Најважније из лекције
Површина: Збир површина свих граничних страна.
- Квадар: \( P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \)
- Коцка: \( P = 6 \cdot a^2 \)
- Без поклопца: \( P = a \cdot b + 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c) \)
- Квадар: \( V = a \cdot b \cdot c \)
- Коцка: \( V = a^3 \)
- Преко основе: \( V = B \cdot H \)
Површина геометријског тела једнака је збиру површина свих његових страна (граничних површи).
Квадар има шест страна које су правоугаоници, при чему су наспрамне стране подударни правоугаоници. Ако су дужине ивица квадра \( a \), \( b \) и \( c \), он има три пара једнаких страна чије су површине \( a \cdot b \), \( a \cdot c \) и \( b \cdot c \).
\[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \]
\( a, b, c \) – дужине ивица квадра
Коцка је посебан случај квадра код кога су све ивице једнаке дужине (\( a = b = c \)). Свих шест страна коцке су једнаки квадрати странице \( a \), а површина једног квадрата је \( a \cdot a \).
\[ P = 6 \cdot a \cdot a = 6a^2 \]
\( a \) – дужина ивице коцке
Израчунајмо површину квадра чије су ивице \( a = 4\text{ cm} \), \( b = 5\text{ cm} \) и \( c = 2\text{ cm} \):
\[ P = 2 \cdot (4 \cdot 5 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2) = 2 \cdot (20 + 8 + 10) = 2 \cdot 38 = 76\text{ cm}^2 \]
Израчунај површину коцке чија је ивица дужине \( 5\text{ cm} \).
Примењујемо формулу за површину коцке:
\[ P = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot 5 \cdot 5 = 6 \cdot 25 = 150\text{ cm}^2 \]
Запремина геометријског тела представља меру простора који то тело заузима.
Запремина квадра:
\[ V = a \cdot b \cdot c \]
Запремина коцке:
\[ V = a \cdot a \cdot a = a^3 \]
Запремина квадра и коцке може се израчунати и као производ површине основе (\( B \)) и висине тела (\( H \)):
\[ V = B \cdot H \]
| Тело | Површина основе (\( B \)) | Висина (\( H \)) | Запремина (\( V = B \cdot H \)) |
|---|---|---|---|
| Квадар | \( B = a \cdot b \) | \( H = c \) | \( V = a \cdot b \cdot c \) |
| Коцка | \( B = a \cdot a \) | \( H = a \) | \( V = a \cdot a \cdot a \) |
Ако квадар има основу површине \( B = 24\text{ cm}^2 \) и висину \( H = 5\text{ cm} \), његова запремина износи:
\[ V = B \cdot H = 24 \cdot 5 = 120\text{ cm}^3 \]
Израчунај запремину коцке чија је ивица \( a = 3\text{ dm} \).
\[ V = a \cdot a \cdot a = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\text{ dm}^3 \]
Пре израчунавања површине или запремине, све мерне јединице дужина морају бити изражене у истим јединицама (нпр. све у \( \text{cm} \) или све у \( \text{dm} \)).
Површина отвореног тела (без поклопца):
Када тело нема горњу страну (поклопац), његова површина се састоји од једне основе и четири бочне стране:
\[ P_{\text{без поклопца}} = a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c \]
Колика је површина отворене кутије облика квадра димензија \( a = 10\text{ cm} \), \( b = 6\text{ cm} \) и висине \( c = 4\text{ cm} \)?
Кутија има дно и 4 бочне стране (нема поклопац):
\[ P = a \cdot b + 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c) \]
\[ P = 10 \cdot 6 + 2 \cdot (10 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 60 + 2 \cdot (40 + 24) = 60 + 2 \cdot 64 = 60 + 128 = 188\text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај површину и запремину коцке чија је површина једне стране једнака \( 64\text{ cm}^2 \).
Страна коцке је квадрат површине \( a \cdot a = 64\text{ cm}^2 \), одакле је ивица коцке \( a = 8\text{ cm} \).
