Најважније из лекције
Кључне стратегије решавања текстуалних задатака:
- Збир и разлика: \(\text{мањи број} = (\text{збир} - \text{разлика}) : 2\). Већи број је \(\text{мањи} + \text{разлика}\).
- Узастопни бројеви: Одузети збир разлика (\(1 + 2 + \dots\)) од укупног збира, па поделити бројем сабирака.
- Однос и делови: Представити најмању величину као \(1\) део, одредити укупан број делова или разлику делова и израчунати вредност једног дела.
- Гаусов збир: Збир низа од \(1\) до \(n\) рачуна се спајањем у парове: \((\text{број парова}) \cdot (\text{збир пара})\), односно \(\frac{n \cdot (n + 1)}{2}\).
- Делимични збирови: Одузимањем збира два елемента од укупног збира три елемента директно се налази трећи непознати елемент.
Када су познати збир и разлика два непозната броја, задатак се наједноставније решава графичким приказом помоћу дужи. Мањи број представљамо једном дужи, а већи број дужи која садржи мањи број и део који одговара њиховој разлици.
Од укупног збира одузмемо разлику. Тако уклањамо вишак и добијамо збир две једнаке дужи (двоструки мањи број):
\[ 2 \cdot \text{мањи број} = \text{збир} - \text{разлика} \]
Добијени резултат поделимо са 2 и тако израчунамо мањи број:
\[ \text{мањи број} = (\text{збир} - \text{разлика}) : 2 \]
Већи број добијамо тако што мањем броју додамо разлику:
\[ \text{већи број} = \text{мањи број} + \text{разлика} \]
Збир два броја је \(2\,021\), а њихова разлика је \(589\).
1. Изједначавање дужи: \(2\,021 - 589 = 1\,432\)
2. Мањи број: \(1\,432 : 2 = 716\)
3. Већи број: \(716 + 589 = 1\,305\)
Провера: \(716 + 1\,305 = 2\,021\).
1. Изједначавање дужи: \(2\,021 - 589 = 1\,432\)
2. Мањи број: \(1\,432 : 2 = 716\)
3. Већи број: \(716 + 589 = 1\,305\)
Провера: \(716 + 1\,305 = 2\,021\).
Збир два броја је \(180\), а њихова разлика је \(40\). Који су то бројеви?
\(180 - 40 = 140\)
Мањи број: \(140 : 2 = 70\)
Већи број: \(70 + 40 = 110\)
Одговор: То су бројеви \(70\) и \(110\).
Мањи број: \(140 : 2 = 70\)
Већи број: \(70 + 40 = 110\)
Одговор: То су бројеви \(70\) и \(110\).
Када је једна величина неколико пута већа од друге (или је дат њихов количник), мању величину посматрамо као 1 једнак део, а већу као одговарајући број таквих делова.
- Ако је познат количник и разлика: Разлика вредности одговара разлици у броју делова. Један део добија се дељењем разлике са разликом броја делова.
- Ако је познат количник и збир: Збир вредности одговара укупном броју делова. Један део добија се дељењем укупног збира са укупним бројем делова.
Разлика два броја је \(4\,500\), а њихов количник је \(4\).
Мањи број је \(1\) део, а већи број је \(4\) таква дела.
Разлика међу њима износи: \(4 - 1 = 3\) дела.
Један део (мањи број): \(4\,500 : 3 = 1\,500\)
Већи број: \(1\,500 \cdot 4 = 6\,000\) (или \(1\,500 + 4\,500 = 6\,000\)).
Мањи број је \(1\) део, а већи број је \(4\) таква дела.
Разлика међу њима износи: \(4 - 1 = 3\) дела.
Један део (мањи број): \(4\,500 : 3 = 1\,500\)
Већи број: \(1\,500 \cdot 4 = 6\,000\) (или \(1\,500 + 4\,500 = 6\,000\)).
Маја и њена сестра треба да поделе \(3\,600\text{ динара}\) тако да Маја добије два пута више новца од сестре. Колико динара ће добити свака од њих?
Сестра добија \(1\) део, а Маја \(2\) дела.
Укупно делова: \(1 + 2 = 3\) дела.
Вредност једног дела (сестра): \(3\,600 : 3 = 1\,200\text{ динара}\).
Маја добија: \(1\,200 \cdot 2 = 2\,400\text{ динара}\).
Одговор: Сестра добија \(1\,200\text{ динара}\), а Маја \(2\,400\text{ динара}\).
Укупно делова: \(1 + 2 = 3\) дела.
Вредност једног дела (сестра): \(3\,600 : 3 = 1\,200\text{ динара}\).
Маја добија: \(1\,200 \cdot 2 = 2\,400\text{ динара}\).
Одговор: Сестра добија \(1\,200\text{ динара}\), а Маја \(2\,400\text{ динара}\).
Сваки следећи узастопни природни број је за \(1\) већи од претходног. Ако најмањи број означимо као један део, остале бројеве чине тај део и додаци: \(+1\), \(+2\), \(+3\), итд.
Одредити збир свих додатака (вишкова) у односу на најмањи број.
