Најважније из лекције
Својства: Важе комутативност (\( a \cdot b = b \cdot a \)) и асоцијативност (\( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)). Број 1 не мења чинилац (\( a \cdot 1 = a \)), а производ са 0 је увек 0 (\( a \cdot 0 = 0 \)).
Сталност и промена: Сталност производа омогућава да један чинилац множимо, а други делимо истим бројем без промене резултата. Промена само једног чиниоца мења и сам производ исти толико пута.
Писмено множење: При множењу двоцифреним бројем множи се најпре јединицама, а затим десетицама (резултат се помера једно место улево), након чега се оба производа саберу: \[ 94 \cdot 25 = (94 \cdot 5) + (94 \cdot 20) = 470 + 1\,880 = 2\,350 \]
Сталност и промена: Сталност производа омогућава да један чинилац множимо, а други делимо истим бројем без промене резултата. Промена само једног чиниоца мења и сам производ исти толико пута.
Писмено множење: При множењу двоцифреним бројем множи се најпре јединицама, а затим десетицама (резултат се помера једно место улево), након чега се оба производа саберу: \[ 94 \cdot 25 = (94 \cdot 5) + (94 \cdot 20) = 470 + 1\,880 = 2\,350 \]
Комутативност (замена места чинилаца): Производ се не мења ако чиниоци замене места:
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Асоцијативност (здруживање чинилаца): Чиниоци се могу груписати на различите начине, производ остаје исти:
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Број 1 као чинилац: Производ било ког броја и броја 1 једнак је том броју:
\[ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \]
Број 0 као чинилац: Ако је један од чинилаца нула, производ је увек једнак нули:
\[ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \]
Коришћењем асоцијативности олакшавамо рачунање:
\[ 25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1\,700 \]
Сталност производа: Производ два броја се не мења ако се један чинилац повећа неколико пута, а други смањи исти толико пута:
\[ (a \cdot n) \cdot (b : n) = a \cdot b \quad (n \neq 0) \]
Зависност производа од чинилаца:
- Ако се један чинилац повећа \( n \) пута, и производ се повећа \( n \) пута: \[ (a \cdot n) \cdot b = (a \cdot b) \cdot n \]
- Ако се један чинилац смањи \( n \) пута, и производ се смањи \( n \) пута: \[ (a : n) \cdot b = (a \cdot b) : n \]
Ако знамо да је \( 15 \cdot 4 = 60 \):
- Сталност: \( (15 \cdot 2) \cdot (4 : 2) = 30 \cdot 2 = 60 \)
- Зависност: \( (15 \cdot 3) \cdot 4 = 45 \cdot 4 = 180 \quad (60 \cdot 3 = 180) \)
Множење вишецифреног броја једноцифреним бројем изводи се тако што се једноцифреним бројем редом множе јединице, десетице, стотине и остале месне вредности вишецифреног броја, почевши од најмање месне вредности (здесна улево).
Примери множења са декадним јединицама:
\[ 6 \cdot 3 = 18 \implies 6 \cdot 300 = 1\,800 \]
Писмени поступак множења:
\[
\begin{array}{r}
\underline{1\,340 \cdot 5} \\
6\,700
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
\underline{21\,340 \cdot 5} \\
106\,700
\end{array}
\]
Израчунај вредност производа \( 8\,356 \cdot 4 \).
Множимо здесна улево:
- \( 4 \cdot 6 = 24 \) (пишемо 4, памтимо 2)
- \( 4 \cdot 5 = 20 + 2 = 22 \) (пишемо 2, памтимо 2)
- \( 4 \cdot 3 = 12 + 2 = 14 \) (пишемо 4, памтимо 1)
- \( 4 \cdot 8 = 32 + 1 = 33 \)
Двоцифрени чинилац растављамо на збир десетица и јединица:
\[ a \cdot (d + j) = a \cdot j + a \cdot d \]
Множење јединицама: Вишецифрени број помножимо цифром јединица другог чиниоца.
Множење десетицама: Вишецифрени број помножимо цифром десетица другог чиниоца, а добијени резултат потписујемо померен за једно место улево (испод цифре десетица).
Сабирање: Саберемо оба добијена парцијална производа.
\[
\begin{array}{r}
\underline{194 \cdot 25} \\
970 & (194 \cdot 5) \\
+\; 388\phantom{0} & (194 \cdot 20) \\
\hline
4\,850 &
\end{array}
\]
Пример са вишецифреним бројем:
\[
\begin{array}{r}
\underline{12\,194 \cdot 25} \\
60970 \\
+\; 24388\phantom{0} \\
\hline
304\,850
\end{array}
\]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Користећи својства множења, брзо одреди вредности следећих израза:
а) \( 458 \cdot 12 \cdot 0 \)
б) \( 4 \cdot 732 \cdot 25 \)
а) \( 458 \cdot 12 \cdot 0 \)
б) \( 4 \cdot 732 \cdot 25 \)
а) Пошто је један од чинилаца 0, производ је увек 0:
\[ 458 \cdot 12 \cdot 0 = 0 \]
б) Примењујемо својство замене места и здруживања:
\[ 4 \cdot 732 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 732 = 100 \cdot 732 = 73\,200 \]
Задатак 2 (средњи): Један пар чизама кошта \( 3\,655 \) динара. Колико треба платити за 4 таква пара?
Рачунамо писменим множењем \( 3\,655 \cdot 4 \):
\[
\begin{array}{r}
\underline{3\,655 \cdot 4} \\
14\,620
\end{array}
\]
Одговор: За 4 пара чизама треба платити \( 14\,620 \) динара.
Задатак 3 (средњи): Производ два броја износи \( 1\,200 \). Израчунај колики ће бити производ:
а) Ако се први чинилац повећа 3 пута.
б) Ако се први чинилац удвостручи, а други преполови.
а) Ако се први чинилац повећа 3 пута.
б) Ако се први чинилац удвостручи, а други преполови.
а) Према правилу зависности производа, ако се један чинилац повећа 3 пута, и производ се повећа 3 пута:
\[ 1\,200 \cdot 3 = 3\,600 \]
б) Према закону сталности производа, када се један чинилац повећа 2 пута (\(\cdot 2\)), а други смањи 2 пута (\(: 2\)), производ се не мења:
\[ 1\,200 \]
Задатак 4 (тежак): Цена месечне карте за превоз износи \( 6\,750 \) динара. Колико износи цена годишње претплате (за 12 месеци)? Израчунај писменим путем.
Множимо вишецифрени број двоцифреним \( 6\,750 \cdot 12 \):
\[
\begin{array}{r}
\underline{6\,750 \cdot 12} \\
13500 & (6\,750 \cdot 2) \\
+\; 6750\phantom{0} & (6\,750 \cdot 1) \\
\hline
81\,000 &
\end{array}
\]
Одговор: Годишња претплата износи \( 81\,000 \) динара.
