Најважније из лекције
Прости и сложени изрази: Прости садрже једну операцију (\( a + b \)), а сложени више операција (\( (a + b) - c \)).
Редослед операција: Заграде имају предност; без заграда операције истог приоритета извршавају се слева надесно.
Груписање чланова: Олакшава рачунање коришћењем особина сабирања и одузимања, нпр. \( x - a - b = x - (a + b) \).
Изрази с променљивом: Вредност се добија уврштавањем датог броја уместо слова, нпр. за \( a = 10 \), израз \( a + 90 = 10 + 90 = 100 \).
Текстуални задаци: Речи попут збир, разлика, умањеник и сабирак преводе се у одговарајуће заграде и математичке знаке пре израчунавања.
Редослед операција: Заграде имају предност; без заграда операције истог приоритета извршавају се слева надесно.
Груписање чланова: Олакшава рачунање коришћењем особина сабирања и одузимања, нпр. \( x - a - b = x - (a + b) \).
Изрази с променљивом: Вредност се добија уврштавањем датог броја уместо слова, нпр. за \( a = 10 \), израз \( a + 90 = 10 + 90 = 100 \).
Текстуални задаци: Речи попут збир, разлика, умањеник и сабирак преводе се у одговарајуће заграде и математичке знаке пре израчунавања.
Прости бројевни изрази су математички изрази у којима се јавља само једна рачунска операција.
Сложени бројевни изрази су математички изрази у којима се јавља више рачунских операција.
Вредност бројевног израза је коначан резултат израчунавања тог израза.
- Прост бројевни израз: \( 11\,995 + 5 = 12\,000 \)
- Сложен бројевни израз: \( (11\,995 + 5) - (10\,100 - 89) = 12\,000 - 10\,011 = 1\,989 \)
Одреди вредност простог израза \( 9\,049 - 2\,500 \).
\( 9\,049 - 2\,500 = 6\,549 \)
Вредност израза: \( 6\,549 \).
Вредност израза: \( 6\,549 \).
Изрази без заграда: Када израз садржи само операције истог приоритета (сабирање и одузимање), рачуна се редом слева надесно.
\[ 94\,000 - 14\,000 + 8\,000 - 9\,000 = 80\,000 + 8\,000 - 9\,000 = 88\,000 - 9\,000 = 79\,000 \]
Изрази са заградама: Прво се израчунавају вредности унутар заграда, а затим се преостале операције извршавају по редоследу слева надесно.
\[ 94\,000 - (14\,000 + 8\,000) - 9\,000 = 94\,000 - 22\,000 - 9\,000 = 72\,000 - 9\,000 = 63\,000 \]
Коришћењем својстава сабирања (комутативност и асоцијативност), чланови се могу груписати ради лакшег рачунања:
- Груписање сабирака до пуних десетица или хиљада: \[ x + 550 + 450 - 99 = x + (550 + 450) - 99 = x + 1\,000 - 99 \]
- Узастопно одузимање бројева једнако је одузимању њиховог збира: \[ x - 720 - 280 = x - (720 + 280) = x - 1\,000 \]
Израчунај на најлакши начин: \( 7\,500 + 1\,700 - 900 + 99 \).
Можемо прво одузети бројеве \( 1\,700 - 900 \):
\[ 7\,500 + (1\,700 - 900) + 99 = 7\,500 + 800 + 99 = 8\,300 + 99 = 8\,399 \]
Израз с променљивом је математички израз који поред бројева и рачунских операција садржи и слово (променљиву: \( a, b, x, m, \dots \)) које замењује неки број.
Вредност израза с променљивом се израчунава тако што се уместо променљиве уврсти дата бројна вредност, а затим изврше све операције поштујући редослед.
Израчунајмо вредност израза \( (a + 9\,987) + (20\,500 - 5\,700) \) за \( a = 1\,013 \):
\[ (1\,013 + 9\,987) + (20\,500 - 5\,700) = 11\,000 + 14\,800 = 25\,800 \]
Ако је унапред позната вредност збира две променљиве (нпр. \( a + c = 2\,020 \)), чланове групујемо тако да директно заменимо њихов збир:
\[ a + 998 + c - 9 = (a + c) + 998 - 9 = 2\,020 + 998 - 9 = 3\,018 - 9 = 3\,009 \]
Израчунај вредност израза \( (11\,295 + m) - (1\,485 + m) \) за \( m = 205 \).