Одузети збир додатака од укупног збира свих бројева. Тиме се сви бројеви изједначавају са најмањим бројем.
Преостали износ поделити укупним бројем сабирака да би се добио први (најмањи) број. Остали бројеви се добијају додавањем \(1, 2, 3\dots\)
Збир четири узастопна броја је \(8\,630\).
Бројеви су: први број, први \(+ 1\), први \(+ 2\), први \(+ 3\).
Збир додатака: \(1 + 2 + 3 = 6\).
Четири једнака дела: \(8\,630 - 6 = 8\,624\).
Први број: \(8\,624 : 4 = 2\,156\).
Узастопни бројеви су: \(2\,156, 2\,157, 2\,158, 2\,159\).
Бројеви су: први број, први \(+ 1\), први \(+ 2\), први \(+ 3\).
Збир додатака: \(1 + 2 + 3 = 6\).
Четири једнака дела: \(8\,630 - 6 = 8\,624\).
Први број: \(8\,624 : 4 = 2\,156\).
Узастопни бројеви су: \(2\,156, 2\,157, 2\,158, 2\,159\).
Збир три узастопна броја је \(126\). Који су то бројеви?
Додаци: \(1 + 2 = 3\).
Три једнака дела: \(126 - 3 = 123\).
Први број: \(123 : 3 = 41\).
Одговор: То су бројеви \(41, 42\) и \(43\).
Три једнака дела: \(126 - 3 = 123\).
Први број: \(123 : 3 = 41\).
Одговор: То су бројеви \(41, 42\) и \(43\).
Збир низа узастопних природних бројева од \(1\) до \(n\) израчунава се брзо груписањем крајњих чланова у парове једнаких збирова (први са последњим, други са претпоследњим, итд.).
\[ \text{Збир} = (\text{број парова}) \cdot (\text{збир првог и последњег броја}) \]
\[ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]
Збир првих \(50\) природних бројева (\(1 + 2 + 3 + \dots + 50\)):
Парови су: \(1 + 50 = 51\), \(2 + 49 = 51\), \(3 + 48 = 51\dots\)
Укупан број бројева је \(50\), па има \(50 : 2 = 25\) парова са збиром \(51\).
Збир: \(25 \cdot 51 = 1\,275\).
Парови су: \(1 + 50 = 51\), \(2 + 49 = 51\), \(3 + 48 = 51\dots\)
Укупан број бројева је \(50\), па има \(50 : 2 = 25\) парова са збиром \(51\).
Збир: \(25 \cdot 51 = 1\,275\).
Израчунај збир првих \(20\) природних бројева.
Збир сваког пара: \(1 + 20 = 21\).
Број парова: \(20 : 2 = 10\).
Укупан збир: \(10 \cdot 21 = 210\).
Одговор: Збир је \(210\).
Број парова: \(20 : 2 = 10\).
Укупан збир: \(10 \cdot 21 = 210\).
Одговор: Збир је \(210\).
Када је познат укупан збир три величине \(a + b + c\) и збирови појединих парова (\(a + b\) и \(b + c\)), непознате величине налазимо поступком одузимања познатих целина.
\[ c = (a + b + c) - (a + b) \]
\[ a = (a + b + c) - (b + c) \]
\[ b = (a + b) - a \]
Пре рачунања све мерне јединице морају бити претворене у исту јединицу мере (нпр. све у \(\text{cm}\)).
Обим троугла је \(O = 15\text{ dm} = 150\text{ cm}\).
Збир прве и друге странице: \(a + b = 111\text{ cm}\).
Збир друге и треће странице: \(b + c = 8\text{ dm } 5\text{ cm} = 85\text{ cm}\).
1. Трећа страница: \(c = 150 - 111 = 39\text{ cm}\).
2. Друга страница: \(b = 85 - 39 = 46\text{ cm}\).
3. Прва страница: \(a = 111 - 46 = 65\text{ cm}\).
Збир прве и друге странице: \(a + b = 111\text{ cm}\).
Збир друге и треће странице: \(b + c = 8\text{ dm } 5\text{ cm} = 85\text{ cm}\).
1. Трећа страница: \(c = 150 - 111 = 39\text{ cm}\).
2. Друга страница: \(b = 85 - 39 = 46\text{ cm}\).
3. Прва страница: \(a = 111 - 46 = 65\text{ cm}\).
Збир три броја је \(100\). Збир првог и другог је \(65\), а збир другог и трећег је \(55\). Одреди те бројеве.
Трећи број: \(100 - 65 = 35\).
Други број: \(55 - 35 = 20\).
Први број: \(65 - 20 = 45\).
Одговор: Бројеви су \(45, 20\) и \(35\).
Други број: \(55 - 35 = 20\).
Први број: \(65 - 20 = 45\).
Одговор: Бројеви су \(45, 20\) и \(35\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колико је сада сати ако је преостали део дана \(5\) пута дужи од дела дана који је већ прошао? (Дан има \(24\) часа).
Део дана који је прошао представља \(1\) део.
Преостали део дана представља \(5\) делова.
