Најважније из лекције
Додавање/Одузимање: Знак неједнакости остаје исти. (\( x - 2 < 5 \implies x < 7 \)).
Множење/Дељење ПОЗИТИВНИМ бројем: Знак неједнакости остаје исти. (\( 2x > 6 \implies x > 3 \)).
Множење/Дељење НЕГАТИВНИМ бројем: Знак неједнакости СЕ МЕЊА. (\( -2x > 6 \implies x < -3 \)).
Графички: Знакови \( <, > \) (празан кружић); Знакови \( \le, \ge \) (пун кружић).
Множење/Дељење ПОЗИТИВНИМ бројем: Знак неједнакости остаје исти. (\( 2x > 6 \implies x > 3 \)).
Множење/Дељење НЕГАТИВНИМ бројем: Знак неједнакости СЕ МЕЊА. (\( -2x > 6 \implies x < -3 \)).
Графички: Знакови \( <, > \) (празан кружић); Знакови \( \le, \ge \) (пун кружић).
Решити неједначину значи одредити све бројеве који ту неједначину преводе у тачну неједнакост. Скуп решења се најчешће представља на бројевној правој.
Када имамо знакове \( < \) или \( > \), кружић на бројевној правој је празан. Када имамо знакове \( \le \) или \( \ge \), кружић је пун.
Ако обема странама неједначине додамо или одузмемо исти број, знак неједнакости се не мења.
\( a < b \implies a + c < b + c \)
\( a < b \implies a - c < b - c \)
\( a < b \implies a + c < b + c \)
\( a < b \implies a - c < b - c \)
\[ x + 6,1 < -1,3 \quad / - 6,1 \]
\[ x < -1,3 - 6,1 \]
\[ x < -7,4 \]
Када је непозната умањилац (нпр. \( 5 - x \le 2 \)), најлакше је додати \( x \) на обе стране како би прешла на другу страну са позитивним предзнаком, или након одузимања помножити са \( -1 \) (што мења знак неједнакости).
Ако обе стране неједначине помножимо или поделимо истим позитивним бројем, знак неједнакости се не мења.
Ако је \( a < b \) и \( c > 0 \), онда је \( a \cdot c < b \cdot c \).
Ако је \( a < b \) и \( c > 0 \), онда је \( a \cdot c < b \cdot c \).
\[ 4x \ge -2,8 \quad / : 4 \]
\[ x \ge -0,7 \]
Ако обе стране неједначине помножимо или поделимо истим негативним бројем, знак неједнакости МОРА ДА СЕ ПРОМЕНИ (нпр. из \( < \) у \( > \)).
Ако је \( a < b \) и \( c < 0 \), онда је \( a \cdot c > b \cdot c \).
Ако је \( a < b \) и \( c < 0 \), онда је \( a \cdot c > b \cdot c \).
\[ -7x > -5,6 \quad / : (-7) \]
\[ x < 0,8 \]
(Знак \( > \) се променио у \( < \))
На обе стране додај или одузми погодан број да изолујеш члан са непознатом (\( ax \)).
Помножи или подели обе стране одговарајућим бројем да добијеш само \( x \), пазећи на правило промене знака ако је тај број негативан.
\[ \frac{3}{4}x - \frac{5}{6} < -5\frac{1}{3} \quad / + \frac{5}{6} \]
\[ \frac{3}{4}x < -\frac{16}{3} + \frac{5}{6} \]
\[ \frac{3}{4}x < -\frac{32}{6} + \frac{5}{6} \]
\[ \frac{3}{4}x < -\frac{27}{6} \]
\[ \frac{3}{4}x < -\frac{9}{2} \quad / \cdot \frac{4}{3} \]
\[ x < -6 \]
Ако неједначина садржи заграду, нпр. \( 2 \cdot (3x + 4) \ge -2,5 \), можеш прво поделити целу неједначину бројем испред заграде или применити дистрибутивност (множење сваког члана у загради), па онда решавати.
Задаци за вежбање
Лак: Реши неједначину и представи решење: \( x - 3,5 \ge 1,5 \)
\[ x - 3,5 \ge 1,5 \quad / + 3,5 \]
\[ x \ge 1,5 + 3,5 \]
\[ x \ge 5 \]
Графички: На бројевној правој се црта пун кружић изнад броја 5 и сенчи се десна страна (сви бројеви већи или једнаки 5).
Средњи: Реши неједначину: \( -3x + 4 < 13 \)
\[ -3x + 4 < 13 \quad / - 4 \]
\[ -3x < 13 - 4 \]
\[ -3x < 9 \quad / : (-3) \]
Пажња! Делимо негативним бројем, знак се мења:
\[ x > -3 \]
Тежак: Реши неједначину: \( 5 \cdot (2x - 1) \le -15 \)
Први начин (дељење):
\[ 5 \cdot (2x - 1) \le -15 \quad / : 5 \]
\[ 2x - 1 \le -3 \quad / + 1 \]
\[ 2x \le -2 \quad / : 2 \]
\[ x \le -1 \]
Други начин (ослобађање од заграде): \[ 10x - 5 \le -15 \quad / + 5 \] \[ 10x \le -10 \quad / : 10 \] \[ x \le -1 \]
Други начин (ослобађање од заграде): \[ 10x - 5 \le -15 \quad / + 5 \] \[ 10x \le -10 \quad / : 10 \] \[ x \le -1 \]
