) (или ако на крај ставимо 2: \( 104\,792 \); број \( 102\,794 \) је мањи).
Одговор: Најмањи паран број је \( 102\,794 \).
б) За најмањи број цифре ређамо од најмање ка највећој, али број мора бити паран (последња цифра мора бити 0, 2 или 4), а прва цифра не сме бити 0.
Најмања почетна цифра је 1. Највећу доступну парну цифру стављамо на крај (\( 4 \)), а остале ређамо у растућем редоследу: \( 102\,794 \) (или ако на крај ставимо 2: \( 104\,792 \); број \( 102\,794 \) је мањи).
Одговор: Најмањи паран број је \( 102\,794 \).
