Конструкција Троугла

Question 1

1) Нацртај једну дуж дужине $3\text{ cm}$ и једну дуж дужине $4\text{ cm}$. 2) Конструиши угао од $45^\circ$ и угао од $60^\circ$. 3) Преношењем дужи и углова конструисаних под 1) и 2), конструиши изломљену линију $ABCD$ на основу скице приказане са десне стране: $AB = 3\text{ cm}$, \(\a...

Accepted Answer

Корак 1: Нацртај почетне податке
Пре самог почетка конструкције изломљене линије, потребно је да припремимо помоћне дужи и углове које ћемо касније преносити шестаром.
Користећи лењир, нацртај две хоризонталне дужи: једну дужине 3 cm и једну дужине 4 cm. Означи их са d1 и d2. Нацртај две помоћне полуправе са почетним тачкама за углове. У једном темену конструиши угао од 60 степени (опиши лук произвољног полупречника r из темена, па тим истим полупречником r пресеци лук из тачке где сече први кра...

Question 2

Конструиши $\Delta ABC$ тако да је: 1) $c = 5\text{ cm}$, $b = 4,5\text{ cm}$ и $\alpha = 75^\circ$; 2) $a = 3,5\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ и $\gamma = 120^\circ$.

Accepted Answer

1) $c = 5\text{ cm}$, $b = 4,5\text{ cm}$ и $\alpha = 75^\circ$

Анализа
Познате су нам дужине две странице троугла ($b$ и $c$) и мера угла који оне захватају ($\alpha$). Због тога за конструкцију троугла користимо став СУС (страница-угао-страница). 
Пре саме конструкције троугла, потребно је да помоћу шестара и лењира конструишемо задати угао од $75^\circ$. Овај угао можемо добити као збир углова од $60^\circ$ и $15^\circ$. Угао од $15^\circ$ конструишемо тако што нацртамо у...

Question 3

Конструиши $\Delta ABC$ тако да је: 1) $a = 3\text{ cm}$, $\beta = 45^\circ$, $\gamma = 60^\circ$; 2) $b = 4\text{ cm}$, $\alpha = 22^\circ 30'$, $\gamma = 30^\circ$.

Accepted Answer

1) $ a = 3\text{ cm}, \beta = 45^\circ, \gamma = 60^\circ $

Анализа
Задати су једна страница ($ a $) и два угла која на њој належу ($ \beta $ и $ \gamma $). За конструкцију овог троугла користимо став УСУ (угао-страница-угао). Потребно је да помоћу шестара и лењира конструишемо угао од $ 60^\circ $ и угао од $ 45^\circ $ (који добијамо као симетралу правог угла од $ 90^\circ $).

Цртеж треба да садржи:
1. Дуж a = 3 cm нацртану са стране.
2. Конструкцију угла од 60 степени и угла о...

Question 4

Конструиши $\Delta ABC$ тако да је: 1) $a = 4\text{ cm}$, $b = 2,5\text{ cm}$, $c = 3\text{ cm}$; 2) $a = 3,5\text{ cm}$, $b = 4\text{ cm}$, $c = 5\text{ cm}$.

Accepted Answer

1) $a = 4\text{ cm}$, $b = 2,5\text{ cm}$, $c = 3\text{ cm}$

Анализа
Познате су нам дужине све три странице троугла ($a$, $b$ и $c$). Пре почетка конструкције, морамо проверити неједнакост троугла како бисмо утврдили да ли такав троугао постоји. Збир било које две странице мора бити већи од треће:
$a + b = 4 + 2,5 = 6,5 > 3$ ($c$)
$a + c = 4 + 3 = 7 > 2,5$ ($b$)
$b + c = 2,5 + 3 = 5,5 > 4$ ($a$)
Услови су испуњени, па за конструкцију користимо став ССС (страница-страница...

