Најважније из лекције
- Превођење у децимални запис: Врши се проширивањем на декадни именилац или дељењем бројиоца имениоцем.
- Бесконачан периодичан запис: Настаје када се при дељењу цифре почну понављати. Означава се заградом: \( -\frac{1}{3} = -0,(3) \).
- Упоређивање: Код негативних бројева важи обрнута логика у односу на позитивне (већа апсолутна вредност значи мањи број).
- Заокругљивање: Цифре 0-4 не мењају претходну, 6-9 је повећавају за 1. Правило за 5 зависи од цифара иза ње и парности цифре испред.
Сваки рационални број се може записати у децималном облику. Децимални запис негативних рационалних бројева садржи знак минус.
Проширивање разломка: Ако је могуће, разломак проширујемо тако да именилац постане декадна јединица (10, 100, 1000...). Колико има нула у имениоцу, толико има децимала.
Дељење: Бројилац поделимо имениоцем.
Пример проширивања: \( -\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = -\frac{75}{100} = -0,75 \)
Пример дељења: \( \frac{3}{4} \rightarrow 3 : 4 = 0,75 \Rightarrow -\frac{3}{4} = -0,75 \)
Пример дељења: \( \frac{3}{4} \rightarrow 3 : 4 = 0,75 \Rightarrow -\frac{3}{4} = -0,75 \)
Одредите децимални запис броја \( -\frac{2}{5} \).
Проширивањем са 2 добијамо: \( -\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -\frac{4}{10} = -0,4 \).
Или дељењем: \( 2 : 5 = 0,4 \Rightarrow -0,4 \).
Или дељењем: \( 2 : 5 = 0,4 \Rightarrow -0,4 \).
Ако се приликом дељења бројоца имениоцем дељење никада не завршава, већ се од неког места стално понавља иста цифра или група цифара, такав запис се назива бесконачан периодичан децимални запис.
Група цифара која се понавља назива се период и означава се стављањем у заграду или цртом изнад цифара. Цифре иза децималне запете које се налазе пре периода чине претпериод.
Број \( -\frac{1}{6} = -0,1666... \) краће записујемо као \( -0,1(6) \) или \( -0,1\overline{6} \).
Овде је цифра 1 претпериод, а цифра 6 је период.
Овде је цифра 1 претпериод, а цифра 6 је период.
Запишите разломак \( -\frac{4}{11} \) у децималном облику и означите период.
Делимо: \( 4 : 11 = 0,363636... \)
Дакле, \( -\frac{4}{11} = -0,(36) \). Период је група цифара 36.
Дакле, \( -\frac{4}{11} = -0,(36) \). Период је група цифара 36.
Коначни децимални бројеви се лако преводе у разломак тако што се знак минус препише, децимални део запише у бројиоцу, а у имениоцу декадна јединица са оним бројем нула колико има децимала.
\( -0,07 = -\frac{7}{100} \quad \) и \( \quad -1,9 = -1\frac{9}{10} = -\frac{19}{10} \)
За превођење бесконачних периодичних бројева користимо поступак множења са декадним јединицама како бисмо "поништили" децималне делове. Радимо са апсолутном вредношћу, а знак минус додајемо на крају.
Нека је \( x = 0,1(47) \). Множимо једначину са 10 (јер је дужина претпериода 1):
\[ 10x = 1,(47) \]
Множимо почетну једначину са 1000 (укупно децимала до краја првог периода је 3):
\[ 1000x = 147,(47) \]
Одузимањем ове две једначине елиминишемо период:
\[ 1000x - 10x = 147,(47) - 1,(47) \]
\[ 990x = 146 \Rightarrow x = \frac{146}{990} = \frac{73}{495} \]
Решење је \( -0,1(47) = -\frac{73}{495} \).
Претворите децимални број \( -1,3 \) у разломак.
\( -1,3 = -1\frac{3}{10} = -\frac{13}{10} \)
Код негативних децималних бројева, већа цифра на истој позицији у броју значи мању вредност (супротно од онога што важи за позитивне бројеве). На бројевној правој, мањи број се налази лево.
Позитивни бројеви: \( 0,5 > 0,3 \)
Негативни бројеви: \( -0,5 < -0,3 \) (број -0,5 је лево од -0,3 на бројевној правој)
Негативни бројеви: \( -0,5 < -0,3 \) (број -0,5 је лево од -0,3 на бројевној правој)
Упоредите бројеве \( -1,11 \) и \( -1,01 \).
Пошто је \( 1,11 > 1,01 \), код негативних бројева важи обрнуто: \( -1,11 < -1,01 \).
Приликом одбацивања децимала важе следећа правила за прву цифру коју одбацујемо:
- Ако је 0, 1, 2, 3 или 4, последња задржана цифра остаје непромењена.
- Ако је 6, 7, 8 или 9, последња задржана цифра се повећава за 1.
- Ако је 5 и иза ње има цифара различитих од нуле, задржана цифра се повећава за 1.
- Ако је 5 и иза ње нема цифара различитих од нуле (или уопште нема цифара):
а) парна цифра испред остаје непромењена;
б) непарна цифра испред се повећава за 1.
Ако треба повећати цифру 9 за 1, на њено место пишемо 0, а цифру испред ње повећавамо за 1.
Заокругљивање на једну децималу:
\( -0,12 \approx -0,1 \) (одбацујемо 2, цифра 1 остаје иста).
\( -0,12 \approx -0,1 \) (одбацујемо 2, цифра 1 остаје иста).
Заокруглите број \( -0,35 \) на једну децималу.
Прва цифра коју одбацујемо је 5, иза ње нема цифара. Цифра коју задржавамо је 3 (непарна), па се повећава за 1.
Решење: \( -0,4 \)
Решење: \( -0,4 \)
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Запишите у облику децималног броја разломак \( -\frac{13}{10} \).
У имениоцу је једна нула, што значи да имамо једну децималу.
Одговор: \( -1,3 \)
Одговор: \( -1,3 \)
Средњи задатак: Упоредите бројеве \( -0,02 \) и \( -0,2 \).
Упоређујемо децимале. На месту десетих, први број има 0, а други број има 2.
Код позитивних бројева је \( 0,2 > 0,02 \). За негативне важи обрнуто.
Одговор: \( -0,02 > -0,2 \)
Код позитивних бројева је \( 0,2 > 0,02 \). За негативне важи обрнуто.
Одговор: \( -0,02 > -0,2 \)
Тежи задатак: Одредите приближну вредност броја \( -13,7151 \) на две децимале, а затим број \( -2,275 \) на две децимале.
Први број: Заокругљујемо на две децимале, па гледамо трећу децималу (5). Пошто иза 5 постоји цифра различита од нуле (цифра 1), задржану цифру 1 повећавамо за 1.
\( -13,7151 \approx -13,72 \)
Други број: Трећа децимала је 5, а иза ње нема цифара. Цифра испред (7) је непарна, па се повећава за 1.
\( -2,275 \approx -2,28 \)
\( -13,7151 \approx -13,72 \)
Други број: Трећа децимала је 5, а иза ње нема цифара. Цифра испред (7) је непарна, па се повећава за 1.
\( -2,275 \approx -2,28 \)
