Најважније из лекције
Кључна правила множења и дељења:
- Множење са нулама: Бројеве множимо без нула, па на крају припишемо укупан број нула (нпр. \(6 \cdot 300 = 1\,800\)).
- Писмено множење двоцифреним бројем: Множимо јединицама, затим десетицама (померено једно место улево) и саберемо делимичне производе.
- Дељење са нулом у количнику: Ако цифра коју делимо није дељива делиоцем, у количник се обавезно уписује \(0\) пре спуштања следеће цифре (нпр. \(1\,530 : 5 = 306\)).
- Дељење са остатком: \(a = b \cdot q + r\), при чему увек важи \(0 \le r < b\).
- Провера дељења: \((q \cdot b) + r = a\).
Вишецифрени број множимо једноцифреним бројем тако што једноцифреним чиниоцем множимо редом јединице, десетице, стотине, хиљаде итд. (здесна налево).
При множењу десетица, стотина или хиљада, најпре помножимо бројеве изостављајући нуле, а затим добијеном производу здесна допишемо све изостављене нуле:
\[ 6 \cdot 3 = 18 \implies 6 \cdot 300 = 1\,800 \]
Писмено множење броја \(21\,340\) бројем \(5\):
\[
\begin{array}{r}
\underline{21\,340 \cdot 5} \\
106\,700
\end{array}
\]
(\(5 \cdot 0 = 0\), \(5 \cdot 4 = 20\) - пишемо \(0\), памтимо \(2\); \(5 \cdot 3 = 15 + 2 = 17\) - пишемо \(7\), памтимо \(1\); \(5 \cdot 1 = 5 + 1 = 6\); \(5 \cdot 2 = 10\)).
Израчунај производ бројева \(3\,655\) и \(4\).
\[
\begin{array}{r}
\underline{3\,655 \cdot 4} \\
14\,620
\end{array}
\]
Одговор: Производ је \(14\,620\).
Приликом множења вишецифреног броја двоцифреним, двоцифрени чинилац растављамо на збир десетица и јединица, те примењујемо својство дистрибутивности: \(a \cdot (d + j) = a \cdot j + a \cdot d\).
Вишецифрени број помножимо јединицама двоцифреног броја и запишемо први делимични производ.
Вишецифрени број помножимо десетицама другог броја и резултат потпишемо испод првог производа, али померен за једно место улево.
Саберемо оба делимична производа.
Писмени поступак рачунања \(194 \cdot 25\):
\[
\begin{array}{r}
\underline{194 \cdot 25} \\
970 \phantom{0} & (194 \cdot 5) \\
+\; 388\phantom{00} & (194 \cdot 20) \\
\hline
4\,850 \phantom{0} &
\end{array}
\]
Израчунај производ \(2\,194 \cdot 25\).
\[
\begin{array}{r}
\underline{2\,194 \cdot 25} \\
10\,970 \\
+\; 43\,88\phantom{0} \\
\hline
54\,850
\end{array}
\]
Одговор: \(54\,850\).
Дељење почињемо од цифре највеће месне вредности (слева надесно).
Када делимо декадне јединице или њихове вишекратнике, користимо основну таблицу дељења:
\[ 42 : 6 = 7 \implies 42\,000 : 6 = 7\,000 \]
\[ 25 : 5 = 5 \implies 2\,500 : 5 = 500 \]
Ако број који делимо није дељив делиоцем (мањи је од њега), у количник обавезно уписујемо 0 пре него што спустимо следећу цифру.
\(7\,721 : 7 = 1\,103\)
\(7 : 7 = 1\) (остатак \(0\)), спуштамо \(7\); \(7 : 7 = 1\) (остатак \(0\)), спуштамо \(2\); \(2 : 7 = 0\) (уписујемо \(0\) у количник), спуштамо \(1\); \(21 : 7 = 3\). Коначан количник је \(1\,103\).
\(7 : 7 = 1\) (остатак \(0\)), спуштамо \(7\); \(7 : 7 = 1\) (остатак \(0\)), спуштамо \(2\); \(2 : 7 = 0\) (уписујемо \(0\) у количник), спуштамо \(1\); \(21 : 7 = 3\). Коначан количник је \(1\,103\).
Израчунај количник \(1\,530 : 5\).
\(15 : 5 = 3\)
\(3 : 5 = 0\) (остатак 3)
\(30 : 5 = 6\)
Одговор: \(1\,530 : 5 = 306\).