Question 5

Конструиши једнакокраки троугао тако да је дужина његове основице $5\text{ cm}$, а крака $3\text{ cm}$.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа задатка и провера услова
У задатку су дате три странице троугла: основица $ c = 5\text{ cm} $ и два крака $ a = b = 3\text{ cm} $. Користићемо став ССС (страница-страница-страница) за конструкцију. Прво проверавамо неједнакост троугла: да ли је збир било које две странице већи од треће?
$$ a + b = 3\text{ cm} + 3\text{ cm} = 6\text{ cm} $$
Пошто је $ 6\text{ cm} > 5\text{ cm} $ (збир кракова је већи од основице), троугао се може конструисати.

Корак 2: Припрема елемената
П...

Question 6

Конструиши једнакостраничан троугао странице $4\text{ cm}$.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа и избор става за конструкцију
За једнакостраничан троугао карактеристично је да су све његове странице једнаке дужине, а сви унутрашњи углови износе $ 60^\circ $. У овом задатку дата је дужина странице $ a = 4\text{ cm} $. То значи да познајемо све три странице: $ a = b = c = 4\text{ cm} $. За конструкцију ћемо применити став ССС (страница-страница-страница).

Корак 2: Припремни елементи
Ван главне конструкције, лењиром ћемо нацртати дуж $ a = 4\text{ cm} $. Ову дужину ћ...

Question 7

Конструиши $\Delta ABC$ тако да је: 1) $c = 4\text{ cm}$, $b = 5,5\text{ cm}$ и $\beta = 75^\circ$; 2) $c = 3\text{ cm}$, $a = 4\text{ cm}$ и $\alpha = 105^\circ$.

Accepted Answer

1) $c = 4\text{ cm}$, $b = 5,5\text{ cm}$ и $\beta = 75^\circ$

Анализа
У задатку су дате две странице и угао наспрам једне од њих ($b, c, \beta$). Примећујемо да је $b > c$ ($5,5\text{ cm} > 4\text{ cm}$), што значи да је дати угао наспрам веће странице. У овом случају користимо став ССУ (страница-страница-угао), а решење ће бити јединствено.
Угао од $75^\circ$ конструишемо као збир углова од $60^\circ$ и $15^\circ$ ($15^\circ$ добијамо симетралом угла од $30^\circ$, који...

Question 8

Конструиши $\Delta ABC$ на основу дате скице: 1) $\angle A = 90^\circ$, $AC = 4\text{ cm}$, $AB = 3\text{ cm}$; 2) $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AB = 5\text{ cm}$; 3) $AC = 3\text{ cm}$, $BC = 3,5\text{ cm}$, $AB = 5\text{ cm}$; 4) $\angle B = 135^\circ$, \(AB...

Accepted Answer

1) $\angle A = 90^\circ$, $AC = 4\text{ cm}$, $AB = 3\text{ cm}$
Анализа
Познате су две странице и угао између њих, па користимо став СУС. Угао од $90^\circ$ конструишемо као нормалу на почетну полуправу.
1. Конструисана дуж AB = 3 cm. 2. У тачки A подигнута нормала (угао од 90 степени). 3. На нормали шестаром одмерена тачка C тако да је AC = 4 cm. 4. Спојена темена B и C.
Конструкција
1. Конструишемо дуж $AB = 3\text{ cm}$.
2. У темену $A$ конструишемо угао од $90^\circ$. Добијамо...

Question 9

Конструиши једнакокраки троугао тако да је његова основица $3\text{ cm}$ и угао при врху $75^\circ$.

Accepted Answer

Анализа
Потребно је конструисати једнакокраки троугао $ \Delta ABC $ чија је основица $ c = 3\text{ cm} $ и угао при врху $ \gamma = 75^\circ $. Пошто је троугао једнакокраки, углови на основици су једнаки ($ \alpha = \beta $). Збир углова у троуглу је $ 180^\circ $, па можемо израчунати угао на основици:
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$
$$ 2\alpha + 75^\circ = 180^\circ $$
$$ 2\alpha = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $$
$$ \alpha = 105^\circ : 2 = 52^\circ 30' $$
С обзиром н...

Question 10

Конструиши $\Delta ABC$ тако да је: 1) $a = 6\text{ cm}$, $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 60^\circ$; 2) $b = 5\text{ cm}$, $c = 4\text{ cm}$ и $\gamma = 45^\circ$.

