Најважније из лекције
Паралелограм - кључна својства:
- Странице: Наспрамне су једнаке и паралелне.
- Углови: Наспрамни су једнаки (\( \alpha=\gamma, \beta=\delta \)), суседни су суплементни (\( \alpha+\beta=180^\circ \)).
- Дијагонале: Секу се у тачки која их полови на два једнака дела.
- Најбржи доказ: Четвороугао је сигурно паралелограм ако му је само један пар наспрамних страница и једнак и паралелан.
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне.
Особине страница и углова паралелограма:
- Наспрамне странице су једнаке (\( AB = CD \) и \( BC = AD \)).
- Наспрамни углови су једнаке мере (\( \alpha = \gamma \) и \( \beta = \delta \)).
- Свака два суседна угла су суплементна (њихов збир је \( 180^\circ \)).
Један унутрашњи угао паралелограма износи \( 65^\circ \). Одреди мере осталих унутрашњих углова.
Нека је \( \alpha = 65^\circ \).
Наспрамни угао је једнак њему, па је \( \gamma = 65^\circ \).
Суседни угао \( \beta \) је суплементан углу \( \alpha \), па важи \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
\( \beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).
Наспрамни угао углу \( \beta \) је \( \delta \), па је \( \delta = 115^\circ \).
Одговор: Углови су \( 65^\circ, 115^\circ, 65^\circ \) и \( 115^\circ \).
Наспрамни угао је једнак њему, па је \( \gamma = 65^\circ \).
Суседни угао \( \beta \) је суплементан углу \( \alpha \), па важи \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
\( \beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).
Наспрамни угао углу \( \beta \) је \( \delta \), па је \( \delta = 115^\circ \).
Одговор: Углови су \( 65^\circ, 115^\circ, 65^\circ \) и \( 115^\circ \).
Дијагонала је дуж која спаја два нецуседна темена четвороугла.
Дијагонале паралелограма се узајамно полове.
То значи да тачка у којој се дијагонале секу представља средиште и једне и друге дијагонале.
Ако се дијагонале \( AC \) и \( BD \) секу у тачки \( O \), онда важи:
\[ AO = OC \]
\[ BO = OD \]
Дат је паралелограм \( ABCD \) чије се дијагонале секу у тачки \( O \). Ако је дужина дијагонале \( AC = 12\text{ cm} \), а део друге дијагонале \( OD = 4\text{ cm} \), колика је дужина дијагонале \( BD \) и дуж \( AO \)?
Како се дијагонале полове, тачка \( O \) дели \( AC \) на два једнака дела:
\( AO = AC : 2 = 12 : 2 = 6\text{ cm} \).
Тачка \( O \) такође полови дијагоналу \( BD \), па је \( BD = 2 \cdot OD \):
\( BD = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm} \).
\( AO = AC : 2 = 12 : 2 = 6\text{ cm} \).
Тачка \( O \) такође полови дијагоналу \( BD \), па је \( BD = 2 \cdot OD \):
\( BD = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm} \).
Да бисмо доказали да је неки произвољан четвороугао заправо паралелограм, довољно је да покажемо да важи један од следећих услова (сваки од њих гарантује да су наспрамне странице паралелне).
Четвороугао је паралелограм ако важи било шта од наведеног:
- Свака два суседна угла су суплементна.
- Свака два наспрамна угла су једнака.
- Сваке две наспрамне странице су једнаке.
- Дијагонале се узајамно полове.
- Две наспрамне странице су и једнаке и паралелне (нпр. \( AB = CD \) и \( AB \parallel CD \)).
Пази: Ако су две наспрамне странице паралелне, а друге две једнаке (али не паралелне), четвороугао не мора бити паралелограм (може бити једнакокраки трапез). Зато је 5. услов специфичан — исти пар страница мора бити и једнак и паралелан.
Задаци за вежбање
Лак: Један спољашњи угао паралелограма износи \( 105^\circ \). Одреди све унутрашње углове тог паралелограма.
Унутрашњи и њему одговарајући спољашњи угао чине испружен угао (\( 180^\circ \)).
Један унутрашњи угао је: \( \alpha = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
Суседни угао \( \beta \) је суплементан углу \( \alpha \): \( \beta = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
Наспрамни углови су једнаки, па су углови паралелограма: \( 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ \).
Један унутрашњи угао је: \( \alpha = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
Суседни угао \( \beta \) је суплементан углу \( \alpha \): \( \beta = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).
Наспрамни углови су једнаки, па су углови паралелограма: \( 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ \).
Средњи: Збир два угла паралелограма износи \( 140^\circ \). Колико степени имају углови тог паралелограма?
Збир суседних углова у паралелограму је увек \( 180^\circ \). Пошто је збир ова два угла \( 140^\circ \), то значи да они не могу бити суседни, већ морају бити наспрамни (и самим тим једнаки).
\( \alpha + \alpha = 140^\circ \Rightarrow 2\alpha = 140^\circ \Rightarrow \alpha = 70^\circ \).
Суседни угао \( \beta \) рачунамо као: \( \beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Одговор: Углови паралелограма су \( 70^\circ \) и \( 110^\circ \).
\( \alpha + \alpha = 140^\circ \Rightarrow 2\alpha = 140^\circ \Rightarrow \alpha = 70^\circ \).
Суседни угао \( \beta \) рачунамо као: \( \beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Одговор: Углови паралелограма су \( 70^\circ \) и \( 110^\circ \).
Тежак: Дијагонале паралелограма \( ABCD \) секу се у тачки \( O \). Ако је \( AO = 2x - 3 \), \( OC = x + 5 \), \( BO = 3y + 1 \) и \( OD = y + 9 \), одреди дужине дијагонала овог паралелограма.
Како се дијагонале паралелограма полове, важи \( AO = OC \) и \( BO = OD \).
1) Постављамо једначину за прву дијагоналу:
\( 2x - 3 = x + 5 \)
\( 2x - x = 5 + 3 \Rightarrow x = 8 \)
Дужина половине дијагонале је \( AO = 2 \cdot 8 - 3 = 13 \). Цела дијагонала \( AC = 2 \cdot 13 = 26 \).
2) Постављамо једначину за другу дијагоналу:
\( 3y + 1 = y + 9 \)
\( 3y - y = 9 - 1 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4 \)
Дужина половине дијагонале је \( BO = 3 \cdot 4 + 1 = 13 \). Цела дијагонала \( BD = 2 \cdot 13 = 26 \).
Одговор: Дијагонале су једнаке дужине и износе по 26. (Овај специфичан паралелограм је правоугаоник).
1) Постављамо једначину за прву дијагоналу:
\( 2x - 3 = x + 5 \)
\( 2x - x = 5 + 3 \Rightarrow x = 8 \)
Дужина половине дијагонале је \( AO = 2 \cdot 8 - 3 = 13 \). Цела дијагонала \( AC = 2 \cdot 13 = 26 \).
2) Постављамо једначину за другу дијагоналу:
\( 3y + 1 = y + 9 \)
\( 3y - y = 9 - 1 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4 \)
Дужина половине дијагонале је \( BO = 3 \cdot 4 + 1 = 13 \). Цела дијагонала \( BD = 2 \cdot 13 = 26 \).
Одговор: Дијагонале су једнаке дужине и износе по 26. (Овај специфичан паралелограм је правоугаоник).
