Најважније из лекције
Множење: Важе закони комутативности (\( a \cdot b = b \cdot a \)) и асоцијативности; \( a \cdot 0 = 0 \), \( a \cdot 1 = a \).
Дељење са остатком: \( a = b \cdot q + r \), уз обавезан услов \( 0 \le r < b \). Провера: \( q \cdot b + r = a \).
Сталност и зависност: Производ се не мења ако један чинилац повећамо, а други смањимо исти број пута (\( (a \cdot n) \cdot (b : n) = a \cdot b \)). Количник се не мења ако и дељеник и делилац помножимо или поделимо истим бројем (\( (a \cdot n) : (b \cdot n) = a : b \)).
Редослед операција: 1. Заграде \(\rightarrow\) 2. Множење и дељење \(\rightarrow\) 3. Сабирање и одузимање.
Једначине: \( x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a \); \( x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a \); \( a : x = b \Rightarrow x = a : b \).
Дељење са остатком: \( a = b \cdot q + r \), уз обавезан услов \( 0 \le r < b \). Провера: \( q \cdot b + r = a \).
Сталност и зависност: Производ се не мења ако један чинилац повећамо, а други смањимо исти број пута (\( (a \cdot n) \cdot (b : n) = a \cdot b \)). Количник се не мења ако и дељеник и делилац помножимо или поделимо истим бројем (\( (a \cdot n) : (b \cdot n) = a : b \)).
Редослед операција: 1. Заграде \(\rightarrow\) 2. Множење и дељење \(\rightarrow\) 3. Сабирање и одузимање.
Једначине: \( x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a \); \( x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a \); \( a : x = b \Rightarrow x = a : b \).
Приликом писменог множења вишецифреног броја, број множимо цифрама другог чиниоца почевши од јединица најнижег реда (здесна налево).
Код множења вишецифреног броја двоцифреним бројем користимо дистрибутивност множења у односу на сабирање: прво множимо јединицама, а затим десетицама, водећи рачуна о померању другог делимичног производа за једно место улево.
\[ a \cdot (10d + j) = a \cdot 10d + a \cdot j \]
Писмени поступак множења бројева \( 94 \) и \( 25 \):
\[
\begin{array}{r}
\underline{94 \cdot 25} \\
470 \\
+ 188\phantom{0} \\
\hline 2350
\end{array}
\]
Израчунај: Израчунај писменим путем производ \( 1\,235 \cdot 4 \).
Множимо редом:
\( 5 \cdot 4 = 20 \) (0 пишемо, 2 памтимо),
\( 3 \cdot 4 + 2 = 14 \) (4 пишемо, 1 памтимо),
\( 2 \cdot 4 + 1 = 9 \),
\( 1 \cdot 4 = 4 \).
Резултат: \[ 1\,235 \cdot 4 = 4\,940 \]
Резултат: \[ 1\,235 \cdot 4 = 4\,940 \]
Приликом дељења броја \( a \) природним бројем \( b \) (\( b \neq 0 \)), одређујемо количник \( q \) и остатак \( r \).
\[ a = b \cdot q + r \]
\( a \) – дељеник, \( b \) – делилац, \( q \) – количник, \( r \) – остатак
Остатак увек мора бити мањи од делиоца: \( 0 \le r < b \). Ако је \( r = 0 \), кажемо да је број \( a \) дељив бројем \( b \).
Провера тачности дељења: Дељење се проверава множењем количника и делиоца и додавањем остатка:
\[ (q \cdot b) + r = a \]
Израчунај и провери: Изврши дељење \( 1\,735 : 5 \).
\( 17 : 5 = 3 \) (остатак 2), спуштамо 3: \( 23 : 5 = 4 \) (остатак 3), спуштамо 5: \( 35 : 5 = 7 \) (остатак 0).
\[ 1\,735 : 5 = 347 \]
Провера: \( 347 \cdot 5 = 1\,735 \).
Комутативност: Чиниоци могу заменити места, а производ се неће променити:
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Асоцијативност: Производ три или више бројева не зависи од начина њиховог здруживања:
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Број 1 као чинилац: Производ било ког броја и броја 1 једнак је том самом броју:
\[ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \]
Број 0 као чинилац: Ако је било који чинилац једнак 0, производ је увек једнак 0:
\[ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \]
Зависност производа од промене чинилаца:
- Ако се један чинилац повећа \( n \) пута, производ се повећа \( n \) пута: \( (a \cdot n) \cdot b = (a \cdot b) \cdot n \)
- Ако се један чинилац смањи \( n \) пута, производ се смањи \( n \) пута: \( (a : n) \cdot b = (a \cdot b) : n \)
Сталност производа: Производ се не мења ако се један чинилац повећа \( n \) пута, а други чинилац смањи исто толико пута:
\[ (a \cdot n) \cdot (b : n) = a \cdot b \]
Зависност количника од дељеника и делиоца:
- Дељеник и количник су директно сразмерни: ако се дељеник повећа/смањи \( n \) пута, и количник се повећа/смањи исто толико пута.