Цео дан има: \(1 + 5 = 6\) делова.
Један део износи: \(24\text{ h} : 6 = 4\text{ h}\).
Одговор: Сада је \(4\) сата ујутру.
Преостали део дана представља \(5\) делова.
Цео дан има: \(1 + 5 = 6\) делова.
Један део износи: \(24\text{ h} : 6 = 4\text{ h}\).
Одговор: Сада је \(4\) сата ујутру.
Задатак 2 (средњи): На летњем кампу било је \(1\,475\) ученика. На свака три дечака биле су по две девојчице. Колико је на кампу било дечака, а колико девојчица?
Посматрамо групу од \(3\) дечака и \(2\) девојчице:
Једна група садржи: \(3 + 2 = 5\) ученика.
Број таквих група: \(1\,475 : 5 = 295\) група.
Број дечака: \(295 \cdot 3 = 885\).
Број девојчица: \(295 \cdot 2 = 590\).
Провера: \(885 + 590 = 1\,475\).
Одговор: На кампу је било \(885\) дечака и \(590\) девојчица.
Једна група садржи: \(3 + 2 = 5\) ученика.
Број таквих група: \(1\,475 : 5 = 295\) група.
Број дечака: \(295 \cdot 3 = 885\).
Број девојчица: \(295 \cdot 2 = 590\).
Провера: \(885 + 590 = 1\,475\).
Одговор: На кампу је било \(885\) дечака и \(590\) девојчица.
Задатак 3 (средњи): На питање колико има година, Жељко је одговорио: „Пре \(9\) година имао сам четвртину садашњих година.” Колико година има Жељко?
Ако садашње године чине \(4\) једнака дела, пре \(9\) година имао је \(1\) део.
Разлика између садашњих година и година пре \(9\) година износи: \(4 - 1 = 3\) дела.
Та \(3\) дела износе \(9\) година, па је један део: \(9 : 3 = 3\) године.
Садашње године (\(4\) дела): \(4 \cdot 3 = 12\) година.
Провера: Пре \(9\) година имао је \(12 - 9 = 3\) године, што јесте \(\frac{1}{4}\) од \(12\).
Одговор: Жељко има \(12\) година.
Разлика између садашњих година и година пре \(9\) година износи: \(4 - 1 = 3\) дела.
Та \(3\) дела износе \(9\) година, па је један део: \(9 : 3 = 3\) године.
Садашње године (\(4\) дела): \(4 \cdot 3 = 12\) година.
Провера: Пре \(9\) година имао је \(12 - 9 = 3\) године, што јесте \(\frac{1}{4}\) од \(12\).
Одговор: Жељко има \(12\) година.
Задатак 4 (тежи): Јесен је \(1\) дан дужа од зиме, \(4\) дана краћа од лета и \(2\) дана краћа од пролећа. Колико дана траје свако годишње доба, ако година није преступна (\(365\) дана)?
Изразимо сва годишња доба преко јесени као основног дела (Ј):
Зима: \(\text{Ј} - 1\)
Јесен: \(\text{Ј}\)
Пролеће: \(\text{Ј} + 2\)
Лето: \(\text{Ј} + 4\)
Збир свих доба: \((\text{Ј} - 1) + \text{Ј} + (\text{Ј} + 2) + (\text{Ј} + 4) = 4 \cdot \text{Ј} + 5\).
Пошто година има \(365\) дана: \[ 4 \cdot \text{Ј} + 5 = 365 \] \[ 4 \cdot \text{Ј} = 365 - 5 = 360 \] \[ \text{Ј} = 360 : 4 = 90\text{ дана} \] Трајање по годишњим добима:
Јесен: \(90\) дана.
Зима: \(90 - 1 = 89\) дана.
Пролеће: \(90 + 2 = 92\) дана.
Лето: \(90 + 4 = 94\) дана.
Провера: \(90 + 89 + 92 + 94 = 365\).
Одговор: Зима траје \(89\), јесен \(90\), пролеће \(92\), а лето \(94\) дана.
Зима: \(\text{Ј} - 1\)
Јесен: \(\text{Ј}\)
Пролеће: \(\text{Ј} + 2\)
Лето: \(\text{Ј} + 4\)
Збир свих доба: \((\text{Ј} - 1) + \text{Ј} + (\text{Ј} + 2) + (\text{Ј} + 4) = 4 \cdot \text{Ј} + 5\).
Пошто година има \(365\) дана: \[ 4 \cdot \text{Ј} + 5 = 365 \] \[ 4 \cdot \text{Ј} = 365 - 5 = 360 \] \[ \text{Ј} = 360 : 4 = 90\text{ дана} \] Трајање по годишњим добима:
Јесен: \(90\) дана.
Зима: \(90 - 1 = 89\) дана.
Пролеће: \(90 + 2 = 92\) дана.
Лето: \(90 + 4 = 94\) дана.
Провера: \(90 + 89 + 92 + 94 = 365\).
Одговор: Зима траје \(89\), јесен \(90\), пролеће \(92\), а лето \(94\) дана.