Површина коцке: \[ P = 6 \cdot (a \cdot a) = 6 \cdot 64 = 384\text{ cm}^2 \] Запремина коцке: \[ V = a \cdot a \cdot a = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512\text{ cm}^3 \]
Површина коцке: \[ P = 6 \cdot (a \cdot a) = 6 \cdot 64 = 384\text{ cm}^2 \] Запремина коцке: \[ V = a \cdot a \cdot a = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512\text{ cm}^3 \]
Задатак 2 (средњи): Столар прави ормар облика квадра дужине \( 12\text{ dm} \), ширине \( 8\text{ dm} \) и висине \( 18\text{ dm} \). Колико квадратних дециметара даске му је потребно ако отпаци при раду износе \( 88\text{ dm}^2 \)?
Прво израчунавамо површину ормара:
\[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \]
\[ P = 2 \cdot (12 \cdot 8 + 12 \cdot 18 + 8 \cdot 18) \]
\[ P = 2 \cdot (96 + 216 + 144) = 2 \cdot 456 = 912\text{ dm}^2 \]
Укупна потребна даска укључује и површину отпада:
\[ P_{\text{укупно}} = 912 + 88 = 1000\text{ dm}^2 \]
Одговор: Потребно је \( 1000\text{ dm}^2 \) даске (односно \( 10\text{ m}^2 \)).
Задатак 3 (средњи): Израчунај површину и запремину посуде без поклопца облика квадра чија је дужина \( 25\text{ cm} \), ширина \( 140\text{ mm} \) и висина \( 50\text{ cm} \).
Ускладимо мерне јединице: \( b = 140\text{ mm} = 14\text{ cm} \).
Димензије су: \( a = 25\text{ cm} \), \( b = 14\text{ cm} \), \( c = 50\text{ cm} \).
Површина отворене посуде (дно + бочне стране): \[ P = a \cdot b + 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c) \] \[ P = 25 \cdot 14 + 2 \cdot (25 \cdot 50 + 14 \cdot 50) = 350 + 2 \cdot (1250 + 700) \] \[ P = 350 + 2 \cdot 1950 = 350 + 3900 = 4250\text{ cm}^2 \] Запремина посуде: \[ V = a \cdot b \cdot c = 25 \cdot 14 \cdot 50 = 17500\text{ cm}^3 \]
Димензије су: \( a = 25\text{ cm} \), \( b = 14\text{ cm} \), \( c = 50\text{ cm} \).
Површина отворене посуде (дно + бочне стране): \[ P = a \cdot b + 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c) \] \[ P = 25 \cdot 14 + 2 \cdot (25 \cdot 50 + 14 \cdot 50) = 350 + 2 \cdot (1250 + 700) \] \[ P = 350 + 2 \cdot 1950 = 350 + 3900 = 4250\text{ cm}^2 \] Запремина посуде: \[ V = a \cdot b \cdot c = 25 \cdot 14 \cdot 50 = 17500\text{ cm}^3 \]
Задатак 4 (тежи): Површина коцке је \( 294\text{ cm}^2 \). Колика је површина квадра који се добије када се дужина коцке увећа за \( 5\text{ cm} \)?
1. Одређивање ивице почетне коцке:
\[ P = 6 \cdot a^2 = 294 \implies a^2 = 294 : 6 = 49 \implies a = 7\text{ cm} \]
2. Димензије новог квадра добијају се када се једна ивица продужи за \( 5\text{ cm} \):
\[ a' = 7 + 5 = 12\text{ cm}, \quad b = 7\text{ cm}, \quad c = 7\text{ cm} \]
3. Површина новог квадра:
\[ P = 2 \cdot (a' \cdot b + a' \cdot c + b \cdot c) \]
\[ P = 2 \cdot (12 \cdot 7 + 12 \cdot 7 + 7 \cdot 7) = 2 \cdot (84 + 84 + 49) = 2 \cdot 217 = 434\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина новог квадра је \( 434\text{ cm}^2 \).
