Најважније из лекције
Елементи коцке и квадра: Обоје имају 6 страна, 8 темена и 12 ивица. Код коцке су све стране квадрати и све ивице су једнаке, а код квадра су стране правоугаоници и ивице су подељене у 3 групе по 4 једнаке (\(a, b, c\)).
Збир свих ивица:
• Коцка: \(s = 12 \cdot a\)
• Квадар: \(s = 4 \cdot (a + b + c)\)
Површина тела:
• Коцка: \(P = 6 \cdot a^2\) (нпр. за \(a = 4\text{ cm}\), \(P = 6 \cdot 16 = 96\text{ cm}^2\))
• Квадар: \(P = 2 \cdot (ab + bc + ac)\)
Збир свих ивица:
• Коцка: \(s = 12 \cdot a\)
• Квадар: \(s = 4 \cdot (a + b + c)\)
Површина тела:
• Коцка: \(P = 6 \cdot a^2\) (нпр. за \(a = 4\text{ cm}\), \(P = 6 \cdot 16 = 96\text{ cm}^2\))
• Квадар: \(P = 2 \cdot (ab + bc + ac)\)
Темена су тачке у којима се спајају ивице. Квадар и коцка имају по 8 темена.
Ивице су дужи које спајају суседна темена. Квадар и коцка имају по 12 ивица.
Стране су површи које ограничавају тело. Квадар и коцка имају по 6 страна.
- Код коцке су све стране подударни квадрати, а свих 12 ивица има једнаку дужину.
- Код квадра су све стране правоугаоници (при чему су наспрамне стране подударне), а ивице се деле у три групе по 4 једнаке дужине: дужина (\(a\)), ширина (\(b\)) и висина (\(c\)).
| Геометријско тело | Број страна | Број темена | Број ивица | Облик страна | Једнаке ивице |
|---|---|---|---|---|---|
| Квадар | 6 | 8 | 12 | Правоугаоници | Неке (по 4 једнаке) |
| Коцка | 6 | 8 | 12 | Квадрати | Све (12 једнаких) |
Збир дужина свих ивица представља укупну дужину жице или материјала потребног да се направи жичани костур тела.
Збир дужина ивица коцке:
\[ s = 12 \cdot a \]
\(a\) – дужина једне ивице коцке
Збир дужина ивица квадра:
\[ s = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c = 4 \cdot (a + b + c) \]
\(a, b, c\) – дужина, ширина и висина квадра
Ако је ивица коцке \(a = 5\text{ cm}\), збир свих њених ивица је:
\[ s = 12 \cdot 5\text{ cm} = 60\text{ cm} \]
Израчунај збир свих ивица квадра дужине \(6\text{ cm}\), ширине \(4\text{ cm}\) и висине \(3\text{ cm}\).
Примењујемо формулу за збир ивица квадра:
\[ s = 4 \cdot (a + b + c) = 4 \cdot (6 + 4 + 3) = 4 \cdot 13 = 52\text{ cm} \]
Одговор: Збир свих ивица квадра износи \(52\text{ cm}\).
Површина тела (\(P\)) једнака је укупној површини свих 6 страна које чине његову мрежу.
Површина коцке:
\[ P = 6 \cdot a^2 \]
Пошто коцка има 6 једнаких страна облика квадрата површине \(a \cdot a = a^2\).
Површина квадра:
\[ P = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c) \]
Пошто квадар чине 3 пара једнаких правоугаоних страна са површинама \(a \cdot b\), \(b \cdot c\) и \(a \cdot c\).
Површина коцке ивице \(a = 3\text{ cm}\) је:
\[ P = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54\text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Израчунај збир дужина свих ивица коцке чија је ивица дужине \(a = 12\text{ cm}\).
Коцка има 12 једнаких ивица:
\[ s = 12 \cdot a \]
\[ s = 12 \cdot 12\text{ cm} = 144\text{ cm} \]
Одговор: Збир свих ивица коцке је \(144\text{ cm}\).
Задатак 2 (Средњи): Одреди дужину ивице коцке ако је збир дужина свих њених ивица \(96\text{ cm}\).
Пошто коцка има 12 једнаких ивица, дужину једне ивице добијамо дељењем збира са 12:
\[ a = s : 12 \]
\[ a = 96\text{ cm} : 12 = 8\text{ cm} \]
Одговор: Дужина ивице коцке је \(8\text{ cm}\).
Задатак 3 (Средњи): Колики је збир дужина свих ивица квадра чија је дужина \(14\text{ dm}\), висина \(9\text{ dm}\), а ширина \(6\text{ dm}\)?
Дата су мере: \(a = 14\text{ dm}\), \(b = 6\text{ dm}\), \(c = 9\text{ dm}\).
Примењујемо формулу: \[ s = 4 \cdot (a + b + c) \] \[ s = 4 \cdot (14 + 6 + 9) = 4 \cdot 29 = 116\text{ dm} \] Одговор: Збир свих ивица квадра износи \(116\text{ dm}\).
Примењујемо формулу: \[ s = 4 \cdot (a + b + c) \] \[ s = 4 \cdot (14 + 6 + 9) = 4 \cdot 29 = 116\text{ dm} \] Одговор: Збир свих ивица квадра износи \(116\text{ dm}\).
Задатак 4 (Тежак): Ивице квадра су \(5\text{ cm}\), \(8\text{ cm}\) и \(10\text{ cm}\). Ако се свака ивица квадра продужи за \(2\text{ cm}\), колико ће износити збир дужина свих ивица тако добијеног квадра и за колико се тај збир повећао?
1. Рачунамо збир ивица почетног квадра:
\[ s_1 = 4 \cdot (5 + 8 + 10) = 4 \cdot 23 = 92\text{ cm} \]
2. Нове димензије ивица су:
\[ a' = 5 + 2 = 7\text{ cm}, \quad b' = 8 + 2 = 10\text{ cm}, \quad c' = 10 + 2 = 12\text{ cm} \]
3. Збир ивица новог квадра је:
\[ s_2 = 4 \cdot (7 + 10 + 12) = 4 \cdot 29 = 116\text{ cm} \]
4. Разлика:
\[ s_2 - s_1 = 116 - 92 = 24\text{ cm} \]
(Или директно: свака од 12 ивица се продужила за \(2\text{ cm}\), што је укупно повећање од \(12 \cdot 2 = 24\text{ cm}\).)
Одговор: Збир ивица новог квадра износи \(116\text{ cm}\), а збир се повећао за \(24\text{ cm}\).
Одговор: Збир ивица новог квадра износи \(116\text{ cm}\), а збир се повећао за \(24\text{ cm}\).