Accepted Answer

1) $a = 6\text{ cm}$, $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 60^\circ$

Анализа
У овом случају имамо дату страницу $a$ (страница $BC$), угао $\beta$ који належе на ту страницу и угао $\alpha$ који се налази наспрам ње. Да бисмо могли да применимо став УСУ (угао-страница-угао), потребно је да знамо оба угла која належу на страницу $a$, а то су углови $\beta$ и $\gamma$. 
Трећи угао $\gamma$ израчунавамо користећи чињеницу да је збир унутрашњих углова у троуглу $180^\circ$:
\[ \gam...

Question 11

Конструиши једнакокраки троугао тако да његови краци буду једнаки $4\text{ cm}$ и: 1) угао при врху $30^\circ$; 2) углови на основици $30^\circ$.

Accepted Answer

Анализа задатка 1)
Код једнакокраког троугла, краци су једнаке дужине, па је $ b = a = 4\text{ cm} $. Дат је угао при врху $ \gamma = 30^\circ $. Пошто имамо две странице и угао који оне заклапају, примењујемо став СУС (страница-угао-страница).

Корак 1.1: Припрема елемената и конструкција угла од $ 30^\circ $
Нацртајмо дуж дужине $ 4\text{ cm} $. Угао од $ 30^\circ $ конструишемо као половину угла од $ 60^\circ $:
1. Нацртамо произвољну полуправу са почетком у $ O $.
2. Шестаром о...

Question 12

Конструиши правоугли троугао $ABC$ са правим углом у темену $C$ тако да је: 1) $a = 3\text{ cm}$, $b = 3,5\text{ cm}$; 2) $c = 5\text{ cm}$, $\alpha = 30^\circ$; 3) $a = 3\text{ cm}$, $\alpha = 30^\circ$; 4) $a = 3\text{ cm}$, $\beta = 37^\circ 30'$.

Accepted Answer

1) $a = 3\text{ cm}$, $b = 3,5\text{ cm}$, $\gamma = 90^\circ$

Анализа
Пошто је троугао правоугли са правим углом у темену $C$, странице $a$ и $b$ су катете. Ове две странице заклапају прав угао ($\gamma = 90^\circ$). За конструкцију користимо став СУС (страница-угао-страница).

Цртеж за пример 1 треба да садржи:
1. Нацртане дужи a = 3 cm и b = 3,5 cm.
2. Праву p и на њој тачку C.
3. У тачки C конструисану нормалу (угао од 90 степени).
4. На једном краку угла одмерену дуж CB = 3 c...

Question 13

1) Да ли је могуће конструисати $\Delta ABC$ тако да је $c = 5\text{ cm}$, $\alpha = 120^\circ$ и $\beta = 135^\circ$? Образложи одговор. 2) Да ли је могуће конструисати $\Delta ABC$ тако да је $a = 4\text{ cm}$, $b = 2\text{ cm}$, $c = 7\text{ cm}$? Образложи одговор.

Accepted Answer

1) $ c = 5\text{ cm} $, $ \alpha = 120^\circ $ и $ \beta = 135^\circ $

Анализа
Да бисмо утврдили да ли је могуће конструисати овакав троугао, морамо проверити основно својство унутрашњих углова троугла. Познато је да збир унутрашњих углова у сваком троуглу мора бити тачно $ 180^\circ $.
За задате углове $ \alpha $ и $ \beta $ израчунаћемо њихов збир:
$$ \alpha + \beta = 120^\circ + 135^\circ = 255^\circ $$
Примећујемо да је већ збир ова два угла знатно већи од дозвољених \( 180^\cir...

14. Конструкција Троугла

Изабери решење задатка:

Корак 1: Нацртај почетне податке

Корак 2: Конструкција прве дужи \(AB\)

Корак 3: Конструкција угла код темена \(B\) и дужи \(BC\)

Корак 4: Конструкција угла код темена \(C\) и дужи \(CD\)

Корак 5: Коначна изломљена линија

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста