Најважније из лекције
Јединице мере за површину: Свака већа јединица је \(100\) пута већа од суседне мање. Важни односи: \(1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2\), \(1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2\), \(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\), \(1\text{ ha} = 100\text{ a} = 10\,000\text{ m}^2\).
Површина правоугаоника: \(P = a \cdot b\) (пример: за \(a = 5\text{ cm}, b = 3\text{ cm} \implies P = 15\text{ cm}^2\)).
Површина квадрата: \(P = a \cdot a\) (пример: за \(a = 4\text{ cm} \implies P = 16\text{ cm}^2\)).
Обавезно правило: Пре рачунања површине све странице морају бити претворене у исту јединицу мере.
Површина правоугаоника: \(P = a \cdot b\) (пример: за \(a = 5\text{ cm}, b = 3\text{ cm} \implies P = 15\text{ cm}^2\)).
Површина квадрата: \(P = a \cdot a\) (пример: за \(a = 4\text{ cm} \implies P = 16\text{ cm}^2\)).
Обавезно правило: Пре рачунања површине све странице морају бити претворене у исту јединицу мере.
Јединице мере за површину одређују колика је површина равне фигуре. Основна јединица је квадратни метар (\(\text{m}^2\)).
Односи међу мањим и већим мерним јединицама:
| Мање јединице (делови \(\text{m}^2\)) | Веће јединице (мере за земљиште) |
|---|---|
| \(1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\) | \(1\text{ a (ар)} = 100\text{ m}^2 = 10\,000\text{ dm}^2\) |
| \(1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2 = 10\,000\text{ mm}^2\) | \(1\text{ ha (хектар)} = 100\text{ a} = 10\,000\text{ m}^2\) |
| \(1\text{ cm}^2 = 100\text{ mm}^2\) | \(1\text{ km}^2 = 100\text{ ha} = 1\,000\,000\text{ m}^2\) |
Приликом претварања у прву суседну мању јединицу број се множи са \(100\), а при претварању у прву суседну већу јединицу дели се са \(100\).
Изрази \(62\text{ dm}^2\) у квадратним центиметрима.
Пошто је \(1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2\):
\[ 62\text{ dm}^2 = 62 \cdot 100\text{ cm}^2 = 6\,200\text{ cm}^2 \]
Површина правоугаоника једнака је производу дужина његових суседних страница (\(a\) и \(b\)).
\[ P = a \cdot b \]
\(P\) – површина, \(a\) – дужина, \(b\) – ширина правоугаоника
Пре израчунавања површине, дужине обе странице морају бити изражене у истој мерној јединици!
Ако правоугаоник има странице \(a = 8\text{ m}\) и \(b = 4\text{ m}\), његова површина је:
\[ P = 8\text{ m} \cdot 4\text{ m} = 32\text{ m}^2 \]
Израчунај површину правоугаоника чије су странице \(a = 7\text{ dm } 2\text{ cm}\) и \(b = 9\text{ cm}\).
Прво претварамо све дужине у исту јединицу (\(\text{cm}\)):
\[ a = 7\text{ dm } 2\text{ cm} = 72\text{ cm} \]
Затим множимо дужине страница:
\[ P = a \cdot b = 72\text{ cm} \cdot 9\text{ cm} = 648\text{ cm}^2 \]
Квадрат је правоугаоник са свим страницама једнаке дужине (\(a = b\)). Његова површина је производ странице са самом собом.
\[ P = a \cdot a \]
\(P\) – површина, \(a\) – дужина странице квадрата
За страницу квадрата \(a = 6\text{ cm}\), површина је:
\[ P = 6\text{ cm} \cdot 6\text{ cm} = 36\text{ cm}^2 \]
Обим квадрата је \(O = 36\text{ dm}\). Израчунај његову површину.
Пошто је обим квадрата \(O = 4 \cdot a\), страницу добијамо дељењем обима са 4:
\[ a = 36\text{ dm} : 4 = 9\text{ dm} \]
Сада рачунамо површину:
\[ P = a \cdot a = 9\text{ dm} \cdot 9\text{ dm} = 81\text{ dm}^2 \]
Задаци за вежбање
Лаки: Упореди вредности: \(400\text{ dm}^2\) и \(40\,000\text{ cm}^2\).
Претворимо квадратне дециметре у квадратне центиметре:
\[ 1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2 \implies 400\text{ dm}^2 = 400 \cdot 100\text{ cm}^2 = 40\,000\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површине су једнаке, односно \(400\text{ dm}^2 = 40\,000\text{ cm}^2\).
Средњи: Дужине страница правоугаоника у метрима су највећи непаран једноцифрени број и најмањи двоцифрени број. Израчунај његову површину.
Највећи непаран једноцифрени број је 9, па је \(a = 9\text{ m}\).
Најмањи двоцифрени број је 10, па је \(b = 10\text{ m}\).
\[ P = a \cdot b = 9\text{ m} \cdot 10\text{ m} = 90\text{ m}^2 \] Одговор: Површина правоугаоника је \(90\text{ m}^2\).
Најмањи двоцифрени број је 10, па је \(b = 10\text{ m}\).
\[ P = a \cdot b = 9\text{ m} \cdot 10\text{ m} = 90\text{ m}^2 \] Одговор: Површина правоугаоника је \(90\text{ m}^2\).
Средњи: Која фигура има већу површину и за колико: правоугаоник са страницама \(5\text{ dm}\) и \(7\text{ dm}\) или квадрат чији је обим \(36\text{ dm}\)?
1. Површина правоугаоника:
\[ P_{\text{пр}} = 5\text{ dm} \cdot 7\text{ dm} = 35\text{ dm}^2 \]
2. Страница и површина квадрата:
\[ a = 36\text{ dm} : 4 = 9\text{ dm} \]
\[ P_{\text{кв}} = 9\text{ dm} \cdot 9\text{ dm} = 81\text{ dm}^2 \]
3. Разлика:
\[ 81\text{ dm}^2 - 35\text{ dm}^2 = 46\text{ dm}^2 \]
Одговор: Квадрат има већу површину за \(46\text{ dm}^2\).
Тешки: Дужина правоугаоника је 4 пута већа од ширине, а њихов збир је \(35\text{ cm}\). Израчунај површину тог правоугаоника.
Ако ширину означимо са \(b\), онда је дужина \(a = 4 \cdot b\).
Збир дужине и ширине је: \[ a + b = 4 \cdot b + b = 5 \cdot b = 35\text{ cm} \] Ширина износи: \[ b = 35\text{ cm} : 5 = 7\text{ cm} \] Дужина износи: \[ a = 4 \cdot 7\text{ cm} = 28\text{ cm} \] Површина правоугаоника је: \[ P = a \cdot b = 28\text{ cm} \cdot 7\text{ cm} = 196\text{ cm}^2 \] Одговор: Површина је \(196\text{ cm}^2\).
Збир дужине и ширине је: \[ a + b = 4 \cdot b + b = 5 \cdot b = 35\text{ cm} \] Ширина износи: \[ b = 35\text{ cm} : 5 = 7\text{ cm} \] Дужина износи: \[ a = 4 \cdot 7\text{ cm} = 28\text{ cm} \] Површина правоугаоника је: \[ P = a \cdot b = 28\text{ cm} \cdot 7\text{ cm} = 196\text{ cm}^2 \] Одговор: Површина је \(196\text{ cm}^2\).