\(3 : 5 = 0\) (остатак 3)
\(30 : 5 = 6\)
Одговор: \(1\,530 : 5 = 306\).
При дељењу природног броја \(a\) природним бројем \(b\) (\(b \neq 0\)), одређујемо количник \(q\) и остатак \(r\).
\[ a = b \cdot q + r \]
\(a\) – дељеник, \(b\) – делилац, \(q\) – количник, \(r\) – остатак
Остатак увек мора бити већи или једнак нули и строго мањи од делиоца: \(0 \le r < b\).
Ако је \(r = 0\), број \(a\) је дељив бројем \(b\) без остатка.
Ако је \(r > 0\), реч је о дељењу са остатком.
Ако је \(r > 0\), реч је о дељењу са остатком.
Правило провере: Тачност извршеног дељења проверавамо множењем количника и делиоца и додавањем остатка:
\[ (q \cdot b) + r = a \]
Подели број \(358\) са \(12\), одреди остатак и изврши проверу.
\(358 : 12 = 29\) (ост. \(10\))
Јер је \(35 : 12 = 2\) (остатак 11), након спуштања 8: \(118 : 12 = 9\) (остатак 10, пошто је \(9 \cdot 12 = 108\)).
Провера: \[ 29 \cdot 12 + 10 = 348 + 10 = 358 \]
Јер је \(35 : 12 = 2\) (остатак 11), након спуштања 8: \(118 : 12 = 9\) (остатак 10, пошто је \(9 \cdot 12 = 108\)).
Провера: \[ 29 \cdot 12 + 10 = 348 + 10 = 358 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредности следећих израза:
а) \(45\,000 : 5\)
б) \(400 \cdot 7\)
а) \(45\,000 : 5\)
б) \(400 \cdot 7\)
а) \(45 : 5 = 9 \implies 45\,000 : 5 = 9\,000\)
б) \(4 \cdot 7 = 28 \implies 400 \cdot 7 = 2\,800\)
б) \(4 \cdot 7 = 28 \implies 400 \cdot 7 = 2\,800\)
Задатак 2 (средњи): Израчунај писменим путем производ \(6\,750 \cdot 12\).
\[
\begin{array}{r}
\underline{6\,750 \cdot 12} \\
13\,500\phantom{0} \\
+\; 67\,50\phantom{00} \\
\hline
81\,000\phantom{0}
\end{array}
\]
Одговор: \(81\,000\).
Задатак 3 (средњи): Израчунај вредност количника \(25\,025 : 5\).
\(25 : 5 = 5\) (остатак 0)
Спуштамо 0: \(0 : 5 = 0\) (остатак 0)
Спуштамо 2: \(2 : 5 = 0\) (остатак 2)
Спуштамо 5: \(25 : 5 = 5\)
Одговор: \(25\,025 : 5 = 5\,005\).
Спуштамо 0: \(0 : 5 = 0\) (остатак 0)
Спуштамо 2: \(2 : 5 = 0\) (остатак 2)
Спуштамо 5: \(25 : 5 = 5\)
Одговор: \(25\,025 : 5 = 5\,005\).
Задатак 4 (тежак): При дељењу неког броја бројем \(24\) добијен је количник \(115\) и највећи могући остатак. Одреди дељеник.
Пошто делилац износи \(b = 24\), највећи могући остатак је \(r = b - 1 = 23\).
Примењујемо формулу за дељеник: \(a = b \cdot q + r\)
\[ a = 24 \cdot 115 + 23 \] Писмено множење \(115 \cdot 24\): \[ \begin{array}{r} \underline{115 \cdot 24} \\ 460 \\ +\; 230\phantom{0} \\ \hline 2\,760 \end{array} \] Сада додајемо остатак: \[ a = 2\,760 + 23 = 2\,783 \] Одговор: Дељеник је \(2\,783\).
Примењујемо формулу за дељеник: \(a = b \cdot q + r\)
\[ a = 24 \cdot 115 + 23 \] Писмено множење \(115 \cdot 24\): \[ \begin{array}{r} \underline{115 \cdot 24} \\ 460 \\ +\; 230\phantom{0} \\ \hline 2\,760 \end{array} \] Сада додајемо остатак: \[ a = 2\,760 + 23 = 2\,783 \] Одговор: Дељеник је \(2\,783\).