Уврштавамо \( m = 205 \):
\[ (11\,295 + 205) - (1\,485 + 205) = 11\,500 - 1\,690 = 9\,810 \]
Превођење текстуалног описа у математички израз захтева тачно препознавање основних математичких појмова:
| Математички појам | Значење | Облик записа |
|---|---|---|
| Збир | Резултат сабирања | \( a + b \) |
| Разлика | Резултат одузимања | \( a - b \) |
| Сабирци | Бројеви или изрази који се сабирају | \( \text{први сабирак} + \text{други сабирак} \) |
| Умањеник и умањилац | Број од ког се одузима (умањеник) и број који се одузима (умањилац) | \( \text{умањеник} - \text{умањилац} \) |
- Први сабирак је разлика бројева \( 209\,997 \) и \( 5\,009 \), а други сабирак је збир бројева \( 72\,000 \) и \( 23\,050 \): \[ (209\,997 - 5\,009) + (72\,000 + 23\,050) \]
- Умањеник је збир бројева \( 74\,198 \) и \( a \), а умањилац је разлика бројева \( 53\,102 \) и \( a \): \[ (74\,198 + a) - (53\,102 - a) \]
Запиши израз: Од збира бројева \( 45\,000 \) и \( 12\,300 \) одузми разлику бројева \( 18\,500 \) и \( 3\,200 \).
Умањеник је збир \( (45\,000 + 12\,300) \), а умањилац разлика \( (18\,500 - 3\,200) \):
\[ (45\,000 + 12\,300) - (18\,500 - 3\,200) \]
- Анализа података: Пажљиво прочитај задатак и издвој познате и непознате величине (често из табела или графикона).
- Усаглашавање мерних јединица: Пре рачунања све величине претвори у исту мерну јединицу (нпр. \( 1\text{ kg} = 1\,000\text{ g} \)).
- Постављање бројевног израза: Запиши све операције помоћу једног сложеног израза са заградама.
- Израчунавање и одговор: Израчунај вредност израза и формулиши коначан одговор.
Купац плаћа новчаницом од \( 5\,000 \) динара три артикла чије су цене \( 1\,258 \), \( 845 \) и \( 99 \) динара.
Износ кусура се рачуна изразом: \[ 5\,000 - (1\,258 + 845 + 99) = 5\,000 - 2\,202 = 2\,798\text{ динара} \]
Износ кусура се рачуна изразом: \[ 5\,000 - (1\,258 + 845 + 99) = 5\,000 - 2\,202 = 2\,798\text{ динара} \]
Река Дунав је дуга \( 2\,857\text{ km} \), што је за \( 3\,793\text{ km} \) мање од дужине реке Нил. Колико је дуга река Нил?
Пошто је Дунав краћи од Нила за \( 3\,793\text{ km} \), Нил је дужи за толико:
\[ 2\,857 + 3\,793 = 6\,650\text{ km} \]
Одговор: Река Нил је дуга \( 6\,650\text{ km} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност сложеног бројевног израза:
\[ (18\,897 + 1\,103) - (2\,500 + 9\,999) \]
Прво израчунавамо вредности у заградама:
1. \( 18\,897 + 1\,103 = 20\,000 \)
2. \( 2\,500 + 9\,999 = 12\,499 \)
Затим одузимамо добијене вредности: \[ 20\,000 - 12\,499 = 7\,501 \] Вредност израза је: \( 7\,501 \).
1. \( 18\,897 + 1\,103 = 20\,000 \)
2. \( 2\,500 + 9\,999 = 12\,499 \)
Затим одузимамо добијене вредности: \[ 20\,000 - 12\,499 = 7\,501 \] Вредност израза је: \( 7\,501 \).
Задатак 2 (средњи): Састави израз с променљивом према тексту: „Збир бројева \( 98\,798 \) и \( a \) умањи за разлику бројева \( 39\,202 \) и \( a \)“, а затим израчунај његову вредност за \( a = 202 \).
Постављање израза:
\[ (98\,798 + a) - (39\,202 - a) \]
Замена вредности \( a = 202 \):
\[ (98\,798 + 202) - (39\,202 - 202) = 99\,000 - 39\,000 = 60\,000 \]
Задатак 3 (средњи): Ако је познато да је \( a + c = 5\,400 \), израчунај вредност израза:
\[ a + 1\,250 + c - 650 \]
Групишемо променљиве чији збир знамо:
\[ (a + c) + 1\,250 - 650 \]
Уместо \( (a + c) \) уписујемо \( 5\,400 \):
\[ 5\,400 + 1\,250 - 650 = 6\,650 - 650 = 6\,000 \]
Задатак 4 (тежак): Дозвољена маса бесплатног авионског пртљага је \( 23\text{ kg} \). Ана је спаковала кофер масе \( 3\text{ kg } 300\text{ g} \), гардеробу масе \( 15\text{ kg} \), папуче масе \( 500\text{ g} \) и козметику масе \( 1\text{ kg } 800\text{ g} \). Састави бројевни израз и израчунај колико још грама ствари Ана може да спакује.
1. Претварање свих маса у граме:
- Дозвољена маса: \( 23\text{ kg} = 23\,000\text{ g} \)
- Кофер: \( 3\text{ kg } 300\text{ g} = 3\,300\text{ g} \)
- Гардероба: \( 15\text{ kg} = 15\,000\text{ g} \)
- Папуче: \( 500\text{ g} \)
- Козметика: \( 1\text{ kg } 800\text{ g} = 1\,800\text{ g} \)