- Делилац и количник су обрнуто сразмерни:
– ако се делилац повећа \( n \) пута, количник се смањи \( n \) пута: \( a : (b \cdot n) = (a : b) : n \)
– ако се делилац смањи \( n \) пута, количник се повећа \( n \) пута: \( a : (b : n) = (a : b) \cdot n \)
Сталност количника: Количник се не мења ако се и дељеник и делилац повећају или смање исти број пута (\( n \neq 0 \)):
\[ (a \cdot n) : (b \cdot n) = a : b \quad \text{и} \quad (a : n) : (b : n) = a : b \]
Примена сталности производа:
\[ 356 \cdot 5 = (356 : 2) \cdot (5 \cdot 2) = 178 \cdot 10 = 1\,780 \]
Прости изрази садрже само једну рачунску операцију (нпр. \( 240 : 4 \)), док сложени изрази садрже две или више операција.
Прво се извршавају операције у заградама.
Затим се извршавају множење и дељење (редоследом којим су записани, слева надесно).
На крају се извршавају сабирање и одузимање (слева надесно).
\[ 21 + 9 : 3 = 21 + 3 = 24 \]
\[ (21 + 9) : 3 = 30 : 3 = 10 \]
Заграде имају предност и мењају редослед рачунања!
Основна правила за решавање једначина:
- Непознати чинилац: производ делимо познатим чиниоцем: \[ x \cdot a = b \implies x = b : a \]
- Непознати дељеник: количник множимо делиоцем: \[ x : a = b \implies x = b \cdot a \]
- Непознати делилац: дељеник делимо количником: \[ a : x = b \implies x = a : b \]
Код сложених једначина део са заградом или операцијом вишег реда прво третирамо као једну целину (као непознати сабирак, чинилац итд.).
\[ (s + 89) : 11 = 607 \]
\[ s + 89 = 607 \cdot 11 \]
\[ s + 89 = 6\,677 \implies s = 6\,677 - 89 = 6\,588 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза:
\[ 72 - 30 : 3 + 4 \cdot 5 \]
Прво обављамо множење и дељење:
\[ 30 : 3 = 10 \quad \text{и} \quad 4 \cdot 5 = 20 \]
Затим рачунамо сабирање и одузимање слева надесно:
\[ 72 - 10 + 20 = 62 + 20 = 82 \]
Одговор: Вредност израза је \( 82 \).
Задатак 2 (средњи): Одреди непознати број \( x \) из једначине:
\[ 3\,600 : (x - 14) = 50 \]
Израз у загради \( (x - 14) \) посматрамо као непознати делилац:
\[ x - 14 = 3\,600 : 50 \]
\[ x - 14 = 72 \]
Сада одређујемо непознати умањеник:
\[ x = 72 + 14 \]
\[ x = 86 \]
Одговор: \( x = 86 \).
Задатак 3 (средњи): Ако је количник два броја \( a : b = 120 \), колики ће бити нови количник ако дељеник повећамо 2 пута, а делилац повећамо 4 пута?
Посматрамо промену према правилима зависности:
\[ (a \cdot 2) : (b \cdot 4) = (a : b) \cdot 2 : 4 \]
Пошто је \( a : b = 120 \):
\[ 120 \cdot 2 : 4 = 240 : 4 = 60 \]
Одговор: Нови количник је \( 60 \).
Задатак 4 (тежак): Одреди све природне бројеве \( y \in \mathbb{N} \) за које важи неједначина:
\[ 16 \cdot y \le 64 \]
Прво одређујемо граничну вредност дељењем:
\[ y \le 64 : 16 \]
\[ y \le 4 \]
Будући да се траже природни бројеви (\( y \in \mathbb{N} \), дакле \( y > 0 \)):
\[ y \in \{1, 2, 3, 4\} \]
(Напомена: Уколико се посматра скуп \( \mathbb{N}_0 \), решење укључује и број 0: \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \)).
