20. Сабирање Рационалних Бројева

Да бисмо попунили магични квадрат тако да збир у свакој врсти, колони и дијагонали буде 0, користићемо чињеницу да је збир три позната броја и четврте непознате једнак нули, што значи да је непозната једнака супротној вредности збира та три броја. Пре почетка, ради лакшег рачунања, све разломке ћемо свести на исти именилац 4: \( -\frac{1}{2} = -\frac{2}{4} \), \( -\frac{9}{2} = -\frac{18}{4} \), \( \frac{15}{2} = \frac{30}{4} \), \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \), \( -\frac{13}{2} = -\frac{26}{4} \).

Корак 1: Попуњавање 4. врсте

У 4. врсти недостаје четврти број \( (a_{4,4}) \): \[ \frac{30}{4} + \frac{2}{4} + \left(-\frac{26}{4}\right) + a_{4,4} = 0 \] \[ \frac{30 + 2 - 26}{4} + a_{4,4} = \frac{6}{4} + a_{4,4} = 0 \Rightarrow a_{4,4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

Корак 2: Попуњавање 2. колоне

У 2. колони недостаје трећи број \( (a_{3,2}) \): \[ -\frac{2}{4} + \frac{11}{4} + a_{3,2} + \frac{2}{4} = 0 \] Уочавамо супротне бројеве \( \cancel{\frac{2}{4}} \) и \( -\cancel{\frac{2}{4}} \). \[ \frac{11}{4} + a_{3,2} = 0 \Rightarrow a_{3,2} = -\frac{11}{4} \]

Корак 3: Попуњавање главне дијагонале

Недостаје први број \( (a_{1,1}) \). Користимо поља \( a_{1,1}, a_{2,2}, a_{3,3}, a_{4,4} \): \[ a_{1,1} + \frac{11}{4} + \frac{3}{4} + \left(-\frac{6}{4}\right) = 0 \] \[ a_{1,1} + \frac{11 + 3 - 6}{4} = a_{1,1} + \frac{8}{4} = a_{1,1} + 2 = 0 \Rightarrow a_{1,1} = -2 \]

Корак 4: Попуњавање 1. врсте

Недостају \( a_{1,3} \) и \( a_{1,4} \). Прво ћемо наћи \( a_{1,4} \) преко споредне дијагонале. Споредна дијагонала (\( a_{4,1}, a_{3,2}, a_{2,3}, a_{1,4} \)): \[ \frac{30}{4} + \left(-\frac{11}{4}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right) + a_{1,4} = 0 \] \[ \frac{30 - 11 - 3}{4} + a_{1,4} = \frac{16}{4} + a_{1,4} = 4 + a_{1,4} = 0 \Rightarrow a_{1,4} = -4 \] Сада попуњавамо 1. врсту: \[ -2 + \left(-\frac{2}{4}\right) + a_{1,3} + (-4) = 0 \] \[ -\frac{8}{4} - \frac{2}{4} + a_{1,3} - \frac{16}{4} = a_{1,3} - \frac{26}{4} = 0 \Rightarrow a_{1,3} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \]

Корак 5: Попуњавање преосталих поља

3. колона (\( a_{1,3}, a_{2,3}, a_{3,3}, a_{4,3} \)): \[ \frac{26}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{3}{4} + \left(-\frac{26}{4}\right) = 0 \] Овде су већ сви збирови 0 јер имамо два пара супротних бројева: \( \cancel{\frac{26}{4}} - \cancel{\frac{26}{4}} = 0 \) и \( -\cancel{\frac{3}{4}} + \cancel{\frac{3}{4}} = 0 \). 4. колона (\( a_{1,4}, a_{2,4}, a_{3,4}, a_{4,4} \)): \[ -4 + \left(-\frac{18}{4}\right) + a_{3,4} + \left(-\frac{6}{4}\right) = 0 \] \[ -\frac{16}{4} - \frac{18}{4} - \frac{6}{4} + a_{3,4} = -\frac{40}{4} + a_{3,4} = -10 + a_{3,4} = 0 \Rightarrow a_{3,4} = 10 \] 1. колона (\( a_{1,1}, a_{2,1}, a_{3,1}, a_{4,1} \)): Пронађимо \( a_{3,1} \) из 3. врсте: \[ a_{3,1} + \left(-\frac{11}{4}\right) + \frac{3}{4} + 10 = 0 \Rightarrow a_{3,1} - \frac{8}{4} + 10 = a_{3,1} + 8 = 0 \Rightarrow a_{3,1} = -8 \] Сада из 2. врсте или 1. колоне нађемо \( a_{2,1} \): \[ a_{2,1} + \frac{11}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) + \left(-\frac{18}{4}\right) = 0 \] \[ a_{2,1} + \frac{11 - 3 - 18}{4} = a_{2,1} - \frac{10}{4} = 0 \Rightarrow a_{2,1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]

\[ \text{Врста 4: } \frac{30}{4} + \frac{2}{4} - \frac{26}{4} + a_{4,4} = 0 \Rightarrow a_{4,4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \] \[ \text{Колона 2: } -\frac{2}{4} + \frac{11}{4} + a_{3,2} + \frac{2}{4} = 0 \Rightarrow a_{3,2} = -\frac{11}{4} \] \[ \text{Дијагонала 1: } a_{1,1} + \frac{11}{4} + \frac{3}{4} - \frac{6}{4} = 0 \Rightarrow a_{1,1} = -2 \] \[ \text{Дијагонала 2: } \frac{30}{4} - \frac{11}{4} - \frac{3}{4} + a_{1,4} = 0 \Rightarrow a_{1,4} = -4 \] \[ \text{Врста 1: } -2 - \frac{2}{4} + a_{1,3} - 4 = 0 \Rightarrow a_{1,3} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \] \[ \text{Колона 4: } -4 - \frac{18}{4} + a_{3,4} - \frac{6}{4} = 0 \Rightarrow a_{3,4} = 10 \] \[ \text{Врста 3: } a_{3,1} - \frac{11}{4} + \frac{3}{4} + 10 = 0 \Rightarrow a_{3,1} = -8 \] \[ \text{Врста 2: } a_{2,1} + \frac{11}{4} - \frac{3}{4} - \frac{18}{4} = 0 \Rightarrow a_{2,1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] \[ \text{Табела: } (-2, -\frac{1}{2}, \frac{13}{2}, -4); (\frac{5}{2}, \frac{11}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{9}{2}); (-8, -\frac{11}{4}, \frac{3}{4}, 10); (\frac{15}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{13}{2}, -\frac{3}{2}) \]