Најважније из лекције
- Знаци при множењу: Множењем истозначних бројева добија се +, а множењем бројева различитих знакова добија се -.
- Множење: Рационални бројеви се множе тако што се одреди знак, а затим се множе бројилац са бројиоцем и именилац са имениоцем (уз скраћивање ако је могуће).
- Реципрочна вредност: Разломак \( \frac{p}{q} \) има реципрочну вредност \( \frac{q}{p} \). Знак броја се не мења. Број 0 је једини број који нема реципрочну вредност.
Знак производа два рационална броја одређује се по истим правилима као код целих бројева.
1. Исти знак: Производ два позитивна или два негативна рационална броја је позитиван (+).
2. Различит знак: Производ позитивног и негативног рационалног броја је негативан (-).
3. Након одређивања знака, множе се апсолутне вредности чинилаца (бројилац са бројиоцем, именилац са имениоцем).
4. За сваки рационалан број \( r \) важи: \( r \cdot 0 = 0 \).
2. Различит знак: Производ позитивног и негативног рационалног броја је негативан (-).
3. Након одређивања знака, множе се апсолутне вредности чинилаца (бројилац са бројиоцем, именилац са имениоцем).
4. За сваки рационалан број \( r \) важи: \( r \cdot 0 = 0 \).
При множењу два разломка, бројилац једног може се скратити са имениоцем другог разломка пре самог множења како би се рачунање олакшало.
\( \left(-\frac{3}{7}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = +\left(\frac{3}{7} \cdot \frac{4}{5}\right) = \frac{12}{35} \) (оба чиниоца су негативна, производ је позитиван)
\( 1\frac{5}{7} \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\left(\frac{12}{7} \cdot \frac{2}{9}\right) = -\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 3} = -\frac{8}{21} \) (различити знаци, производ је негативан; извршено скраћивање 12 и 9 са 3)
\( 1,3 \cdot (-0,7) = -(1,3 \cdot 0,7) = -0,91 \)
\( 1\frac{5}{7} \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\left(\frac{12}{7} \cdot \frac{2}{9}\right) = -\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 3} = -\frac{8}{21} \) (различити знаци, производ је негативан; извршено скраћивање 12 и 9 са 3)
\( 1,3 \cdot (-0,7) = -(1,3 \cdot 0,7) = -0,91 \)
Операција множења у скупу рационалних бројева (\( \mathbb{Q} \)) има иста својства као и у скупу целих бројева. За све бројеве \( a, b, c \) из \( \mathbb{Q} \) важи:
Комутативност: \( a \cdot b = b \cdot a \)
Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
Дистрибутивност: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
Дистрибутивност: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
Множење јединицом: Број 1 је неутралан елемент. \( r \cdot 1 = 1 \cdot r = r \)
Множење са -1: Добија се супротан број. \( r \cdot (-1) = -r \)
Множење са -1: Добија се супротан број. \( r \cdot (-1) = -r \)
Минус испред заграде мења знак свих сабирака у загради: \( -(a + b) = -a - b \).
Ово се директно примењује на мешовите бројеве: \( -2\frac{1}{5} = -\left(2 + \frac{1}{5}\right) = -2 - \frac{1}{5} \).
Ово се директно примењује на мешовите бројеве: \( -2\frac{1}{5} = -\left(2 + \frac{1}{5}\right) = -2 - \frac{1}{5} \).
Реципрочна вредност рационалног броја \( r \) (\( r \neq 0 \)) је број који помножен са \( r \) даје производ 1.
Реципрочна вредност рационалног броја \( \frac{p}{q} \) је рационалан број \( \frac{q}{p} \).
Нови број задржава исти знак који је имао и почетни број.
Нови број задржава исти знак који је имао и почетни број.
Број 0 нема своју реципрочну вредност!
Реципрочна вредност броја \( -\frac{3}{8} \) је \( -\frac{8}{3} \), зато што важи: \( \left(-\frac{3}{8}\right) \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = 1 \).
Одреди реципрочну вредност броја \( 2\frac{3}{5} \).
Прво мешовити број записујемо у облику неправилног разломка: \( 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5} \).
Реципрочна вредност тог броја добија се заменом места бројиоцу и имениоцу, па је тражени број \( \frac{5}{13} \).
Реципрочна вредност тог броја добија се заменом места бројиоцу и имениоцу, па је тражени број \( \frac{5}{13} \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај производ: \( \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) \).
Производ два негативна броја је позитиван број.
Извршићемо унакрсно скраћивање (4 и 8 скраћујемо са 4, а 3 и 9 скраћујемо са 3):
\( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).
Резултат: \( \frac{1}{6} \)
Извршићемо унакрсно скраћивање (4 и 8 скраћујемо са 4, а 3 и 9 скраћујемо са 3):
\( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).
Резултат: \( \frac{1}{6} \)
Средњи: Израчунај користећи дистрибутивно својство множења према сабирању: \( -\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} + \left(-\frac{5}{7}\right) \cdot \frac{1}{4} \).
Уместо да множимо сваки пар посебно, можемо извући заједнички чинилац \( -\frac{5}{7} \) испред заграде:
\( -\frac{5}{7} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) \)
Саберемо бројеве у загради: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).
Множимо резултат са извученим чиниоцем: \( -\frac{5}{7} \cdot 1 = -\frac{5}{7} \).
Резултат: \( -\frac{5}{7} \)
\( -\frac{5}{7} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) \)
Саберемо бројеве у загради: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).
Множимо резултат са извученим чиниоцем: \( -\frac{5}{7} \cdot 1 = -\frac{5}{7} \).
Резултат: \( -\frac{5}{7} \)
Тежак: Израчунај вредност израза претварањем свих бројева у разломке: \( 1,5 \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right) \cdot (-0,5) \).
Прво одређујемо коначан знак. Имамо један позитиван и два негативна чиниоца: \( (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \).
Затим све бројеве претварамо у разломке:
\( 1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)
\( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \)
\( 0,5 = \frac{1}{2} \)
Сада их множимо (без знакова минус, јер смо већ утврдили да је резултат позитиван):
\( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \)
Скраћујемо 3 у бројиоцу и 3 у имениоцу, као и 4 са \( 2 \cdot 2 \):
\( \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1 \).
Резултат: \( 1 \)
Затим све бројеве претварамо у разломке:
\( 1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)
\( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \)
\( 0,5 = \frac{1}{2} \)
Сада их множимо (без знакова минус, јер смо већ утврдили да је резултат позитиван):
\( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \)
Скраћујемо 3 у бројиоцу и 3 у имениоцу, као и 4 са \( 2 \cdot 2 \):
\( \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1 \).
Резултат: \( 1 \)
