Најважније из лекције
Појам: Разломак \(\frac{a}{b}\) означава део целине (именилац \(b\) је укупан број једнаких делова, а бројилац \(a\) је број узетих делова). Целина: \(\frac{n}{n} = 1\).
Рачунање: Код сабирања и одузимања разломака истих именилаца, именилац остаје исти, а бројиоци се сабирају или одузимају: \(\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n}\). Пример: \(\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}\).
Упоређивање: Са истим имениоцима већи је онај са већим бројиоцем (\(\frac{4}{7} > \frac{3}{7}\)). Са истим бројиоцима већи је онај са мањим имениоцем (\(\frac{1}{3} > \frac{1}{6}\)).
Део целине: \(\frac{a}{b}\) од броја \(X\) налази се рачунањем \((X : b) \cdot a\).
Рачунање: Код сабирања и одузимања разломака истих именилаца, именилац остаје исти, а бројиоци се сабирају или одузимају: \(\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n}\). Пример: \(\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}\).
Упоређивање: Са истим имениоцима већи је онај са већим бројиоцем (\(\frac{4}{7} > \frac{3}{7}\)). Са истим бројиоцима већи је онај са мањим имениоцем (\(\frac{1}{3} > \frac{1}{6}\)).
Део целине: \(\frac{a}{b}\) од броја \(X\) налази се рачунањем \((X : b) \cdot a\).
Разломак приказује део целине. Сваки разломак се записује помоћу бројиоца, разломачке црте и имениоца.
\[ \frac{\text{бројилац}}{\text{именилац}} \]
Именилац се налази испод разломачке црте и показује на колико је једнаких делова подељена целина.
Бројилац се налази изнад разломачке црте и показује колико је таквих делова узето (обојено или издвојено).
Када је бројилац једнак имениоцу, вредност разломка је једнака \(1\) (једна целина):
\[ \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{4}{4} = 1, \quad \frac{n}{n} = 1 \]
\[ \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{4}{4} = 1, \quad \frac{n}{n} = 1 \]
Ако чоколаду поделимо на \(4\) једнака дела и поједемо \(3\) дела, узели смо \(\frac{3}{4}\) чоколаде. Бројилац је \(3\), а именилац \(4\).
Круг је подељен на \(6\) једнаких делова, а \(5\) делова је обојено плавом бојом. Којим разломком је приказан обојени део, а којим необојени део круга?
Обојени део је \(\frac{5}{6}\), а необојени део је \(\frac{1}{6}\) круга.
Разломци који имају исте имениоце сабирају се тако што се именилац препише, а бројиоци се саберу:
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} \]
Разломци који имају исте имениоце одузимају се тако што се именилац препише, а бројиоци се одузму:
\[ \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} \]
\[ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5} \]
\[ \frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{7 - 3}{9} = \frac{4}{9} \]
Израчунај: \(\frac{2}{7} + \frac{4}{7} - \frac{1}{7}\).
\[ \frac{2}{7} + \frac{4}{7} - \frac{1}{7} = \frac{2 + 4 - 1}{7} = \frac{5}{7} \]
Разломци једнаких именилаца: Од два разломка са истим имениоцима, већи је онај који има већи бројилац.
\[ \frac{a}{n} > \frac{b}{n} \quad \text{ако је } a > b \]
Разломци једнаких бројилаца: Од два разломка са истим бројиоцима, већи је онај који има мањи именилац (јер мањи именилац означава веће делове целине).
\[ \frac{a}{m} > \frac{a}{n} \quad \text{ако је } m < n \]
- \(\frac{8}{9} > \frac{7}{9}\) (имениоци су једнаки, па поредимо бројиоце: \(8 > 7\))
- \(\frac{5}{7} < \frac{5}{6}\) (бројиоци су једнаки, па поредимо имениоце: мањи именилац значи већи део целине, \(6 < 7\))
- \(\frac{5}{5} = \frac{6}{6} = 1\) (оба разломка представљају једну целу целину)
Упореди разломке: \(\frac{3}{8}\) и \(\frac{3}{5}\).
Бројиоци су исти (\(3\)). Како је \(5 < 8\), петине су већи делови од осмина, па важи:
\[ \frac{3}{8} < \frac{3}{5} \]
Да бисмо израчунали разломак \(\frac{a}{b}\) од неке дате вредности:
- Дату вредност поделимо имениоцем \(b\) да бисмо сазнали колико износи један једнак део (\(\frac{1}{b}\)).
- Добијени резултат помножимо бројиоцем \(a\).
Колико минута износи \(\frac{2}{3}\) једног школског часа од \(45\) минута?
\[ (45\text{ min} : 3) \cdot 2 = 15\text{ min} \cdot 2 = 30\text{ min} \]
Колика дужина је већа: \(\frac{1}{10}\text{ km}\) или \(\frac{5}{10}\text{ km}\)?
Пошто разломци имају исти именилац (\(10\)), поредимо бројиоце. Како је \(5 > 1\), већа вредност је \(\frac{5}{10}\text{ km}\) (што износи \(500\text{ m}\), док је \(\frac{1}{10}\text{ km} = 100\text{ m}\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Упореди разломке и упиши одговарајући знак (\(<\), \(>\) или \(=\)):
а) \(\frac{4}{7}\) \(\square\) \(\frac{6}{7}\)
б) \(\frac{2}{3}\) \(\square\) \(\frac{2}{5}\)
в) \(\frac{4}{4}\) \(\square\) \(\frac{9}{9}\)
а) \(\frac{4}{7}\) \(\square\) \(\frac{6}{7}\)
б) \(\frac{2}{3}\) \(\square\) \(\frac{2}{5}\)
в) \(\frac{4}{4}\) \(\square\) \(\frac{9}{9}\)
а) \(\frac{4}{7} < \frac{6}{7}\) (исти имениоци, \(4 < 6\))
б) \(\frac{2}{3} > \frac{2}{5}\) (исти бројиоци, мањи именилац представља већи део)
в) \(\frac{4}{4} = \frac{9}{9}\) (оба разломка су једнака целини, тј. \(1\))
б) \(\frac{2}{3} > \frac{2}{5}\) (исти бројиоци, мањи именилац представља већи део)
в) \(\frac{4}{4} = \frac{9}{9}\) (оба разломка су једнака целини, тј. \(1\))
Задатак 2 (средњи): Израчунај вредности следећих израза:
а) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}\)
б) \(\frac{7}{8} - \frac{5}{8} + \frac{4}{8}\)
а) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}\)
б) \(\frac{7}{8} - \frac{5}{8} + \frac{4}{8}\)
а) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 3 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
б) \(\frac{7}{8} - \frac{5}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7 - 5 + 4}{8} = \frac{6}{8}\)
б) \(\frac{7}{8} - \frac{5}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7 - 5 + 4}{8} = \frac{6}{8}\)
Задатак 3 (средњи): До краја утакмице остало је још \(\frac{2}{3}\) једног полувремена. Колико ће укупно минута још трајати утакмица ако једно полувреме траје \(45\) минута и судија је продужио утакмицу за још \(7\) минута?
1. Израчунавамо колико износи \(\frac{2}{3}\) од \(45\) минута:
\[ (45 : 3) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30\text{ минута} \] 2. Додајемо судијску надокнаду од \(7\) минута:
\[ 30 + 7 = 37\text{ минута} \] Одговор: Утакмица ће трајати још \(37\) минута.
\[ (45 : 3) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30\text{ минута} \] 2. Додајемо судијску надокнаду од \(7\) минута:
\[ 30 + 7 = 37\text{ минута} \] Одговор: Утакмица ће трајати још \(37\) минута.
Задатак 4 (тежак): Група ученика појела је целу пицу подељену на \(9\) једнаких делова. Сваки дечак је појео по \(3\) парчета пице, а свака девојчица по \(2\) парчета. Колико је било дечака, а колико девојчица у групи ако знамо да су у групи били и дечаци и девојчице?
Цела пица има \(9\) делова (\(\frac{9}{9}\)).
Нека је \(d\) број дечака, а \(c\) број девојчица. Сваки дечак поједе \(3\) дела, а свака девојчица \(2\) дела:
\[ 3 \cdot d + 2 \cdot c = 9 \] Анализирамо могуће вредности:
Нека је \(d\) број дечака, а \(c\) број девојчица. Сваки дечак поједе \(3\) дела, а свака девојчица \(2\) дела:
\[ 3 \cdot d + 2 \cdot c = 9 \] Анализирамо могуће вредности:
- Ако је \(d = 1\): тада је \(3 \cdot 1 + 2 \cdot c = 9 \implies 2 \cdot c = 6 \implies c = 3\).
- Ако је \(d = 2\): тада је \(3 \cdot 2 + 2 \cdot c = 9 \implies 2 \cdot c = 3\) (није цео број).
- Ако је \(d = 3\): тада је \(3 \cdot 3 + 2 \cdot c = 9 \implies 2 \cdot c = 0 \implies c = 0\) (нема девојчица, што не одговара услову).
